概率论与数理统计数学期望与方差专项
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1 b－a a x b 解：X的概率密度为： f ( x) 其他 0
X的数学期望为：
E( X )
xf ( x)dx
b
a
x dx a b 2 ba
即数学期望位于区间(a, b)的中点
几种重要分布的数学期望
1、 设X ~ b( n, p), 则E ( X ) np 2、 设X ~ ( ), 则E ( X ) ab 3、 设X ~ U (a , b), 则E ( X ) 2 4、 设X ~ N ( , 2 ), 则E ( X ) 5、 设X服 从 参 数 为 的 指 数 分 布 , 则E ( X ) 1
则 X ~ b(5, 0.2)
设Y表示一周内所获利润，则
P(Y 10) P( X 0) (1 0.2)5 0.328, 其余同理可得，于是Y的分布率为：
Y
2
0
5
10
pk
0.057 0.205 0.410 0.328
于是 E (Y ) 5.216 （万元）
设 X ( ), 求E( X )。 例5：
则称积分
xf ( x)dx 的值为随机变量X 的数学期望，记为E ( X )
即 E ( X ) xf ( x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 X k k 1,2 , 1 服从同一指数分布，其概率密度为： f ( x) x0 e 0 x0 若将这2个电子装置串联联接 0 组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。
10
定理：设Y是随机变量X的函数：Y g ( X ) g是连续函数 ,
X 是离散型随机变量，它的分布律为：
P( X xk ) pk , k 1, 2,
若 g ( xk ) pk 绝对收敛，则有E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk
k 1 k 1
(0 0)
2
(1 0)
2
0.15
(0 1)
2 2 (1 2) sin 0.15 0.25 2
0.25 sin
(1 1)
0.2 sin
(0 2)
0.15
例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为：
3 3 2 f ( x, y) 2 x y 0 1 y x, x 1 x 求数学期望E 其他
考虑：先求E (Y )
yfY ( y )dy，这里
你算对了吗？哪个更容易呢?
3 dx 3 2 1 y 2x y 3 dx fY ( y ) y 2 x3 y 2 0
0 y 1 y 1 其他
例10：某商店经销某种商品，每周进货量X与需求量Y是相互独立的 随机变量，且都在区间[10,20]上均匀分布。商店每售出一 单位商品可获利1000元；若需求量超过进货量，商店可从它处 调剂供应，这时每单位商品可获利500元；试计算此商店经销 该种商品每周所获得利润的数学期望。
若级数 xk pk 绝对收敛，则称级数 xk pk的和为随机变量X
k 1 k 1
的数学期望，记为E X ,即 E X xk pk
k 1
定义： 设连续型随机变量X 的概率概率为f x , 若积分
xf ( x)dx 绝对收敛 (即
x f x dx <)
这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况
证明：
1. C是常数，P( X C) 1, E( X ) E(C ) 1 C C
下面仅对连续型随机变量给予证明：
2. E (CX ) Cxf ( x)dx C
xf ( x)dx CE( X )
E (Z )
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
x 20 20 10 x
dx 1000 y 1 100 dy dx 500( x y) 1 100 dy
10 10
20
14166.7(元）
数学期望的特性：
1.设C是常数，则有E(C) C
2.设X 是一个随机变量，C是常数，则有E(CX ) CE( X )
3.设X , Y 是两个随机变量，则有E( X Y ) E( X ) E(Y )
将上面三项合起来就是：E(aX bY c) aE( X ) bE(Y ) c
4.设X , Y 是相互独立的随机变量，则有E( XY ) E( X ) E(Y )
yf ( x, y)dydx
y 1 x
X=1
x 1 E( ) 1 f ( x, y )dydx dx 1 3 dy 4 3 xy 1 XY x 2x y x 3 3 1 ( 16 12 )dx 3 ( 1 1) 3 [ 2 ] | 1 dx 4 1 4 1 4 5 5 x x 2x 2y x
证 明( 3)： 设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y )的 概 率 密度为 f ( x , y )， 则 E( X Y )
( x y ) f ( x , y )dxdy
百度文库
xf ( x, y )dxdy
0
2 x
2 x dx e |0
2
2
从而E ( N ) 2
问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？
例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器
时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。 解：X的分布律为：
X 是连续型随机变量，它的概率密度为f ( x)
则有E (Y ) E( g ( X ))
若
g ( x) f ( x)dx 绝对收敛
g ( x) f ( x)dx
定理的重要意义在于我们求E (Y )时，不必算出Y的分布律或 概率密度，而只要利用X 的分布律或概率密度就可以了。
第四章 随机变量的数字特征
关键词：
数学期望 方差 协方差 相关系数
问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量 的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；
X
0 8 10
1
2
X pk
0 45
1
2
pk
2 8 2 1 10 9 10 9
8 45 1 45
E( X ) 0 4 1 8 2 1 2 5 45 45 9
例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？ 解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，
解：设Z表示该种商品每周所得的利润，则
若Y X 1000Y , Z g( X ,Y ) 500(X+Y), 若Y X
X 和Y 相互独立，因此( X , Y )的概率密度为 1 100, 10 x 20,10 y 20 f ( x, y ) 其他 0,
§1 数学期望
例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下： 甲 8 9 10 乙 8 9 10 次数 10 80 10 次数 20 65 15
评定他们的成绩好坏。 解：计算甲的平均成绩： 计算乙的平均成绩：
8 10 9 80 10 10 8 10 9 80 10 10 9 100 100 100 100 8 20 9 65 10 15 8 20 9 65 10 15 8.95 100 100 100 100
4
7 12
例8：设二维随机变量 X , Y 的联合分布律为
X 0 1 Y 0 1 2
0.1 0.25 0.15 0.15 0.2 0.15
求随机变量 Z sin
解：E ( Z ) E[sin sin 2
(X Y)
2
] sin
的数学期望。
0.1 sin 2
(X Y)
i 1 j 1
若二维连续型随机变量 X , Y 的概率密度为：
则有E ( Z ) E ( g ( X , Y ))
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
这里设上式右边的积分绝对收敛
特别地，E ( X )
xf ( x, y)dxdy
x
解：
1 e x 0 X k (k 1, 2) 的分布函数F ( x) x0 0 串联情况下，N min X1, X 2 , 故N的分布函数为：
x
2x Fmin ( x) 1 (1 F ( x)) 2 1 e 0
x
Y , E
1 XY 。
yx
解：E (Y )
3 dydx 3 2 1 1 x 2x y lnx dx 3 13 lny |x1 dx 3 1 x3 2 1 x x 3 lnx 3 | 13 dx 3 2 1 2 x 2 1 x 4
所以甲的成绩好于乙的成绩。
对于甲来说, 10 、80 、10 分别是8环、环、 9 10环的概率； 100 100 100
对于乙来说, 20 、65 、15 分别是8环、环、 9 10环的概率； 100 100 100
若用它们相应的概率表示，就得到了数学期望， 也称为均值(加权均值)。
定义： 设离散型随机变量X 的分布律为：P( X xk ) pk k 1, 2,
k 解：X的分布律为：P( X k ) e
k!
k 0,1, 0
X的数学期望为：
E( X ) k e
k 0
k
k!
e
(k 1)!
k 1
k 1
e e
即 E( X )
设 X U (a, b)，求E( X )。 例6：
x0 x0
根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N).
E( N ) x 2 e
0 2x
x 2 2 x0 e f min ( x) x0 0
是 指 数 分 布 的 密 度 函 数
dx xe
2 x 0
| e
上述定理也可以推广到两个或两个以上 随机变量的函数的情况。
定理：设Z是随机变量X , Y的函数：Z g( X , Y ) g是连续函数 ,
若二维离散型随机变量 X , Y 的分布律为：
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1, 2,
则有E (Z ) E[ g ( X , Y )] g ( xi , y j ) pij 这里设上式右边的级数绝对收敛，
例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进
行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。
1, 1 x 2 解：X 的密度函数为：f ( x) 其他 0,
4 E (S ) x2 f ( x)dx 4
S
X2
2
1
x2 dx
X的数学期望为：
E( X )
xf ( x)dx
b
a
x dx a b 2 ba
即数学期望位于区间(a, b)的中点
几种重要分布的数学期望
1、 设X ~ b( n, p), 则E ( X ) np 2、 设X ~ ( ), 则E ( X ) ab 3、 设X ~ U (a , b), 则E ( X ) 2 4、 设X ~ N ( , 2 ), 则E ( X ) 5、 设X服 从 参 数 为 的 指 数 分 布 , 则E ( X ) 1
则 X ~ b(5, 0.2)
设Y表示一周内所获利润，则
P(Y 10) P( X 0) (1 0.2)5 0.328, 其余同理可得，于是Y的分布率为：
Y
2
0
5
10
pk
0.057 0.205 0.410 0.328
于是 E (Y ) 5.216 （万元）
设 X ( ), 求E( X )。 例5：
则称积分
xf ( x)dx 的值为随机变量X 的数学期望，记为E ( X )
即 E ( X ) xf ( x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 X k k 1,2 , 1 服从同一指数分布，其概率密度为： f ( x) x0 e 0 x0 若将这2个电子装置串联联接 0 组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。
10
定理：设Y是随机变量X的函数：Y g ( X ) g是连续函数 ,
X 是离散型随机变量，它的分布律为：
P( X xk ) pk , k 1, 2,
若 g ( xk ) pk 绝对收敛，则有E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk
k 1 k 1
(0 0)
2
(1 0)
2
0.15
(0 1)
2 2 (1 2) sin 0.15 0.25 2
0.25 sin
(1 1)
0.2 sin
(0 2)
0.15
例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为：
3 3 2 f ( x, y) 2 x y 0 1 y x, x 1 x 求数学期望E 其他
考虑：先求E (Y )
yfY ( y )dy，这里
你算对了吗？哪个更容易呢?
3 dx 3 2 1 y 2x y 3 dx fY ( y ) y 2 x3 y 2 0
0 y 1 y 1 其他
例10：某商店经销某种商品，每周进货量X与需求量Y是相互独立的 随机变量，且都在区间[10,20]上均匀分布。商店每售出一 单位商品可获利1000元；若需求量超过进货量，商店可从它处 调剂供应，这时每单位商品可获利500元；试计算此商店经销 该种商品每周所获得利润的数学期望。
若级数 xk pk 绝对收敛，则称级数 xk pk的和为随机变量X
k 1 k 1
的数学期望，记为E X ,即 E X xk pk
k 1
定义： 设连续型随机变量X 的概率概率为f x , 若积分
xf ( x)dx 绝对收敛 (即
x f x dx <)
这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况
证明：
1. C是常数，P( X C) 1, E( X ) E(C ) 1 C C
下面仅对连续型随机变量给予证明：
2. E (CX ) Cxf ( x)dx C
xf ( x)dx CE( X )
E (Z )
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
x 20 20 10 x
dx 1000 y 1 100 dy dx 500( x y) 1 100 dy
10 10
20
14166.7(元）
数学期望的特性：
1.设C是常数，则有E(C) C
2.设X 是一个随机变量，C是常数，则有E(CX ) CE( X )
3.设X , Y 是两个随机变量，则有E( X Y ) E( X ) E(Y )
将上面三项合起来就是：E(aX bY c) aE( X ) bE(Y ) c
4.设X , Y 是相互独立的随机变量，则有E( XY ) E( X ) E(Y )
yf ( x, y)dydx
y 1 x
X=1
x 1 E( ) 1 f ( x, y )dydx dx 1 3 dy 4 3 xy 1 XY x 2x y x 3 3 1 ( 16 12 )dx 3 ( 1 1) 3 [ 2 ] | 1 dx 4 1 4 1 4 5 5 x x 2x 2y x
证 明( 3)： 设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y )的 概 率 密度为 f ( x , y )， 则 E( X Y )
( x y ) f ( x , y )dxdy
百度文库
xf ( x, y )dxdy
0
2 x
2 x dx e |0
2
2
从而E ( N ) 2
问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？
例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器
时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。 解：X的分布律为：
X 是连续型随机变量，它的概率密度为f ( x)
则有E (Y ) E( g ( X ))
若
g ( x) f ( x)dx 绝对收敛
g ( x) f ( x)dx
定理的重要意义在于我们求E (Y )时，不必算出Y的分布律或 概率密度，而只要利用X 的分布律或概率密度就可以了。
第四章 随机变量的数字特征
关键词：
数学期望 方差 协方差 相关系数
问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量 的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；
X
0 8 10
1
2
X pk
0 45
1
2
pk
2 8 2 1 10 9 10 9
8 45 1 45
E( X ) 0 4 1 8 2 1 2 5 45 45 9
例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？ 解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，
解：设Z表示该种商品每周所得的利润，则
若Y X 1000Y , Z g( X ,Y ) 500(X+Y), 若Y X
X 和Y 相互独立，因此( X , Y )的概率密度为 1 100, 10 x 20,10 y 20 f ( x, y ) 其他 0,
§1 数学期望
例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下： 甲 8 9 10 乙 8 9 10 次数 10 80 10 次数 20 65 15
评定他们的成绩好坏。 解：计算甲的平均成绩： 计算乙的平均成绩：
8 10 9 80 10 10 8 10 9 80 10 10 9 100 100 100 100 8 20 9 65 10 15 8 20 9 65 10 15 8.95 100 100 100 100
4
7 12
例8：设二维随机变量 X , Y 的联合分布律为
X 0 1 Y 0 1 2
0.1 0.25 0.15 0.15 0.2 0.15
求随机变量 Z sin
解：E ( Z ) E[sin sin 2
(X Y)
2
] sin
的数学期望。
0.1 sin 2
(X Y)
i 1 j 1
若二维连续型随机变量 X , Y 的概率密度为：
则有E ( Z ) E ( g ( X , Y ))
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
这里设上式右边的积分绝对收敛
特别地，E ( X )
xf ( x, y)dxdy
x
解：
1 e x 0 X k (k 1, 2) 的分布函数F ( x) x0 0 串联情况下，N min X1, X 2 , 故N的分布函数为：
x
2x Fmin ( x) 1 (1 F ( x)) 2 1 e 0
x
Y , E
1 XY 。
yx
解：E (Y )
3 dydx 3 2 1 1 x 2x y lnx dx 3 13 lny |x1 dx 3 1 x3 2 1 x x 3 lnx 3 | 13 dx 3 2 1 2 x 2 1 x 4
所以甲的成绩好于乙的成绩。
对于甲来说, 10 、80 、10 分别是8环、环、 9 10环的概率； 100 100 100
对于乙来说, 20 、65 、15 分别是8环、环、 9 10环的概率； 100 100 100
若用它们相应的概率表示，就得到了数学期望， 也称为均值(加权均值)。
定义： 设离散型随机变量X 的分布律为：P( X xk ) pk k 1, 2,
k 解：X的分布律为：P( X k ) e
k!
k 0,1, 0
X的数学期望为：
E( X ) k e
k 0
k
k!
e
(k 1)!
k 1
k 1
e e
即 E( X )
设 X U (a, b)，求E( X )。 例6：
x0 x0
根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N).
E( N ) x 2 e
0 2x
x 2 2 x0 e f min ( x) x0 0
是 指 数 分 布 的 密 度 函 数
dx xe
2 x 0
| e
上述定理也可以推广到两个或两个以上 随机变量的函数的情况。
定理：设Z是随机变量X , Y的函数：Z g( X , Y ) g是连续函数 ,
若二维离散型随机变量 X , Y 的分布律为：
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1, 2,
则有E (Z ) E[ g ( X , Y )] g ( xi , y j ) pij 这里设上式右边的级数绝对收敛，
例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进
行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。
1, 1 x 2 解：X 的密度函数为：f ( x) 其他 0,
4 E (S ) x2 f ( x)dx 4
S
X2
2
1
x2 dx