圆的对称性-知识点及典型例题

圆的对称性

【典型例题】

例1.如图，在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AC = 3, BC = 4,以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。

分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。

解: / \

例2.如图，O O中，弦AB = 10cm , P是弦AB上一点，且4cm,

OP = 5cm，求O O 的半径。

分析：O O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用

勾股定理求解。

解：

例3.如图“五段彩虹展翅飞” 该桥的两边均有五个红色的圆拱, 所在圆的直径。

分析：略

解: 是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车,

最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱

【模拟试题】一.选择题。

1. O O中，弦AB所对的弧为

A. 2

B. 1 120°,圆的半径为

C.空

2

2,则圆心到弦AB的距离OC为（

2.如图，AB是O O的直径，弦长

为（）

CD丄AB，垂足为E,如果ABiO，CD 二8 ,则AE

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

8. 如图 A3 = AC ,/ A = 30°

9. 过O O 内一点M 的最长的弦为6cm ，最短的弦长为 10. O O 的半径为 10cm ,弦 AB // CD , AB = 12cm , CD = 16cm ,

则AB 和CD 的距离为 _____________ 。

11. O O 的直径AB 和弦CD 相交于点 E ,已知AE = 1cm , EB =5cm , / DEB = 60°，贝U CD = 三.解答题。

4cm ，贝U OM 的长为 12.如图，O O 的直径为4cm ,弦AB 的长为厶疗cm ，你能求 出/ OAB 的度数吗？写出你的计算过程。

C.垂直于弦的直径平分这条弦

D.相等的圆心角所对的弧相等

5. 如图，已知 AD = BC ,贝U AB 与CD 的关系为（

）

A. AB > CD

B. AB = CD

C. AB < CD

二.填空题。

6. 半径为6cm 的圆中，有一条长 4板m 的弦，则圆心到此弦的距离为 _________________ cm 。

7. 把球放在长方体纸盒内， 球的一部分露出盒外， 其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米, 则球的半径为

厘米.

3.如图，O O 的弦AB 垂直于直径 MN , C 为垂足，若 OA = 5cm , 立的是（）

F 面四个结论中可能成

A. AB = 12 cm

B. 4. 下列命题中正确的是（

A.圆只有一条对称轴

C. MH = 3cm ）

B.平分弦的直径垂直于弦 D.不能确定

0C = 6cm B

D. AC = 2.5c ：m

B

o

B

13.已知，O O 的弦AB 垂直于直径 CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA = EC 。 求证：皿2

匚

7E

14.如图，AB 是O O 的弦，AB 长为8, P 是O O 上一个动点（不与 A 、B 重合），过点O 作OC 丄AP 于点C , OD 丄PB 于点D ，贝U CD 的长是怎么变化的？请说明理由。

O O 上有三点 A 、B 、C 且 AB = AC = 6,/ BAC = 120°,求O O 的半径。

16. O O 的直径AB = 15cm ，有一条定长为 9cm 的动弦，CD 在山它上滑动（点 C 和A 、 点D 与B 不重合），且 CE 丄CD 交AB 于E , DF 丄CD 交AB 于F 。

（1）求证：AE = BF ; 2）在动弦CD 滑动过程中，四边形 CDFE 的面积是否为定值，若是 定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。

15.如图, R

C

17. (12上海)如图，在半径为2的扇形AOB中，/ AOB=90 °点C是弧AB上的一个动

点(不与点A、B重合)OD丄BC, OE丄AC，垂足分别为D、E.

(1 )当BC=1时，求线段OD的长；

(2)在^ DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在,

请说明理由；

(3 )设BD=x ,△ DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域.

圆的对称性试题答案

•/ AB 丄CD , CD 为O O 的直径 ••• BC = AC

•••/ CAB =/ 又 EA = EC •••/ CAB =/ •••/ CBA = /

•••△ AECsA ACB

.AC_ AE

"AB "A J C

=AE * AB

即

.选择题。 1. B 2.A 二.填空题。 4. C 5. B

6. 4

7. 10 9. 4^

8. 75 ° 10. 2cm 或 14cm 11. 276 cm （垂径定理与勾股定理） 三.解答题。 12解：过点0作0C 丄AB

2 于C ,则 AC = BG=-AB = •••/ OAB = 30° 13证明：连结BC

CBA

ECA ECA

14.解：略

15解：连OA

* AE - AC

•••AB = AC ,…小-蛙

••• OA 丄BC 于D

又/ BAC = 120°

•••/ BAD =/ CAD = 60°,/ B = / C = 30°

(2)解：四边形CDFE面积是定值

证明：•••动弦CD滑动过程中条件EC丄DC , FD丄CD不变

••• CE // DF 不变

•••四边形CDFE为直角梯形，且OG为中位线

••• S= OG • CD

连OC,

由勾股定理有：

.\AI> = -AB = 3

2

BD = J沪-=裁

宀G - 3)'十(弭科

设O O的半径为r,则

•- r= 6

16. (1)证明：如图，过

则G为CD的中点

又EC丄CD, FD丄CD

••• EC // OG // FD

••• O为EF的中点，即

又AB为O O的直径

••• OA = OB

••• AE = BF (等式性质)

O作OG丄CD于G

OE= OF