代数变形常用技巧及其应用

代数变形常用技巧及其应用

摘要

代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用．

关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法

The common skills and application of the

algebra distortion

Abstract

The algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve.This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects：The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skill’s uses in the fraction, inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on.

Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought

undetermined coefficient method

目录

摘要…… .......................................................................................................... I Abstract ............................................................................................................. I I

一、绪论 (1)

二、换元法及其应用 (1)

（一）换元法的定义 (1)

（二）换元法的应用 (2)

1．应用于三角中 (2)

2．应用于分式不等式中 (2)

3．在方程组中的应用 (3)

三、直接法及其应用 (4)

（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入 (4)

（二）在不等式中的应用 (5)

（三）在求极限中的应用 (5)

（四）在求导中的应用 (6)

四、数学公式法及其应用 (7)

（一）完全平方公式的变形及应用 (7)

（二）三角公式变形及其应用 (7)

（三）行列式变形及其应用 (8)

五、分解组合思想及其应用 (9)

（一）配方法 (9)

1．应用于解方程和因式分解中 (9)

2．应用于二次型中 (10)

3．用配方法证明柯西不等式 (10)

（二）拆项法 (11)

1．应用于数列求和 (11)

2．应用于行列式 (11)

（三）加“0”乘“1”法 (12)

1．加“0” (12)

2．乘“1” (13)

3．应用于行列式 (13)

六、待定系数法及其应用 (14)

（一）待定系数法 (14)

（二）应用 (14)

1．在有理分式分解中的应用 (15)

2．在求取值围中的应用 (16)

3．在数列求和中的应用 (16)

4．在极限中的应用 (17)

结束语 (18)

致 (19)

参考文献 (20)

一、绪论

所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题

等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结

为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，

使原问题得以解决．

一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，

不能让变形改变了题意．在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识容，

否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果．实施代数变形，要把握几个主要

因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设

中的在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，

是决策变形思维的关键．

二、换元法及其应用

（一）换元法的定义

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未

知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变

元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题．

（二）换元法的应用

1．应用于三角中

例[]11 求证x x x x x 2cos 42sin 1

tan 22cos 42sin 3+=--． 证明 令 t x =tan ，则