人大版微积分第四章习题课资料讲解

不妨设 f(a ) 0 ,f(b ) 0y 如右图所示 由假设知 f(x)在[a,b]上连续
故f(x)在某处 点取得最大值
o
x
这里 a,b
ab
微积分
由 f(a)0 f(x)在 xa的 右方邻近，有 f(x)f(a)
由 f(b)0 f(x)在 xb的 左侧邻近，有
f(x)f(b)
ab 由 Fermat 定理,得
x 0515x(1x)
解 分子 x的 关次 于 2. 数为
1
515x(15x)5
1 1 (5 x ) 1 1 (1 1 )(5 x )2 o (x 2 ) 5 2 !55
1x2x 2o (x 2)
原lx 式 i0[m 1x2 x 2 x o 2 (x 2) ](1x )
1 2
.
微积分
2arcx tlan 1 nx
4plx im 0(1x14)xp3c0 p3
c 4 3
微积分
1 1
1 nx
例7
lim x
a1x
a2x
n
anx
(1 )
11
1
lim en[xln a1x(a2xan x)lnn] x
11
1
ex l i m n[xla n 1 x (a2 xan x)ln n]
11
1
而 lx i n m [x la 1 n x a (2 x a n x) ln ]
即f()C
例3 证明方程 4 a 3 3 x b 2 2 x c a x b c
在(0,1)内至少有一实根 [分析] 如令 f ( x ) 4 a 3 3 x b 2 2 x c ( a x b c )
则 f(0),f(1) 的符号不易判别 不便使用介值定理
用 ຫໍສະໝຸດ Baiduolle 定理来证
f()0
其次，取介于 f(a)与 f(b)之间的任意数 C
为明确起见，不妨设 f(a ) C f(b )
引进辅助函数 F (x)f(x)Cx
则F(x)在[a,b]内可 导 F (x ) f(x ) C
微积分
F ( a ) f ( a ) C 0 F ( b ) f( b ) C 0
由上述已证知 (a ,b )使 F () 0
a1a2an
微积分
例8 设f(x)在[0,1]上连,续 在(0,1)内可,导 且 f(0)0, f(1)1,试证 :对任意给定的 a,b正数
注意：洛必达法则的使用条件.
微积分
5、泰勒中值定理
常用函数的麦克劳林公式
e x, sx i , c n x o , l1 n s x ), ( ( 1 x )
Fermat 定理
若 f(x)在 x0处可导x， 0的且 某在 一,有 邻域内 f(x)f(x0)或 ( f(x)f(x0)， ) f则 (x0)0
微积分
证 令 f ( x ) a 4 b x 3 c x 2 x ( a b c ) x
则 f(x)在 [0,1]上连 (0,1续 )内， 可导
且 f(0)f(1 )0
故由Rolle 定理知 (0 ,1 )使 f() 0
即 4 a 3 3 x b 2 2 x c a x b c 在(0,1)内有一实根
例4 已知f(x)在[0,1]上连续， (0,1在 )内可导，
且f(0)1, f(1)0,证明
c(0,1)使f(c) f(c)
证 记 F (x)x(fx)
c
则 F(x)在 [0,1]上满足Rolle 定理的条件
c ( 0 ,1 ) 使 F ( c ) 0
微积分
*例5 求极 li限 m x2
.
例6 设 lim x 0
xp 1xc0,求 p,c
2arctaxnln1x
解 lim x0
1x xp
lx i 0 2 m arx c lt x n 1 p a x ( ) n ln 1 x ( )
(0 ) 0
2 lim1x2
x0
11 1x 1x pxp1
2plxim011x2xp11 1x2
(4) 曲线的凹凸与拐点
(5) 函数图形的描绘
(6) 弧微分 曲率 曲率圆
微积分
二、典型例题
例1 验证罗y 尔 ln s定 ix n在 理 [,5对 ]上 66
的正. 确性
解 D : 2 k x 2 k ,( k 0 , 1 , ) 且在 [, 5]上连.续 66 又ycoxt在 (, 5)内处处存在 66 并且 f()f(5) ln 2 66
中值定理揭示了导数与函数之间的 关系，是导数应用的理论基础，是利用 导数研究函数性质的有效工具。是沟通 导数的局部性质与函数在区间上的整体 性质的重要桥梁。
微积分
6、导数的应用 (1) 函数单调性的判定法
(2) 函数的极值及其求法
极值必要条件、第一、第二充分条件
求极值的步骤: (3) 最大值、最小值问题
微积分
微积分
dx rx dt
莫兴德
广西大学
数信学院
Email:moxingde@gxu.edu.cn
微积分
链接目录
第一章 函数 第三章 导数与微分 第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第二章 极限与连续 第四章 中值定理,导数的应用 第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
1
1
nlimlna(1x x
anx)lnn 1
(0 ) 0
x
微积分
nlx i ma11x 1an1xa11xlna1x12an1xlnanx12
n ln a 1ln a 2ln an n
ln a 1 a 2 (a n )
1 1
1 x
lx im a1x
a2x
n
anx
eln a1a (2an)
微积分
函数 ylnsinx在[,5]上满足罗尔定理 66
的条. 件
由 yco xt 0 ,
在(,5)内显然有x 解 .
66
2
取 , 则f()0. 2
这就验证了命题的正确性.
微积分
*例2 Darboux定理:设f(x)在[a,b]内可导
则f(x)必至少有一次f取 (a)与 得f(介 b) 于 之间的每一个值 证 首先假定 f(a)f(b)0
微积分
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
第四章 习题课
微积分
微积分
1、罗尔中值定理
2、拉格朗日中值定理
3、柯西中值定理 4、洛必达法则
10. 0型及 型未定式 0
20. 0 , ,00,1, 0型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 .