世代交叠模型

该种方式是政府把当前的年轻人的基金全部转移给该期 的老年人,此时的老年人所获得的收入是(1+n)dt 此时 max U(Wt-St-dt)+ (1+ρ)⁻1 U((1+rt+1)St+dt+1(1+n))
资本存量的方程： Kt+1=[s(wt，rt+1) ]/1+n
从个人来看，社会保险的收益率为n，而且社会保险仅 作为一种转移，完全不进入储蓄，显然在有社会保险时， 总的储蓄率下降，也就是随着基金的增加，消费者的储蓄 减少。对经济来说，资本的唯一来源是扣除了保险支出之
把（2）代入（1）得到一生的预算约束，即
因此消费者在给定的预算约束下，分配两个时期的消 费水平和储蓄水平使他在两期获得的效用达到极大.（贴现率

ρ ≥ 0）
max u(C1t)+ (1+ρ)⁻1 u(C2(t+1))
从效应最大化的一阶条件和（3）式可以得出 C1t和C2（t+1）与变量Wt 和rt+1相关，关键的表达式


动态无效率的产生根源在于，人在一代又一代的交替和 延续，给政府提供了增加老年人消费的可能性，而增加 老年人消费是市场所不能解决的问题。如果一个人想在 老年时期消费更多，那他只能持有更多的资本，即使资 本的实际利率很低。政府计划在完全可以让老年人消费 不由他们持有的资本和利息来决定，而是用多种方法在 青年和老年人消费之间进行调配，包括税收、补贴和转 移支付。 比如，政府想让老年人消费得更多，那么政府就可以向 青年的收入征收所得税，从每一个青年的劳动收入中征 收一部分，然后把这些税收收入转移支付给老年人 ， 老年人的消费就可以得到提高了。计划者通常要求青年 人的下一代继续做同样的事，以阻止其他人处境恶化。 如果资本存量大于黄金律水平，则把资源在老一代和新 一代之间进行转移的方法比储蓄更为有效。

完全竞争厂商的资本存量的边际生产率等于利率，劳动力的边际生产率等 于工资，其生产函数假设如下：Y=F(Kt, AtLt) At=(1+g)At-1
rt=ƒ´(kt)
W=ƒ(kt)-kƒ´(kt)
t+1时期的资本存量等于t时期年轻人的 储蓄量 两边同时除以Lt+1At+1，得到单位有效劳动资 本的表达式
1 简介
由阿莱、萨缪尔森、戴蒙德等发展起来的世 代交叠模型建立在生命周期假说的基础上，即每 个社会成员都具有有限的生命，随着年老一代的 逝去，新的人口不断进入经济生活，在相同的时 点上，不同代际的人共同生活，该模型的名称即 由此而来。
假定每个消费者 都生存两期：年轻时 期和年老时期。在第 一期年轻时通过劳动 获得收入并用于消费 和储蓄，第二期年老 时期不劳动，依靠第 一期的储蓄及所获得 的利息进行消费,老年 人死后不留遗产，也 不欠债。

是储蓄等式：St=S(Wt , rt+1)
对方程求导 ， 0<S´W<1 ， 表示储蓄是工资收入 的增函数。可能 S´r≥0 ， 也可能 S´r≤0 ， 利率对储蓄 的影响取决于下面两个方面，首先，利率增加使消 费者第一期的消费成本增加，因此消费者会减少第 一期的消费，提高储蓄；其次，利率增加使消费者 收入增加，则消费者的消费也会增加。因此，利率 的增加对储蓄的影响取决于哪一种效果更佳，也就 是替代效应和收入效应的大小。
5.1 完全基金系统
假设在t时期政府从该期的年轻人那里征收的基金为dt, 因为在t-1时期时，政府已经从当时的年轻人收取基金dt-1, 因此在时间t政府支付该期的老年人的利息(1+rt)dt-1。两 期模型的最优条件模型为 max u(Wt-St-dt)+ (1+ρ)⁻1 . u((1+rt+1)(St+dt) 资本存量的方程： Kt+1=[s(wt，rt+1) +dt]/1+n 从最优性条件知道，上述的基金方式对均衡点的存在性、 消费水平和资本存量都没有影响。这是因为社会保险增加 的部分dt，正好被减少的私人储蓄所抵消，总量st+dt仍 然等于以前水平的st。此时的基金好像从个人储蓄的部分 中抽出的一部分，这种基金对经济增长没有影响。
令t时期出生的每个人在第t期消费为C1t，在t+1时期的 消费为C2(t+1），t时期的储蓄为St, t+1时期的利率为rt+1,则 消费者在两个时期的预算约束为：

C1t+St=Wt C2(t+1）=(1+rt+1)St W t =C1t+ C2（t+1）/ (1+ rt+1)
（ 1）
（ 2）
（ 3）
Kt+1=s(rt+1) LtAtWt
替换rt+1与wt
当Kt+1=kt=k*时，k达到均衡值（稳态）。

把上面的方程改写成下面 的式子：

下图显示了Kt+1和K t之
ห้องสมุดไป่ตู้
间的关系的一些可行 形式

方程把t+1时期的单位有 效劳动表示成四项乘积， 从右至左分别为：t时期的 单位有效劳动的产出，支 付给劳动的产出份额，劳 动中被储蓄的部分，t时期 的劳动量与t+1时期的劳 动量之比。

后的私人储蓄st，因此这种基金方式可使均衡点的资本存 量下降。
年龄的差别，以及由此导致的收入水平差异对人们的 消费和储蓄差异的影响非常大，世代交叠模型考虑到了 经济个体的差异性，将其划分成不同的群体进行分析， 因此能够精确地解析个人消费、养老安排等问题。 例如，巴罗通过世代交叠模型发现，政府为了刺激消 费，采用发行国债的扩张性财政政策未必能起到积极效 果。因为理性的经济人会看到当前政府财政赤字的增加 意味着未来政府税收的增加，政府今天的公债支出会以 明天对居民的税收形式再收回去，经济人自身的持久收 入并没有变动。因此私人投资不会发生多大变化，净产 出也不见得会随公债规模的增大而增大。这样，政府的 借债行为就不会起到刺激民间消费的效果。


图（1）表示存在多种稳 定状态 图（2）表示不存在稳定 状态
在均衡点，有 Kt+1=kt=k* k*是全局稳定的： 给定K的任何初 始值，都会收敛 于稳态值。



世代交叠模型指出，即使经济体系能够达到竞争性 均衡，这种均衡仍然可能达不到帕累托最优。 例如，寿命期内的储蓄者很可能会过度储蓄进行资 本积累，这样即使在已经形成均衡的条件下，仍然 可能出现如下情况：如果能够多消费掉部分资本存 量，每个人的境况或许会改善，社会福利因而可以 继续提高，存在帕累托效率的改善空间，此时的经 济是帕累托无效率的。