土体随机地震反应及永久变形分析
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P( b0 ) P( b0 a) f A (a)da [1 F ( b0 a)]f A (a)da
0 0 am am
如果地震危险性分析只给出离散化的地面加速度超越概率值 P(A>ai)，则上式积分可简化为
P( b0 ) [1 F (b0
i 1 n
• 富里埃变换存在的充要条件是他在时域中的计算能量必 须满足有限能量条件：
h(t )h (t )dt
*
h(t ) dt
2
• 平稳过程每个样本函数都是无始无终地变化的，不能满 足有限能量条件，因此不能直接对样本函数进行富氏变 换来获得过程的频谱。 • 自相关函数的富里埃变换表示振动功率按频率分布情况 过程功率谱密度简称谱密度 • 通过随机过程相关分析，再对相关函数进行富氏变换得 到的过程幅谱方法称为功率谱密度分析。
根据剪应变峰值分布可以推求剪应变峰值概率密度函数为：
p p p p 1 2 P( p ) exp[ ] [1 erf ( )]exp( ) 2 2 2 2 2 (1 2 ) 2 2 2 2 2 2
2 2
该分布受带宽参数控制，当1 时，p(p)退化为瑞利分布：
假设一系列对应j，的虚拟简谐振动，可得出对应的反应幅值A，然后 各自乘一次便得到一系列对应离散点的功率谱密度值，从而可求出稳态反 应功率谱密度曲线，进一步可以求出正则位移的零阶、二阶和四阶谱矩等 统计特性。
（5）由于土体的剪切模量和阻尼比均依赖于所施加的剪应变 幅值的大小，因此需确定与剪应变过程相协调的剪切模量 和阻尼比。
0 T
相应地在[0,T]时段内首次超越b的概率，即首次破坏概率为
P( m b) 1 F m (b)
永久变形响应最大值m的均值和标准差为
E[ m ] [ 2 ln(V0T ) ] 0.5772 ] 2 ln(V0T )
[ m ]
6
1 2 ln( 0T ) V
2
百度文库0
0
G ( )d
2 2G ( )d
2 4G ( )d 0
t时刻永久变形响应过程(t)的平均穿零率为：
b2 V (t ) V (t ) exp( 2 ) 2
b 0
穿越某界限值b的单位时间次数为
S0
p 为峰值因子.
2 42 am g
2 g (1 42 ) p g
随机地震反应分析（续）
（2）在计算开始时对土体各单元假定一组适当的剪切模量和阻 尼比G0, 0 ，形成具有n个自由度线性系统运动方程式：
[M ] [C] [K ] [M ] g (t )
（4）对随机地震激励下的方程，引进林家浩的单自由度随机 地震反应虚拟激励法在频域内求解。
) 基岩运动的功率谱密度 Sug (可以看成是由无穷多个不同频率的虚拟简谐 振动组成，且每个简谐振动（圆频率为j）的振幅平方与ug ( j ) 成正比，因 S 此将输入地震谱在频域上进行离散，形成一系列离散点j处的离散 S ug ( ) Sug ( ) 值 ， ，对第j个离散点，假定输入量是以jj为频率， 为
E[ p ]1 p
2 2 p exp( ) d p 2 2 2
1
当0 时，p(p)退化为高斯分布：
E[ p ]2
0
p 2 p 2 exp( p 2 )d p 2 2
实际土体反应介于这两种分布之间，可用如下方法确定土体的等价剪应变：
eq E[ p ]1 ( E[ p ]2 E[ p ]1 )
根据坝料的剪切模量、阻尼比与动剪应变的关系，可以求出初始时段结 束时等价剪切模量和阻尼比：
Geq G ( eq )
eq ( eq )
（6）如果Geq,eq与初始预估的G0, 0相协调，则完成稳态反 应计算，否则以Geq,eq代替G0, 0，重新回到(1) 继续迭代， 直到符合迭代精度。 （7）迭代结束后，输出反应量（位移、速度、加速度、应力 等）的各阶谱矩等统计量。
为什么要进行随机地震反应 分析？ 地震三要素
最大加速度 (Maximum acceleration) 卓越周期 (Predominant period) 地震持续时间 (Seismic duration)
为什么要进行随机地震反应 分析？
地震运动的非确定性即随机性
地震波细节的随机性 最大加速度的随机性 空间场分布的随机性 土质参数场的随机性
《土动力学与地震工程高研班》 2000，11，1017
土体随机地震反应及地震 永久变形危险性分析
刘汉龙 南京市西康路1号 河海大学岩土工程研究所
This presentation
随机地震反应分析必要性 永久变形分析方法简要回顾 土体随机地震反应分析 永久变形随机反应分析 地震永久变形危险性分析
今井清平稳高斯过滤白噪声随机过程模型
1 42 ( g S ( )
2 2 [1 ( ) ] 42 ( ) g g g
2 ) g
S0
g, g 分别为土层过滤器的圆频率和阻尼比,由地震烈度和场地 条件确定, S 为白噪声功率谱强度,与峰值地震加速度 am 有关
随机反应分析的优点 通过分析可以了解到整个地震时段内可能出现的最大反
应值的平均大小，以及最大反应的离散程度，进一步可 以确定具有任何累积概率的最大反应。因此可以根据工 程的重要性，选择不同的设计标准及其对应的可靠度指 标进行优化设计
随机性分析给出反应量的大小及其相应的概率，比单独
给出某一条确定的地震波作用下的单值反应更合理和全 面。
幅值的简谐运动，即：
u y (t ) Suy ( j ) exp( it )
令动力响应为
yi (t ) Ai exp(it )
i Suy ( j )
并代入运动方程可求得
Ai
2 i2 i 2i i j j
将幅值A自乘一次即得到正则位移的功率谱密度 Gyg ( )
ai(m/s2) P(A>ai) 0.25 0.46 0.75 0.09 1.25 0.038 1.75 0.018 2.25 0.011 2.75 0.0069 3.25 0.0036 3.75 0.0018 4.25 0.0007
54
30 15 3 0
21
10 5 3 0
Table 2 the reliability of horizontal permanent deformation for node 41
qd R p0 a b R
(3)将等价节点力作用于土体单元各节点上，所求得的变形即为 地震产生的永久变形。由于土体剪切模量G与残余剪应变R有关， 故计算需迭代进行。
地震永久变形随机反应分析
(1)计算永久变形功率谱密度函数 假设随机地震永久变形是由于随机等价节点力作用下产生的。 根据残余剪应变峰值概率密度函数求出等价剪应变，并对剪切 模量进行迭代。 (2)根据永久变形功率谱密度函数，计算永久变形分布的零阶、 二阶和四阶谱矩：
b2 V (t ) V (t ) exp( ) 2 2
b 0
当界限值较高时，(t)穿越b的次数近似服从Poisson分布，故可 推导出在[0,T]时段内不超过界限b的概率，即m的概率分布函 数
F m (b) P( m b) 1 exp[2 Vb (t )dt]
（3）实践表明，对土体地震反应起主要作用的仅低阶有限振型， 因此可通过振型分解法将动力运动方程分解成q个独立的单 自由度方程：
i 2i i yi i2 yi iug (t ) y (i 1,2,3......q)
其中 yi 为正则位移，i 为第i个振型参与系数。
永久变形危险性分析
以上的分析是针对某一确定的地震强度A=a时由于地震波细节的随 机性而引起的永久变形条件概率分布，即F(b/A=a)，而实际上地震 强度本身也是不可预见的随机变量。通过场地危险性分析可得出的 概率分布为FA(a)，因此要完整地计算永久变形超过某一界限值b0的 概率，需进行全概率分析。 假定已从地震危险性分析中确定出今后数年内场地加速度A的超越概 率P(A>a)=1-FA(a)和概率密度fA(a)，而任意一地震强度A=a作用下的 土体永久变形的概率分布P(>b0/a)=1-F(b0/a)由也按前述的方法求 出，则根据全概率法则，永久变形 > b0 危险性概率为：
ai ai 1 )][P( A ai ) P( A ai 1 )] 2
由此式可以确定土体在今后若干年内永久变形超越任何界限值的 概率。
实例分析(Case study)
Node41
12
9
30
30
30
Table 1 The exceed probability in 100 years
* am b(cm) 5.00 10.00 20.00 50.00 80.00 100.00 120.00 150.00 * P( 0.5 (m/s2) 2.87461 94.2836 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 (%) 1.0 (m/s2) 0.00945 9.20969 89.0012 99.9971 100.000 100.000 100.000 100.000 1.5 (m/s2) 0.00156 0.13758 45.2151 94.9234 99.9999 100.000 100.000 100.000 2.0 (m/s2) 0.00102 0.01536 9.12511 52.4666 99.8980 100.000 100.000 100.000 2.5 (m/s2) 0.00080 0.00424 0.63585 24.3954 96.8415 99.9999 100.000 100.000 3.0 (m/s2) 0.00078 0.00320 0.18641 9.41250 82.3332 99.9980 99.9999 100.000 3.5 (m/s2) 0.00074 0.00231 0.05003 1.33183 52.5667 98.6510 99.9998 100.000 4.0 (m/s2) 0.00015 0.00250 0.02514 0.71694 29.1558 91.6855 99.9997 100.000
滑体变形确定性分析
整体变形确定性分析
Newmark滑块变形法 Franklin & Chang滑块变形法 Markdisi & Seed 滑块变形法 渡边启行滑块变形法 William 滑块变形法 沈珠江等滑块变形法
软化模量法 - Serrf线性修正法 - Serrf 非线性修正法 等效节点力法 - Serrf等效节点力法 - Taniguchi等效惯性力法 - 刘汉龙等效节点力法
随机性地震永久变形分析
滑体变形随机性分析 整体变形随机性分析
Lin 滑块变形法 Lin & William 滑块变形法 Yegian滑块变形法 吴再光滑块变形法
吴再光软化模量法 刘汉龙等效节点力法
随机地震反应分析
（1）确定基岩运动模型 将地震输入作为随机过程，如果随机过程X(t)满足： 1、数学期望：E[X(t)] = C 2、相关函数：Rx(t1,t2) = E[X(t1),X(t2)] =Rx(t2-t1)=Rx() 平稳随机过程模型 非平稳随机过程模型
永久变形随机反应分析
确定性地震永久变形分析
(1)该法是在Serff等价节点力和Taniguchi等价惯性力基础上发
展起来的。首先计算等价节点力
1 Fh av ( xi xi 1 ) 2
1 Fv av ( yi yi 1 ) 2
(2)求出等价节点力后，以静力计算结束时的模量为初始模量， 采用Taniguchi建议的动力应力和残余应变关系：
地震永久变形分类一
地震惯性力引起变形
地震液化引起变形
地震液化后变形
地震永久变形分类二
确定性地震永久变形
对某一条或几条确定性的地震波进行数值积分求出的 永久变形
随机性地震永久变形
即非确定性永久变形，采用随机振动理论，对随机波行 随机振动分析求出的永久变形。
确定性地震永久变形分析
0 0 am am
如果地震危险性分析只给出离散化的地面加速度超越概率值 P(A>ai)，则上式积分可简化为
P( b0 ) [1 F (b0
i 1 n
• 富里埃变换存在的充要条件是他在时域中的计算能量必 须满足有限能量条件：
h(t )h (t )dt
*
h(t ) dt
2
• 平稳过程每个样本函数都是无始无终地变化的，不能满 足有限能量条件，因此不能直接对样本函数进行富氏变 换来获得过程的频谱。 • 自相关函数的富里埃变换表示振动功率按频率分布情况 过程功率谱密度简称谱密度 • 通过随机过程相关分析，再对相关函数进行富氏变换得 到的过程幅谱方法称为功率谱密度分析。
根据剪应变峰值分布可以推求剪应变峰值概率密度函数为：
p p p p 1 2 P( p ) exp[ ] [1 erf ( )]exp( ) 2 2 2 2 2 (1 2 ) 2 2 2 2 2 2
2 2
该分布受带宽参数控制，当1 时，p(p)退化为瑞利分布：
假设一系列对应j，的虚拟简谐振动，可得出对应的反应幅值A，然后 各自乘一次便得到一系列对应离散点的功率谱密度值，从而可求出稳态反 应功率谱密度曲线，进一步可以求出正则位移的零阶、二阶和四阶谱矩等 统计特性。
（5）由于土体的剪切模量和阻尼比均依赖于所施加的剪应变 幅值的大小，因此需确定与剪应变过程相协调的剪切模量 和阻尼比。
0 T
相应地在[0,T]时段内首次超越b的概率，即首次破坏概率为
P( m b) 1 F m (b)
永久变形响应最大值m的均值和标准差为
E[ m ] [ 2 ln(V0T ) ] 0.5772 ] 2 ln(V0T )
[ m ]
6
1 2 ln( 0T ) V
2
百度文库0
0
G ( )d
2 2G ( )d
2 4G ( )d 0
t时刻永久变形响应过程(t)的平均穿零率为：
b2 V (t ) V (t ) exp( 2 ) 2
b 0
穿越某界限值b的单位时间次数为
S0
p 为峰值因子.
2 42 am g
2 g (1 42 ) p g
随机地震反应分析（续）
（2）在计算开始时对土体各单元假定一组适当的剪切模量和阻 尼比G0, 0 ，形成具有n个自由度线性系统运动方程式：
[M ] [C] [K ] [M ] g (t )
（4）对随机地震激励下的方程，引进林家浩的单自由度随机 地震反应虚拟激励法在频域内求解。
) 基岩运动的功率谱密度 Sug (可以看成是由无穷多个不同频率的虚拟简谐 振动组成，且每个简谐振动（圆频率为j）的振幅平方与ug ( j ) 成正比，因 S 此将输入地震谱在频域上进行离散，形成一系列离散点j处的离散 S ug ( ) Sug ( ) 值 ， ，对第j个离散点，假定输入量是以jj为频率， 为
E[ p ]1 p
2 2 p exp( ) d p 2 2 2
1
当0 时，p(p)退化为高斯分布：
E[ p ]2
0
p 2 p 2 exp( p 2 )d p 2 2
实际土体反应介于这两种分布之间，可用如下方法确定土体的等价剪应变：
eq E[ p ]1 ( E[ p ]2 E[ p ]1 )
根据坝料的剪切模量、阻尼比与动剪应变的关系，可以求出初始时段结 束时等价剪切模量和阻尼比：
Geq G ( eq )
eq ( eq )
（6）如果Geq,eq与初始预估的G0, 0相协调，则完成稳态反 应计算，否则以Geq,eq代替G0, 0，重新回到(1) 继续迭代， 直到符合迭代精度。 （7）迭代结束后，输出反应量（位移、速度、加速度、应力 等）的各阶谱矩等统计量。
为什么要进行随机地震反应 分析？ 地震三要素
最大加速度 (Maximum acceleration) 卓越周期 (Predominant period) 地震持续时间 (Seismic duration)
为什么要进行随机地震反应 分析？
地震运动的非确定性即随机性
地震波细节的随机性 最大加速度的随机性 空间场分布的随机性 土质参数场的随机性
《土动力学与地震工程高研班》 2000，11，1017
土体随机地震反应及地震 永久变形危险性分析
刘汉龙 南京市西康路1号 河海大学岩土工程研究所
This presentation
随机地震反应分析必要性 永久变形分析方法简要回顾 土体随机地震反应分析 永久变形随机反应分析 地震永久变形危险性分析
今井清平稳高斯过滤白噪声随机过程模型
1 42 ( g S ( )
2 2 [1 ( ) ] 42 ( ) g g g
2 ) g
S0
g, g 分别为土层过滤器的圆频率和阻尼比,由地震烈度和场地 条件确定, S 为白噪声功率谱强度,与峰值地震加速度 am 有关
随机反应分析的优点 通过分析可以了解到整个地震时段内可能出现的最大反
应值的平均大小，以及最大反应的离散程度，进一步可 以确定具有任何累积概率的最大反应。因此可以根据工 程的重要性，选择不同的设计标准及其对应的可靠度指 标进行优化设计
随机性分析给出反应量的大小及其相应的概率，比单独
给出某一条确定的地震波作用下的单值反应更合理和全 面。
幅值的简谐运动，即：
u y (t ) Suy ( j ) exp( it )
令动力响应为
yi (t ) Ai exp(it )
i Suy ( j )
并代入运动方程可求得
Ai
2 i2 i 2i i j j
将幅值A自乘一次即得到正则位移的功率谱密度 Gyg ( )
ai(m/s2) P(A>ai) 0.25 0.46 0.75 0.09 1.25 0.038 1.75 0.018 2.25 0.011 2.75 0.0069 3.25 0.0036 3.75 0.0018 4.25 0.0007
54
30 15 3 0
21
10 5 3 0
Table 2 the reliability of horizontal permanent deformation for node 41
qd R p0 a b R
(3)将等价节点力作用于土体单元各节点上，所求得的变形即为 地震产生的永久变形。由于土体剪切模量G与残余剪应变R有关， 故计算需迭代进行。
地震永久变形随机反应分析
(1)计算永久变形功率谱密度函数 假设随机地震永久变形是由于随机等价节点力作用下产生的。 根据残余剪应变峰值概率密度函数求出等价剪应变，并对剪切 模量进行迭代。 (2)根据永久变形功率谱密度函数，计算永久变形分布的零阶、 二阶和四阶谱矩：
b2 V (t ) V (t ) exp( ) 2 2
b 0
当界限值较高时，(t)穿越b的次数近似服从Poisson分布，故可 推导出在[0,T]时段内不超过界限b的概率，即m的概率分布函 数
F m (b) P( m b) 1 exp[2 Vb (t )dt]
（3）实践表明，对土体地震反应起主要作用的仅低阶有限振型， 因此可通过振型分解法将动力运动方程分解成q个独立的单 自由度方程：
i 2i i yi i2 yi iug (t ) y (i 1,2,3......q)
其中 yi 为正则位移，i 为第i个振型参与系数。
永久变形危险性分析
以上的分析是针对某一确定的地震强度A=a时由于地震波细节的随 机性而引起的永久变形条件概率分布，即F(b/A=a)，而实际上地震 强度本身也是不可预见的随机变量。通过场地危险性分析可得出的 概率分布为FA(a)，因此要完整地计算永久变形超过某一界限值b0的 概率，需进行全概率分析。 假定已从地震危险性分析中确定出今后数年内场地加速度A的超越概 率P(A>a)=1-FA(a)和概率密度fA(a)，而任意一地震强度A=a作用下的 土体永久变形的概率分布P(>b0/a)=1-F(b0/a)由也按前述的方法求 出，则根据全概率法则，永久变形 > b0 危险性概率为：
ai ai 1 )][P( A ai ) P( A ai 1 )] 2
由此式可以确定土体在今后若干年内永久变形超越任何界限值的 概率。
实例分析(Case study)
Node41
12
9
30
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Table 1 The exceed probability in 100 years
* am b(cm) 5.00 10.00 20.00 50.00 80.00 100.00 120.00 150.00 * P( 0.5 (m/s2) 2.87461 94.2836 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 (%) 1.0 (m/s2) 0.00945 9.20969 89.0012 99.9971 100.000 100.000 100.000 100.000 1.5 (m/s2) 0.00156 0.13758 45.2151 94.9234 99.9999 100.000 100.000 100.000 2.0 (m/s2) 0.00102 0.01536 9.12511 52.4666 99.8980 100.000 100.000 100.000 2.5 (m/s2) 0.00080 0.00424 0.63585 24.3954 96.8415 99.9999 100.000 100.000 3.0 (m/s2) 0.00078 0.00320 0.18641 9.41250 82.3332 99.9980 99.9999 100.000 3.5 (m/s2) 0.00074 0.00231 0.05003 1.33183 52.5667 98.6510 99.9998 100.000 4.0 (m/s2) 0.00015 0.00250 0.02514 0.71694 29.1558 91.6855 99.9997 100.000
滑体变形确定性分析
整体变形确定性分析
Newmark滑块变形法 Franklin & Chang滑块变形法 Markdisi & Seed 滑块变形法 渡边启行滑块变形法 William 滑块变形法 沈珠江等滑块变形法
软化模量法 - Serrf线性修正法 - Serrf 非线性修正法 等效节点力法 - Serrf等效节点力法 - Taniguchi等效惯性力法 - 刘汉龙等效节点力法
随机性地震永久变形分析
滑体变形随机性分析 整体变形随机性分析
Lin 滑块变形法 Lin & William 滑块变形法 Yegian滑块变形法 吴再光滑块变形法
吴再光软化模量法 刘汉龙等效节点力法
随机地震反应分析
（1）确定基岩运动模型 将地震输入作为随机过程，如果随机过程X(t)满足： 1、数学期望：E[X(t)] = C 2、相关函数：Rx(t1,t2) = E[X(t1),X(t2)] =Rx(t2-t1)=Rx() 平稳随机过程模型 非平稳随机过程模型
永久变形随机反应分析
确定性地震永久变形分析
(1)该法是在Serff等价节点力和Taniguchi等价惯性力基础上发
展起来的。首先计算等价节点力
1 Fh av ( xi xi 1 ) 2
1 Fv av ( yi yi 1 ) 2
(2)求出等价节点力后，以静力计算结束时的模量为初始模量， 采用Taniguchi建议的动力应力和残余应变关系：
地震永久变形分类一
地震惯性力引起变形
地震液化引起变形
地震液化后变形
地震永久变形分类二
确定性地震永久变形
对某一条或几条确定性的地震波进行数值积分求出的 永久变形
随机性地震永久变形
即非确定性永久变形，采用随机振动理论，对随机波行 随机振动分析求出的永久变形。
确定性地震永久变形分析