世代交叠模型
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1 简介
由阿莱、萨缪尔森、戴蒙德等发展起来的世 代交叠模型建立在生命周期假说的基础上，即每 个社会成员都具有有限的生命，随着年老一代的 逝去，新的人口不断进入经济生活，在相同的时 点上，不同代际的人共同生活，该模型的名称即 由此而来。
假定每个消费者 都生存两期：年轻时 期和年老时期。在第 一期年轻时通过劳动 获得收入并用于消费 和储蓄，第二期年老 时期不劳动，依靠第 一期的储蓄及所获得 的利息进行消费,老年 人死后不留遗产，也 不欠债。
后的私人储蓄st，因此这种基金方式可使均衡点的资本存 量下降。
年龄的差别，以及由此导致的收入水平差异对人们的 消费和储蓄差异的影响非常大，世代交叠模型考虑到了 经济个体的差异性，将其划分成不同的群体进行分析， 因此能够精确地解析个人消费、养老安排等问题。 例如，巴罗通过世代交叠模型发现，政府为了刺激消 费，采用发行国债的扩张性财政政策未必能起到积极效 果。因为理性的经济人会看到当前政府财政赤字的增加 意味着未来政府税收的增加，政府今天的公债支出会以 明天对居民的税收形式再收回去，经济人自身的持久收 入并没有变动。因此私人投资不会发生多大变化，净产 出也不见得会随公债规模的增大而增大。这样，政府的 借债行为就不会起到刺激民间消费的效果。
是储蓄等式：St=S(Wt , rt+1)
对方程求导 ， 0<S´W<1 ， 表示储蓄是工资收入 的增函数。可能 S´r≥0 ， 也可能 S´r≤0 ， 利率对储蓄 的影响取决于下面两个方面，首先，利率增加使消 费者第一期的消费成本增加，因此消费者会减少第 一期的消费，提高储蓄；其次，利率增加使消费者 收入增加，则消费者的消费也会增加。因此，利率 的增加对储蓄的影响取决于哪一种效果更佳，也就 是替代效应和收入效应的大小。
把（2）代入（1）得到一生的预算约束，即
因此消费者在给定的预算约束下，分配两个时期的消 费水平和储蓄水平使他在两期获得的效用达到极大.（贴现率
ρ ≥ 0）
max u(C1t)+ (1+ρ)⁻1 u(C2(t+1))
从效应最大化的一阶条件和（3）式可以得出 C1t和C2（t+1）与变量Wt 和rt+1相关，关键的表达式
图（1）表示存在多种稳 定状态 图（2）表示不存在稳定 状态
在均衡点，有 Kt+1=kt=k* k*是全局稳定的： 给定K的任何初 始值，都会收敛 于稳态值。
世代交叠模型指出，即使经济体系能够达到竞争性 均衡，这种均衡仍然可能达不到帕累托最优。 例如，寿命期内的储蓄者很可能会过度储蓄进行资 本积累，这样即使在已经形成均衡的条件下，仍然 可能出现如下情况：如果能够多消费掉部分资本存 量，每个人的境况或许会改善，社会福利因而可以 继续提高，存在帕累托效率的改善空间，此时的经 济是帕累托无效率的。
5.1 完全基金系统
假设在t时期政府从该期的年轻人那里征收的基金为dt, 因为在t-1时期时，政府已经从当时的年轻人收取基金dt-1, 因此在时间t政府支付该期的老年人的利息(1+rt)dt-1。两 期模型的最优条件模型为 max u(Wt-St-dt)+ (1+ρ)⁻1 . u((1+rt+1)(St+dt) 资本存量的方程： Kt+1=[s(wt，rt+1) +dt]/1+n 从最优性条件知道，上述的基金方式对均衡点的存在性、 消费水平和资本存量都没有影响。这是因为社会保险增加 的部分dt，正好被减少的私人储蓄所抵消，总量st+dt仍 然等于以前水平的st。此时的基金好像从个人储蓄的部分 中抽出的一部分，这种基金对经济增长没有影响。
Kt+1=s(rt+1) LtAtWt
替换rt+1与wt
当Kt+1=kt=k*时，k达到均衡值（稳态）。
把上面的方程改写成下面 的式子：
下图显示了Kt+1和K t之
间的关系的一些可行 形式
方程把t+1时期的单位有 效劳动表示成四项乘积， 从右至左分别为：t时期的 单位有效劳动的产出，支 付给劳动的产出份额，劳 动中被储蓄的部分，t时期 的劳动量与t+1时期的劳 动量之比。
该种方式是政府把当前的年轻人的基金全部转移给该期 的老年人,此时的老年人所获得的收入是(1+n)dt 此时 max U(Wt-St-dt)+ (1+ρ)⁻1 U((1+rt+1)St+dt+1(1+n))
资本存量的方程： Kt+1=[s(wt，rt+1) ]/1+n
从个人来看，社会保险的收益率为n，而且社会保险仅 作为一种转移，完全不进入储蓄，显然在有社会保险时， 总的储蓄率下降，也就是随着基金的增加，消费者的储蓄 减少。对经济来说，资本的唯一来源是扣除了保险支出之
令t时期出生的每个人在第t期消费为C1t，在t+1时期的 消费为C2(t+1），t时期的储蓄为St, t+1时期的利率为rt+1,则 消费者在两个时期的预算约束为：
C1t+St=Wt C2(t+1）=(1+rt+1)St W t =C1t+ C2（t+1）/ (1+ rt+1)
（ 1）
（ 2）
（ 3）
动态无效率的产生根源在于，人在一代又一代的交替和 延续，给政府提供了增加老年人消费的可能性，而增加 老年人消费是市场所不能解决的问题。如果一个人想在 老年时期消费更多，那他只能持有更多的资本，即使资 本的实际利率很低。政府计划在完全可以让老年人消费 不由他们持有的资本和利息来决定，而是用多种方法在 青年和老年人消费之间进行调配，包括税收、补贴和转 移支付。 比如，政府想让老年人消费得更多，那么政府就可以向 青年的收入征收所得税，从每一个青年的劳动收入中征 收一部分，然后把这些税收收入转移支付给老年人 ， 老年人的消费就可以得到提高了。计划者通常要求青年 人的下一代继续做同样的事，以阻止其他人处境恶化。 如果资本存量大于黄金律水平，则把资源在老一代和新 一代之间进行转移的方法比储蓄更为有效。
完全竞争厂商的资本存量的边际生产率等于利率，劳动力的边际生产率等 于工资，其生产函数假设如下：Y=F(Kt, AtLt) At=(1+g)At-1
rt=ƒ´(kt)
W=ƒ(kt)-kƒ´(kt)
t+1时期的资本存量等于t时期年轻人的 储蓄量 两边同时除以Lt+1At+1，得到单位有效劳动资 本的表达式
由阿莱、萨缪尔森、戴蒙德等发展起来的世 代交叠模型建立在生命周期假说的基础上，即每 个社会成员都具有有限的生命，随着年老一代的 逝去，新的人口不断进入经济生活，在相同的时 点上，不同代际的人共同生活，该模型的名称即 由此而来。
假定每个消费者 都生存两期：年轻时 期和年老时期。在第 一期年轻时通过劳动 获得收入并用于消费 和储蓄，第二期年老 时期不劳动，依靠第 一期的储蓄及所获得 的利息进行消费,老年 人死后不留遗产，也 不欠债。
后的私人储蓄st，因此这种基金方式可使均衡点的资本存 量下降。
年龄的差别，以及由此导致的收入水平差异对人们的 消费和储蓄差异的影响非常大，世代交叠模型考虑到了 经济个体的差异性，将其划分成不同的群体进行分析， 因此能够精确地解析个人消费、养老安排等问题。 例如，巴罗通过世代交叠模型发现，政府为了刺激消 费，采用发行国债的扩张性财政政策未必能起到积极效 果。因为理性的经济人会看到当前政府财政赤字的增加 意味着未来政府税收的增加，政府今天的公债支出会以 明天对居民的税收形式再收回去，经济人自身的持久收 入并没有变动。因此私人投资不会发生多大变化，净产 出也不见得会随公债规模的增大而增大。这样，政府的 借债行为就不会起到刺激民间消费的效果。
是储蓄等式：St=S(Wt , rt+1)
对方程求导 ， 0<S´W<1 ， 表示储蓄是工资收入 的增函数。可能 S´r≥0 ， 也可能 S´r≤0 ， 利率对储蓄 的影响取决于下面两个方面，首先，利率增加使消 费者第一期的消费成本增加，因此消费者会减少第 一期的消费，提高储蓄；其次，利率增加使消费者 收入增加，则消费者的消费也会增加。因此，利率 的增加对储蓄的影响取决于哪一种效果更佳，也就 是替代效应和收入效应的大小。
把（2）代入（1）得到一生的预算约束，即
因此消费者在给定的预算约束下，分配两个时期的消 费水平和储蓄水平使他在两期获得的效用达到极大.（贴现率
ρ ≥ 0）
max u(C1t)+ (1+ρ)⁻1 u(C2(t+1))
从效应最大化的一阶条件和（3）式可以得出 C1t和C2（t+1）与变量Wt 和rt+1相关，关键的表达式
图（1）表示存在多种稳 定状态 图（2）表示不存在稳定 状态
在均衡点，有 Kt+1=kt=k* k*是全局稳定的： 给定K的任何初 始值，都会收敛 于稳态值。
世代交叠模型指出，即使经济体系能够达到竞争性 均衡，这种均衡仍然可能达不到帕累托最优。 例如，寿命期内的储蓄者很可能会过度储蓄进行资 本积累，这样即使在已经形成均衡的条件下，仍然 可能出现如下情况：如果能够多消费掉部分资本存 量，每个人的境况或许会改善，社会福利因而可以 继续提高，存在帕累托效率的改善空间，此时的经 济是帕累托无效率的。
5.1 完全基金系统
假设在t时期政府从该期的年轻人那里征收的基金为dt, 因为在t-1时期时，政府已经从当时的年轻人收取基金dt-1, 因此在时间t政府支付该期的老年人的利息(1+rt)dt-1。两 期模型的最优条件模型为 max u(Wt-St-dt)+ (1+ρ)⁻1 . u((1+rt+1)(St+dt) 资本存量的方程： Kt+1=[s(wt，rt+1) +dt]/1+n 从最优性条件知道，上述的基金方式对均衡点的存在性、 消费水平和资本存量都没有影响。这是因为社会保险增加 的部分dt，正好被减少的私人储蓄所抵消，总量st+dt仍 然等于以前水平的st。此时的基金好像从个人储蓄的部分 中抽出的一部分，这种基金对经济增长没有影响。
Kt+1=s(rt+1) LtAtWt
替换rt+1与wt
当Kt+1=kt=k*时，k达到均衡值（稳态）。
把上面的方程改写成下面 的式子：
下图显示了Kt+1和K t之
间的关系的一些可行 形式
方程把t+1时期的单位有 效劳动表示成四项乘积， 从右至左分别为：t时期的 单位有效劳动的产出，支 付给劳动的产出份额，劳 动中被储蓄的部分，t时期 的劳动量与t+1时期的劳 动量之比。
该种方式是政府把当前的年轻人的基金全部转移给该期 的老年人,此时的老年人所获得的收入是(1+n)dt 此时 max U(Wt-St-dt)+ (1+ρ)⁻1 U((1+rt+1)St+dt+1(1+n))
资本存量的方程： Kt+1=[s(wt，rt+1) ]/1+n
从个人来看，社会保险的收益率为n，而且社会保险仅 作为一种转移，完全不进入储蓄，显然在有社会保险时， 总的储蓄率下降，也就是随着基金的增加，消费者的储蓄 减少。对经济来说，资本的唯一来源是扣除了保险支出之
令t时期出生的每个人在第t期消费为C1t，在t+1时期的 消费为C2(t+1），t时期的储蓄为St, t+1时期的利率为rt+1,则 消费者在两个时期的预算约束为：
C1t+St=Wt C2(t+1）=(1+rt+1)St W t =C1t+ C2（t+1）/ (1+ rt+1)
（ 1）
（ 2）
（ 3）
动态无效率的产生根源在于，人在一代又一代的交替和 延续，给政府提供了增加老年人消费的可能性，而增加 老年人消费是市场所不能解决的问题。如果一个人想在 老年时期消费更多，那他只能持有更多的资本，即使资 本的实际利率很低。政府计划在完全可以让老年人消费 不由他们持有的资本和利息来决定，而是用多种方法在 青年和老年人消费之间进行调配，包括税收、补贴和转 移支付。 比如，政府想让老年人消费得更多，那么政府就可以向 青年的收入征收所得税，从每一个青年的劳动收入中征 收一部分，然后把这些税收收入转移支付给老年人 ， 老年人的消费就可以得到提高了。计划者通常要求青年 人的下一代继续做同样的事，以阻止其他人处境恶化。 如果资本存量大于黄金律水平，则把资源在老一代和新 一代之间进行转移的方法比储蓄更为有效。
完全竞争厂商的资本存量的边际生产率等于利率，劳动力的边际生产率等 于工资，其生产函数假设如下：Y=F(Kt, AtLt) At=(1+g)At-1
rt=ƒ´(kt)
W=ƒ(kt)-kƒ´(kt)
t+1时期的资本存量等于t时期年轻人的 储蓄量 两边同时除以Lt+1At+1，得到单位有效劳动资 本的表达式