理性期望效用理论

理性期望效用理论

效用的概念和测定；了解效用函数的定义及构成；理解冯诺曼—摩根斯坦期望效用模型；理性期望效用理论在描述模型和规范模型中的应用。

期望效用值理论是第二次世界大战后决策理论研究的热点，它以规范模型（prescriptive or normative model）的形式应用于管理科学特别是管理决策分析中；以预测模型（predictive or positivistic model）的形式应用于金融和经济领域中，以描述性模型（descriptive model）的形式应用于心理学中。VNM效用函数理论是20世纪50年代,冯·纽曼和摩根斯坦(Von Neumann and Morgenstern)在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，建立了不确定条件下对理性人(rational actor)选择进行分析的框架。该理论是将个体和群体合而为一的。后来，阿罗和德布鲁（Arrow and Debreu）将其吸收进瓦尔拉斯均衡的框架中，成为处理不确定性决策问题的分析范式，进而构筑起现代微观经济学并由此展开的包括宏观、金融、计量等在内的宏伟而又优美的理论大厦。本章着重阐述理性期望效用理论在决策中应用的理论和方法。

教学内容

§4.1 事态体及其关系

4.1.1 事态体的概念

具有两种或两种以上有限个可能结果的方案，称为事态体L，事态体中各可能出现的概率是已知的，设事态体的n个可能结果值为C1,,相应出现的概率P1,P2...Pn,并且，则事态体记作

4.1.2 事态体的比较

设有两个简单事态体，仅具有一个相同的结果值，另一个结果值不相同，即，

4.1.3 事态体的基本性质

性质4.1（可调概率）

设事态体，

，其中x称为可调概率值。

性质4.2（等价确定值和无差异概率）

设事态体，0c2，若对于满足优劣关系c1>c`>c2的任意结果值c`，则必存在x=p（0

性质4.3（简化性）

任一事态体无差异于一个简单事态体，设事态体则必存在一个简单事态体

性质4.3说明，任一复合事态体无差异于一个简单事态体，从而也可无差异于一个最简事态体，所以，任一事态体均无差异于某一简单事态体，因此，在决策分析中，比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化为比较相应简单事态体之间的优劣关系，再根据事态体优劣或无差异关系的传递性，得到所讨论的事态体的排序。

§4.2 效用函数的定义和构成

4.2.1 效用的概念和测定

（1）效用的概念

设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值c，依据决策者的主观愿望和价值取向，每个结果值对决策者均有不同的价值和作用，反映结果值对决策者价值和作用大小的量值称为效用。记作：u=u(c).

为什么有时人们不按期望收益准则来作决策呢？这是因为人的观念并不尽相同。有的偏好A，有的偏好B。如同偏好概念那样，效用也是决策者价值观念的一种反映，但它不再是一种定性的反映，而是一种数量的表现。或者说，效用是决策者偏好关系的一种度量。它实际上是反映了决策者对待得失（风险）的一种权衡的结果。

效用如同温度是度量热的尺度一样，用以度量决策分析中各种可能结果，使之能在数量上进行比较。按照效用理论进行决策分析，应根据决策者的效用函数（曲线）来计算各方案可能结果的加权期望效用值，并以最大的期望效用值作为选择方案的依据。

（2）效用的测定辨优

设有决策系统(A,Q,V),其结果值集合为

，测定各结果值Cj的效用值U(Cj)，其步骤如下：

②建立简单事态体其中称为可调概率。

③通过反复提问，不断改变可调概率值，让决策者权衡比较，当

时，得到无差异关系：

换一个角度，我们知道，图4-1中横坐标的任何一点都可求得一个效用值。为了吻合直感，一般先求M/2 的效用值，再求m/3,m/4的效用值。具体做法是：

在图4-1中(m/4,0.4)处作横、纵轴的平行线交于点B。同样方法可以作出点D，连接各点则为该决策主体的效用函数曲线。

4.2.2 效用函数的概念

设决策问题的结果值集合

，定义在上的实值函数

U(c)满足条件：

§4.3 冯诺曼—摩根斯坦期望效用模型

诺曼—摩根斯坦提出了事态体的一些基本公理，这些公理意味着计量效用值的存在，使得不同的事态体能按期望效用值准则排出优先顺序。

公理1（可比性）

设R为事态体L的集合，对于任意的

表示决策者愿意而且事实上也可能对任何一对事态体进行两两比较。这就意味着对各种事态体可以排出优先顺序。

公理2（传递性）

对于任意的

表示优先顺序的可传递性。这是保证理性的一致性所必需的。

公理3（替代性）

对于任意的

其含义可用图4-3（a）表示。图4-3中有两个复合事态体，概率为（1-P）的事件L3一旦发生，决策者对此事件的感受是一样的。不受L1,L2的影响。对两复合事态体的辨优，仅取决于对L1 和L2的判断。

类似地，对于所有

公理4（连续性）

对于所有

此连续性定理说明，每个中间事态体可以与一个较优和较次事态体组成的复合事态体等价，问题只是需选择合适的p值。

作为一种特定情况，设则此定理可写为：

即是说，一个确定值，在x>y>z的条件下，只要选择一个适当的P便可找到等价的事态体(x,p,1-p)，这和上述解释的等价确定值表达形式一致。

不严格地讲，公理4是说，不存在无限好或无限坏的报酬（无天堂也无地狱）。如果L1无限坏，就不存在p＞0，否则，就要冒以概率p发生的风险。

由上述4条公理就可以保证效用函数的存在，效用函数的存在性，实际上在比以上公理较弱一些的条件下也能保证。①

基本定理

决策者对于事态体集合中的事态体L优先排序，如果满足上述公理1～4，则一定存在这样一个函数u(x)，有且只有

的条件下：称为效用函数，同时，在u(x)正线性变换的条件下保证决策者的优先顺序不变。可见，事态体的优先顺序可在给定函数的条件下，计算期望效用值得出，即为效用函数。基本定理所表达的事态体辨优规则叫期望效用值规则。需要指出，期望效用值并不意味着寻求期望效用值的最大值，只是说，决策者如遵循公理1～4就能选择各替代方案中期望效用值最大的方案，