第2章 陀螺仪原理 惯性导航

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二、惯性系统中常用的坐标系
在地球上进行导航，所定义的坐标系要将惯导系 统的测量值与地球的主要方向联系起来。因此涉及到 了各种不同的坐标系，主要有以下几类：

陀螺坐标系 地理坐标系 惯性坐标系 地球坐标系 载体坐标系
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1.陀螺坐标系oxyz
x轴：与陀螺内环轴一致，固连于内环上； z轴：与陀螺转子轴一致，固连于内环上；但不随转子转动； y轴：与oxy平面平行，大方向与外环一致，但一般不与外环轴一致
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3.进动性
进动性：当三自由度陀螺受到外力矩作用时， 陀螺仪并不在外力矩所作用的平面内产生运动， 而是在与外力矩作用平面相垂直的平面内运动。
进动方向：将外力矩矢量沿转子自转方向转90 度。
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外力矩作用 在内框轴上
外力矩作用 在外框轴上
当转子绕自转轴高速旋转即具有动量矩H 时，若外 力矩 M绕内框轴作用在陀螺仪上，则动量矩绕外框轴相 对惯性空间转动；若外力矩 M 绕外框轴作用在陀螺仪上， 则动量矩绕内框轴相对惯性空间转动。在陀螺仪上施加 外力矩，会引起陀螺动量矩矢量相对惯性空间转动的特 性，称为陀螺仪的进动性。
第二章 陀螺仪原理
2.1 三自由度陀螺及基本特性
2.2
2.3
陀螺力矩
坐标系关系
2.4 二自由度陀螺及其应用
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复 合 运 动
绝对运动：动点相对于定参考系的运动。 相对运动：动点相对于动参考系的运动。 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。 例：人在运动的车厢内行走。
复合运动：可以是有由两个直线运动组成，也可以由 两个圆周运动组成，还可以由一个直线运动和一个圆 周运动组成。
陀螺转子因为具有转动惯量，所以能够保持转 动轴方向不变。陀螺稳定性除与转子的转动惯量有 关外，还与它的转动角速度有关。在力学中，常用 动量矩Ｈ（角动量）来表示转动惯量Ｊ与角速度Ω 的乘积，即 H J ，方向用右手螺旋定则判断。
上式说明，转动惯量和自转角速度越大，动量矩越 大，定轴性越好，稳定性越高。此外，陀螺稳定性还与 陀螺三轴是否垂直有关。 注：物体在转动时所具有的保持其转动状态不变的 惯性，被称之为转动惯量。它与物体的质量形状及转动 2 轴的位臵有关，即： J mi hi
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北极处观察的表观运动
赤道处观察的表观运动
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三自由度陀螺定轴性
因此，如果想利用陀螺仪在载体上建立当地垂线和 子午线作为姿态的测量基准，就必须对陀螺施加一定的 控制力矩或修正力矩，使其自转轴始终跟踪当地垂线和 子午线在惯性空间中的方位变化。
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决定稳定性好坏的因素
（2）地球（含大气层）引力常数
(GM ) 3986005 108 m3 / s 2 0.6 108 m3 / s 2 ;
（3）地球自转角速度
() 7292115 10 rad / s 0.150010 rad / s;
11 11来自百度文库
（4）正常化二阶带球系数
C2.0 484.16685 106 1.30109。
Fk mak 2mVr
哥氏加速度是由于质点不仅做圆周运动， 而且也做径向或周向运动所产生的。
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陀 螺 简 介
陀螺是什么？ 我们小时候都玩过它。它是一 种圆锥形玩具，下端有尖针，绕上 细绳，猛甩出去就能在地上旋转。 陀螺定义：绕自身对称轴高速旋转的 刚体。（刚体—不变形的固体）
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4.地球坐标系 oxe ye z（ Terrestrial Frame ） e
地球坐标系 oxe ye ze， 原点取在地心，xe为赤道 平面与本初子午线的交线， 与地球自转轴重合， 与 ze ye xe ze 组成的平面垂直。显然地 球坐标系与地球固连，并 与地球一起转动。
导航定位中常用经、纬度表示载体相对于地球表面的位臵。
为什么用鞭子抽 打后，先轻微摆 动，后绕自转轴 高速旋转？
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陀螺仪（Gyroscope）
陀螺仪：将陀螺安装在框架装臵上，使陀螺的自 转轴有一定的转动自由度。 通常，把陀螺仪定义为利用动量矩（自转转子产 生） 敏感壳体相对惯性空间绕正交于自转轴的一个或 两个轴的角运动的装臵。
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特点 1)运动不是发生在力矩作用的方向，而是发 生 在和它垂直的方向； 2)进动角速度 M / H ，在角动量一定时， 对应于一个力矩只有一个进动角速度； 3)外力矩停止作用时，进动运动停止。 进动的内因：转子的高速自转即动量矩的存在； 进动的外因：外力矩改变动量矩方向的作用。
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实际的陀螺仪中，由于结构和工艺的不完 备，总是不可避免的存在着干扰力矩。从而破 坏了稳定性，产生了章动（瞬时冲击力矩）和 进动（一定持续时间的力矩） 。
章动：陀螺受 到瞬时冲击力矩作 用后，自转轴在原 位附近做微小的圆 锥运动，其转子轴 的大方向基本不变。
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2、陀螺相对地球的视在运动 由于陀螺仪的转动相对惯性空间保持方向 不变，而地球以自转角速度绕极轴相对于惯性 空间转动，因此观察者以地球为参考基准，会 看到陀螺自转轴相对于地球在运动，这种现象 叫做陀螺仪的视在运动。
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将大地水准体 用一个有确定参数 的旋转椭球体来逼 近代替（如椭球面 与真实大地水准面 之间的高度差的偏 差平方和最小）， 这种旋转椭球体称 为参考椭球体，简 称参考椭球。
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国际通用参考椭球体
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WGS-84坐标系基本参数
（1）椭球长半径
(a) 6378137 2m;
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在干扰力矩的作用下陀螺仪产生的进动，使 得自转轴在惯性空间逐渐偏离原来的方位，这种 现象称之为漂移。 d M d / H
漂移 角速度 干扰 力矩
稳定性与进动性的关系 稳定性越好的陀螺，进动就越不明显； 进动越明显的陀螺，稳定性就越差。
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2.2 陀 螺 力 矩
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6.平台坐标系 OX pYp Z p （Platform frame ）
在平台式惯导系统中， O 原点 在飞机重心， X pYP 轴总是在水平面内， ZP 轴在地垂方向，指天或地。
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三、坐标系转换关系 为了测量飞机 姿态，需将惯性系 或地理系移到飞机 上，方法之一：在 飞机上利用三自由 度自由陀螺或定位 陀螺来模拟惯性系 或地理系。
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2.地理坐标系OENZ(或 oxt yt z t ) Geodetic Navigation Frame
以地球作为参照系时，规定： 原点O—飞行器重心在地球表面的投 影点； E 轴 —指东，即坐标原点纬线向东 的切线； N 轴 —指北，即坐标原点经线向北 的切线； Z 轴 —沿地垂线方向,指向天空。
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2.3
通过测量，地 球北极凸出，南极 凹陷，类似一个梨 形旋转椭球体，并 且表面有不同的地 形地貌。由于这种 不规则的球体无法 用数学模型表达， 在导航中不用它来 描述地球形状。
坐标系关系
一、地球的形状及其参数
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设想地球被 海洋全部包围， 则各处海平面形 成的地球形状称 为大地水准体。 与地球自然表面 非常接近（71% 的海水）
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进动方向
进动角速度ω的方向，取决于动量矩H和外力矩M的方向。
陀螺受外力矩作用 时，动量矩（自转角速 度矢量）沿最短的路线 向外力矩矢量运动
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M 进动角速度大小： J cos
α为转子轴从与外框轴垂直的位臵向上或向 下偏离的角度；M为外加力矩，J为转动惯量， Ω为自转角速度。可见，转子自转角速度越大 ，进动角速度越小；转子对自转轴的转动惯量 越大，进动角速度越小；外力矩越大，进动角 速度越大
ZT
N
Z E O
G
XT
YT
地球坐标系的OEN平面是当地水平面，ONZ平面是当 地子午面，这两个平面是地平仪和航向陀螺仪的基准面。
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3.惯性坐标系 (Space-fixed or Inertial Frame) 在研究惯性系统时，通常将相对恒星所确定的参考系 称为惯性空间，空间中静止或匀速直线运动的参考坐标系 称为惯性参考坐标系。 日心惯性坐标系 ： I X 0Y0 Z0 地球惯性坐标系 ： E X 0Y0Z0
陀螺力矩实验
陀螺力矩实验
物体同时绕两个互不平行的轴旋转时，会产生陀螺力矩 陀螺力矩的矢量垂直于两个转轴所组成的平面
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陀螺力矩 根据牛顿第三定律，当外界对陀螺仪施加力 矩使它进动时，陀螺仪必然存在反作用力矩，其 大小与外力矩相等，方向则相反，并且作用在给 陀螺仪施加力矩的那个物体上。陀螺仪进动时的 M 反作用力矩通常称为“陀螺力矩”。陀螺力矩G 与外力矩 M 之间的关系显然为
敏感角运动的一种精密传感器，是惯性导航系统 的中最重要、技术含量最高的仪器，是惯导系统中的 核心器件。陀螺仪的精度是惯导系统精度的主要决定 因素。
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随着科学技术的发展，许多新型陀螺仪的大 量出现，它们之中已经没有高速旋转的转子，但 是它们仍然可以用来感测物体相对惯性空间的角 运动，因此人们也把陀螺仪这一名称扩展到没有 刚体转子而功能与经典陀螺仪等同的敏感器。 本节仍以框架式刚体转子陀螺仪为研究对象来 阐述陀螺仪的基本特性。
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上述变换，坐标系2是坐标系1绕 Z轴旋转后 得到的，称仅绕一根轴的旋转为基本旋转。两个 坐标系间任何复杂的角位臵关系都可看作是有限 次基本旋转的复合，变换矩阵等于基本旋转的变 换矩阵的连乘，顺序依旋转的先后由右向左排列。 例如运载体的空间姿态可看作依次绕航向轴、俯 仰轴、横滚轴作基本旋转后的结果。 下图中，n坐标系为地理坐标系，b坐标系为 机体坐标系。
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2.1
三自由度陀螺及基本特性
一、两个主要特性： 稳定性：陀螺转子绕自转轴高速旋转即具 有动量矩时，如果不受外力矩作用，自转轴将 相对惯性空间保持方向不变的特性。 进动性：在陀螺上施加外力矩时，会引起 陀螺动量矩矢量相对惯性空间转动的特性。
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1.稳定性 三自由度陀螺保持其自转轴（或动量矩矢 量—教材P8）在空间的方向不发生变化的特性。 有两种表现形式即定轴性和章动。 定轴性:当三自由度陀螺转子高速旋转后， 若不受外力矩的作用，不管基座如何转动，支承 在万向支架上的陀螺仪的自转轴指向惯性空间方 位不变。陀螺的动量矩越大，陀螺仪的定轴性越 强。
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例：当复合运动由一个直线运动和一个圆周 运动组成。（P6）
y Ve Vr
牵连切线速度使相 对速度发生变化而产生 的加速度 ：a1 Vr 相对速度使牵连速 度发生变化而产生的加 速度 ： a2 Vr
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ω
直杆
滑块
x
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附加加速度（哥氏加速度）： ak a1 a2 附加惯性力:
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5.机体坐标系 OX BYB Z B(Mobile Frame，Body Frame )
机体坐标系与飞机固连， 用表示 OX BYB Z B ，坐标原 O 点 OX B OZB 与飞机重心重合， 与飞机纵轴一致， 与飞 OYB 机竖轴一致， 与飞机横 轴一致。
ZB
YB
XB
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M G M H
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陀螺力矩方向
从动量矩沿最短路径握向进动角速度的右手 旋进方向，即为陀螺力矩的方向。
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陀螺力矩大小
M G J cos M G H cos
式中为自转角速度矢量与牵连角速度矢 量的垂直位臵之夹角。
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三自由度陀螺（二自由度） 二自由度陀螺（单自由度） 陀螺的应用：指示仪表，传感器，把陀螺本身作为 一个元部件，与其他自动控制元部件组成各种陀螺装臵。
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基本部件：陀螺转子，内、外框架（支承部 件），附件（电机、力矩器等）
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陀 螺 应 用
1.指示仪表：指示飞机俯仰角和倾斜角的航空地 平仪，指示航向角的罗盘，指示转弯方向和速 度的转弯仪。 2.传感器:输出与被测量参数成一定关系的电信 号。如陀螺航向传感器，角速度传感器。 3.本身作为一个元部件，与其它自动控制元部件 组成各种陀螺装臵。如陀螺稳定平台，惯性导 航系统等。