材料力学课件 第四章 扭 转

3）结论：
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相 对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
第四章
扭转
取微端变形
第四章
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
扭转
´
a

b

dy
②横截面上各点处，只产生垂
直于半径的均匀分布的剪应力 ， 沿周向大小不变，方向与该截面的
第四章
扭转
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这
种应力状态称为纯剪切应力状态。
3.剪切虎克定律：
第四章
T=m
扭转



T ( 2 A 0t)


( L ) R

剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 （τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
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扭转
G
功率 角速度
每分钟 的转数
时间
60103 P( KW ) P M 9549 ( N m) 2n(r / min) n
第四章
3.扭矩及扭矩图
扭转
（1）扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记“T”。 （2） 截面法求扭矩
m
x
0
m m
T m 0 T m
（3）扭矩的符号规定：
P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
第四章
②求扭矩（扭矩按正方向设）
扭转
m2 1 m3 2 m1 3 m4
mC 0 , T1 m2 0 T1 m2 4.78kN m
受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。
变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角(或 称剪应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动 ，称为扭转角。
第四章
扭转
画线变形
第四章
4.2 外力偶矩计算
扭转
1. 直接计算
第四章
2、外加力偶矩计算
功 力偶矩 角位移
扭转
W M 2n M M P t t 60
第四章
扭转
工字钢扭转变形
第四章
1. 变形几何关系：
扭转
G1G d tg dx dx
d dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
第四章
2. 物理关系： 虎克定律：
扭转
G
d d 代入上式得： G G G dx dx
T2 m2 m3 0 ,
A
1
B
2
C
n 3
D
T2 m2 m3 (4.78 4.78 ) 9.56kN m
T3 m4 0 , T2 m4 6.37kN m
第四章
③绘制扭矩图
扭转
BC段为危险截面。
T max 9.56 kN m
m2 m3 m1
扭转
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输
出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1 9.55
P 500 1 9.55 n 300 15.9(kN m)
n A B C D

A0：平均半径所作圆的面积。
第四章
2.纯剪切与切应力互等定理：
扭转
´
a

m
z
0
dy
b
´
c z dx d

t dxdy t dxdy 故
上式称为剪应力互等定理。
t
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对 出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向 或共同背离该交线。
´
c dx d
扭矩方向一致。
4） 与 的关系：
L R
R L

第四章
薄壁圆筒剪应力 大小：
扭转
A dA r0 T r0 AdA r0 2 r0 t T T T 2 r02 t 2 A0 t
m4
n
A T
– 4.78
B
C

D
6.37
x
– 9.56
第四章
4.3
扭转
切应力互等定理与剪切胡克定律
1 r0 10
1.薄壁圆筒的扭转应力
薄壁圆筒：壁厚 1. 实验：
t
（r0：为平均半径）
1）实验前：
①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
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2）实验后：
①圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
扭转
第四章
4.1 扭转的工程实例
扭转
汽车传动轴
第四章
扭转
汽车方向盘
第四章
扭转
对称扳手拧紧镙帽
第四章
扭转
其它实例 扭水龙头 扭转钥匙开门 酒瓶软木塞的开瓶器 自行车的脚蹬工作 机器轴的转动
第四章
扭转
汽车方向盘
第四章
扭转
汽车传动轴
第四章
扭转
攻丝
第四章
M

扭转

M
扭转的特征
构件特征：等圆截面直杆——圆轴。
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正， 反之为负。
第四章
扭转
右端正向
第四章
扭转
左端正向
第四章
扭转
左右平衡
第四章
扭转
研究扭矩
第四章
扭转
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 的
①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
T

x
第四章
第四章
扭转
4.4 圆轴扭转横截面上的应力
①变形学方面
第四章
等直圆杆扭转实验观察：
扭转
1. 横截面变形后仍为平面；
2. 轴向无伸缩；
3. 纵向线变形后仍为平行。
第四章
扭转
平面假设
第四章
扭转
扭转变形
第四章
扭转
扭转变形试验
第四章
扭转
工字钢扭转变形
d G dx
第四章
3. 静力学关系：
扭转
dA
T A dA
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G 的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各
向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：
E G 2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出 来。