第二节 收敛数列的性质

§2 收敛数列的性质（3学时）

教学目的与要求

1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题.

2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限.

3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性.

教学重点与难点:

重点: 收敛数列的性质.

难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. 讲授内容

在前面，我已经讲过极限理论是数学分析的核心，贯穿在数学分析的全部内容中。后面要学的函数的连续性，函数的导数，积分，广义积分，级数等都和极限密不可分，整个数学分析可以说就是研究各种形式的极限的。希望全体同学对这一部分知识的学习应引起高度重视。

在上一次课，我们已经学习了数列极限的定义。请大家一起来回顾一下（叙述教材定义）

lim n n a a →∞

=⇔0ε∀>，N ∃，n N ∀>，使得.n a a ε-<

在这个定义中，同学们要注意以下问题：

其一 定义中的ε是误差error 的第一个字母的大写，是用来衡量a a n 逼近的程度的，它具有二重性，即可固定，又可以变化。当ε固定时 ，逼近的程度也就确定了，当ε不定时，任意小时，逼近的无限性也就刻划出来了。ε愈小，表示a a n 与接近得愈好，它除限于正数外，不受任何限制，正说明a a n 与能接近到任何程度。另外，由于ε是任何正数，因此定义中不等式右边可用2ε，3ε，εε,

2等代替

其二 定义中的N 只要求存在，不要求唯一，一旦合乎定义中的N 找到了，用比它大的任何自然数来代替均可，即N 具有可大性。N 只管后不管前，即大于N 的自然数 n 要无一例外地满足不等式ε<-a a n ，或者说从第1N +项起n a 都要进入a 的ε邻域U(a ,

ε)中，至于小于N 的自然数，则无此要求，这即是说 {}n a 最多只有N 项在U(a , ε)之

外。

其三 ε，N 的关系：ε是预先给定的具有独立性，N 存在于后，一般依ε而定，具有依赖性（ 一般N 随ε变小而变大）。常记为()N ε，强调N 依赖于ε。 由于ε的既固定又变化，N 的存在与管后，就使得极限定义中看似静态的，定量的一 些不等式，能够表达动态的，定性的两个无限及其关系，从而使极限概念得以精确化。

如何给出数列}{n a 不收敛于a 的正面陈述： lim n n a a →∞

≠⇔00ε∃>，N ∀，0n N ∃>，使得00.n a a ε-≥

在第一节里同学们除了要认真掌握理解数列极限的定义外，还要掌握利用数列极限的分析定义去证明（或验证）某数列}{n a 收敛于a 。即对每一个给定的正数ε，证明存在一个正整数N ，使它满足下列要求：

当n N >时，不等式n a a ε-<成立。

在学习了数列极限的基本概念后，我们将要对收敛数列作进一步的研究。这就是今天要学习的新课： 介绍

§2 收敛数列的性质

在研究比较复杂的数列极限问题时，通常先考虑该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算此极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两个基本问题。

本节我们将介绍收敛数列的一些基本性质，主要是唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则等。这些性质对我们研究数列极限的存在性及极限的计算是有非常大的帮助。

希望同学们要认真掌握这些性质，不仅要记住结论，学会使用，还应当学习它们的证明方法。因为这些证明的基本方法在数学分析中是非常有用的。学会了这些方法才能说真正懂得了数列收敛的定义和实质。另外，学习数列极限的这些性质对我们在第三章学习函数极限的性质时是有直接帮助的。下面具体介绍。

定理2．1 (唯一性) 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限．

证法一 设a 和b 为{}n x 的两个极限，下证b a =。若a b ≠，不妨设a b >， 取002

b a

ε-=>（为什么？使a 的0ε邻域和b 的0ε邻域不相交），由a 是{}n a 的极限定义知，∃正整数1N ，当1N n >时，有

02

n b a

a a ε--<=

即有，

2

n b a

a +<

(1) 由b 是{}n a 的极限定义知，∃正整数2N ，当2n N >时，有

02

n b a

a b ε--<=

即有，

2

n b a

a +>

(2) 令{}12,N max N N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。矛盾。 故b a =。

证法二 设a 和b 为{}n a 的两个极限，下证b a =。

由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃正整数21,N N ，当1N n >时，有

2

n a a ε

-<

(3) 当2N n >时，有 2

n a b ε

-<

(4)

令{}12,N max N N =，当N n >时，（3），（4）同时成立。现考虑：

()()2

2

n n n n a b a b a a a b a a ε

ε

ε-=---≤-+-<

+

=

由于b a ,均为常数b a =⇒，所以{}n a 的极限只能有一个。

例1 证明数列{}n a ，(1)n n a =-是发散的。

[注：在第一节已经证明过，现给出另一证明方法]

证 （反证法）假设{}n a 收敛，由唯一性，设lim n n a a →∞

=，按定义，对∃=

,2

1

ε正整数N

，当

N

n > 时，

12

n a a ε-<=

，

考

虑

1111

122

n n n n a a a a a a ++-≤-+-<

+=，而n a ，1n a +总是一个是“1”，一个是“1-”，所以12n n a a +-=,矛盾。 所以数列{}n a ，(1)n n a =- 发散。

在前面，我们介绍了数列有界的概念，请同学们回顾。下面讨论数列收敛与有界的关 系。

再回顾lim n n a a →∞

=的几何意义。任给0ε>，在U(ε,a )内含数列的几乎所有项，在

U(ε,a )之外数列{}n a 中的项至多只有有限个。可猜得收敛数列必为有界数列，下面给出

定理2．2(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n 有

.||M a n ≤

证 设a a n n =∞

→lim ，取1=ε，存在正整数N ，对一切n N >有

||1,n a a -< ，而 ||n n a a a a -≤-， 从而 1.n a a <+ 记 12max{||,||,

||,1}N M a a a a =+

则对一切正整数n 都有n a ≤M ．

数列收敛是数列有界的充分条件，数列有界是数列收敛的必要条件。数列有界是否也是数列收敛的充分条件呢？否 反例如例1。有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。

由定理2．2得 ：若数列}{n a 无界，则数列}{n a 一定发散。这是判定数列发散的一个方法之一。请大家注意。例如 2{(1)}n n -发散。

思考：若数列}{n a 收敛，则在此数列中一定有最大数或最小数，但不一定同时有最大 数和最小数。

证明方法与收敛数列的有界性定理的证明方法几乎是相同的。

证 设lim n n a a →∞

=。若此数列的每一项都等于a ，则已不必讨论。否则，设数列的某

一项m a a ≠，若有m a a >，则取m a a ε=-，由lim n n a a →∞

=知，存在正整数N ，使得当

N n >时成立n a a ε-<，即N n >时，n m a a <。由于有m a a ε=-，显然m N ≤。令

12max{,,

,},N M a a a =则M 是数列}{n a 的最大数。类似地可以证明，在m a a <时，数

列有最小数。

不同时存在最大数和最小数的收敛数列的例子是很多的。例如数列1{}n

收敛于0，它有