相似三角形的基本模型(一线三等角)讲课稿

模型中的相似三角形（2）

2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直

角时，可构造“一线三等角”型相似。

【巩固提高】

提示：AB AC 6, BAC

120 , , D 是BC 的中点

••• BD CD

3.3

由 BDE s

CFD

• BE DB

,

CF

27 DC CF

4

1.如图1 , B

C EDF BDE s CF

D （一线三等角）

如图2 , B

C

ADE ABD s DCE （一线三直角）

如图3，特别地， 当

D 是BC

中点时： BDE s

DFE s CFD

ED 平分

1. 已知 ABC 中 AB AC 6, BAC 120 ,，D 是BC 的中点， AB 边上有一点

E, AC 延长线上有一点F ，使 EDF C.已知BE 4，贝U CF

27 4

【基本模型

B

A

D 图3

C

BEF , FD 平分 EFC 。

B

D C

2.如图，等边ABC中，D是边BC上的一点，且BD:DC 1:3，把ABC折叠,

使点A落在BC边上的点D处•那么A M的值为

AN

提示：由翻折可得：AM DM , AN DN , MDN

BDM s CND ,

AM DM C BDM 4 1 5

AN DN C CND 4 3 7

提示：作NF AD于F，则FN AB 6 •/ MAE s EFN ,

AE AM

FN EF

•/ AE 2AM

••• EF訓3，EN3、5

设：BD 1,DC 3,则BM DM 4,CN DN 4

3.在矩形ABCD 中，AB 6, AD 8，把矩形ABCD沿直线MN翻折，点B落在

边AD上的E点处，若AE

A

2AM，那么EN的长等于 3 5

4.

在矩形

ABCD中，AD 15，点E在边DC上，联结AE , △ ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG AD，垂足为点G ,如果DG : AD 1:3，那么DE _3 .. 5 _.

提示：作过点 F 作MN // BC，分别交AB、CD 于M、N 。

•/ AD 15, DG : AD 1 : 3

• AG MF 10, DG NF 5

设DE X ,由翻折可得：

AF AD 15, DE EF X

••• AMF s FNE

AF MF AM 15 10 AM

-,即

EF EN FN x EN 5

EN

2

x, AM

75 75

，…X

x, x 3 \ 5

3 X X 3

DE，将线段DE绕点D逆时针旋转30得到线段DF , 要使点F恰好落在BC上，则AE的长是___________ 3 4 3 _______

A E

B A' E B

提示：构造“一线三等角”

A FDE G 30

• △ ADE GFD

f-

• FG AD 6, CF 2 3 , CG

1—

4.3

••• AE DC CG 3 4、3

5.已知△ ABC , AC BC , C 120 ,边长AC 9，点D在AC上，且AD 6 ,

点E是AB上一动点，联结

6. 如图，已知

AM // BN , A B 90 , AB 4，点D 是射线 AM 上的一个动 点(点D 与点A 不重

合)，点E 是线段AB 上的一个动点(点E 与点A 、B 不重合)， 联结DE ，过点E 作DE 的垂线，交射线 BN 于点C ，联结DC •设AE x ,

BC y •

(1 )当AD 1时，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；

(2)在(1)的条件下，取线段 DC 的中点F ，联结EF ，若EF 2.5，求AE 的长；

(3)如果动点D 、E 在运动时，始终满足条件 AD DE AB ，那么请探究：△ BCE 的周长是否随

着动点 D 、E 的运动而发生变化？请说明理由.

解:⑴••• A B DEC 90 •••△ ADE ^△BEC

.AD AE_ BE BC

2

二 y 4x x (0 x 4)

(2)过D 作DH BC ，垂足为H

•/ F 是线段DC 的中点， DEC 90 , AD 1 • DH 4, CD 5, HC 3 , BC 4

• 4x x 2

4 , AE x 2

2 2 2

又 DE AD x

又厶ADE BEC

•

C △ BCE 4 X

*

* 2

4 x 16 x 8

(3)v AD DE AB 4

AD

16 x 2 8 C

△

BCE

BE C △

ADE

AD

C

△

BCE 8

7.如图，已知 ABC

中， C 90 ,AC BC 2,0是AB 的中点，将45角的顶

点置于点0 ,并绕点0旋转，使角的两边分别交边 AC 、BC 于点D 、E ,连接DE .

解：(1 )••• C 90 ,AC

BC 2 • AB 2._2, A B 45

•/ DOE 45

• BOE 135 AOD

ADO

• AOD s BEO

• AD

OD BO

EO

•/ OA OB 2 AD

OD AD AO

，即

AO

OE

OD OE

A DOE 45 AOD s OED

(2) 作 OF AC 于 F , OH DE 于 H ,OG BC 于 G

•/ A

45 ,OA 、2,OF AC

••• AF 1 同理：BG 1 AOD s BEO

• AD

BO

OA BE

•/ AD

x , OA OB 、2

• BE

2 x

AOD s OED

⑴求证 AOD s 0ED ;

(2)设AD x ，试用关于x 的式子表示DE 。