数学概念形成的问题情境创设策略

概念的巩固．
３ ） 建 立 坐 标 系 ， 画 图 ， 发 现 与 ， 一 告 ａ ２ 很 接 近 ・
４ ） 几何画板动态演示折纸过程及抛物线． ５ ） 活动： （ 图２ ） 画３ 条平行于 ｙ 轴的直线， 折
纸， 发现 １ ： 其反射线经过 ｙ 轴上一定点． ６ ） 几何画板演示这一过程． （ 证明可让学生课 后完成）
台 做数学实验， 还可以是学生的思想实验， 将生活
问题数学化， 再予以解决． 学生在数学实验， 探索解
射击 ４ 次． ②姚明罚球的 命中率是０ ． ９ ， 他连罚 ３ 次． ③ 一枚硬币连续扔 ５ 次． （ ５ 枚硬币一起扔出） ④袋中５ 个白球， ３ 个红球， 有放回取球． 每次取一 个， 连续 ３ 次． ⑤袋中５ 个白球， ３ 个红球， 无放回取球． 每次取一 个， 连续 ３ 次．
最后引 导感知， 形成概念． 在教师的引导下， 得
出现象的共同点： 在同样条件下重复地进行的一种
试验； 各次试验之间相互独立， 相互之间没有影响； 每一次试验只有两种结果， 即某事发生或不发生，
并且任意一次试验中发生的概率都是一样的， 揭示
概念．
数学概念中的许多命名并不是孤立地产生在 数学问题背景之下的， 它不是存在于抽象之上的抽
决问题的过程中， 需要认真观察、 大胆猜想、 实验验
证、 理论证明， 最后得出科学的结论． 因此数学实验 对数学教学有多方面的促进作用； 数学实验能启迪 学生思维， 帮助突破教学难点， 是激发学生创新思 维的源泉； 能帮助学生巩固数学知识， 促成教学的 良 性循环； 有助于培养学生“ 用数学” 意识和严谨的 治学态度和勇于探索的科学精神． ５ 创设感知、 体会的问题情境— 形成概念
力及形成数学思想方法． 案例 ２ 等差数列的概念 问题情境设计： 观察下列各组数， 启发学生说说这些数列的共 同特点：
１ ） １ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５ ， ６ ， …… ； ２ ） １ ０ ， ８ ， ６ ， ４ ， ２ ， …… ；
案例 １ 异面直线所成角的概念 问题情境设计： 先用教具动态展示两异面直线的关系， 并回答 变化过程中有什么区别， （ 部分学生能回答“ 角” 的 大小在变化） 这时启发学生回顾角的两种定义（ 初 中和高中教材的定义方法） ， “ 角” 都是在一个平面 内的， 而两异面直线不同在任何一个平面内， 产生
— 相邻两个数之差是同一个数． （ 对于第二组回 答２ ， 特别没加以指出， 为下一步骤概念的完善埋下 伏笔） 提出等差数列名称（ 强调等差的字面涵义， 充 分利用日常生活经验） ， 启发学生 自己概括等差数 列的概念（ 等差数列就是相邻差为同一个常数的数 列） ， 对学生的回答分析并指导全班学生看课本上 的概念表述， 并让学生思考课本表述与学生的回答 有什么不同的地方？ 为什么？ 一起探讨等差数列定 义的两个细节第二项起、 每一项与前一项的差， 逐 一解释， 从而建构等差数列的概念． 通过观察具体模型， 归纳概念的本质与共性， 实际上即为不完全数学归纳法的思想的运用． 结合 学生的数学认知结构特点， 观察归纳法不失为一种 有效概念教学方法， 也是一种最易被学生接受的方 法， 它可以慢慢培养学生的数学思维能力．
数学实验是一种最基本的数学学习活动， 它能
改变学生的数学观和数学学习方式， 在学生的数学
Hale Waihona Puke 学习 中 有 着 一 种 无 可 替 代的 作用 ， 因 此 教 师 在 概 念
教学设计时， 应考虑为学生创设活动情境， 让学生 动手做数学， 参与数学活动过程， 通过接触概念， 体 验概念， 使用概念最终达到建构和完善概念， 掌握 概念的内涵和外延． 如立体几何空间直线位置， 空 间平面的位置关系判断， 椭圆的定义， 概率， 向量坐 标运算等等， 都可以设置情境， 让学生通过活动， 做 数学来建构概念． 案例 ４ 抛物线概念 问题情境设计： １ ） 活动： 折线． （ 图１ ） 在纸片２ 厘米处设置点如 图１ 方法将纸折２ ０ 到３ ０ 次形成一系列折痕， 它们整 体地勾画出一条曲 线的轮廓． ２ ） 观察、 猜想： 众多折痕围出一条抛物线．
物线的准线．
案例 ５ ｎ 次独立重复实验的概念 问题情境设计： 用动画创设情境， 丙丙和丁丁在公园里种了 ８
棵树， 假设每棵树的成活率都为０ ． ７ ５ ， 请思考以下
两个问题： （ １ ） 他们种的第一棵树的成活和第二棵
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象， 而是与我们 日常命名的含义有密切联系， 许多 概念的命名本身就隐含了概念产生的条件、 关键特 征、 运算方式等等． 如交集（ 交有相交的涵义） 、 并集 （ 并把几部分事物并起来） 、 等差数列（ 等差即可以 理解成差相等） 、 等比数列（ 等比即可以理解成比值
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第６ 期
数学通报
数学概念形成的问题情境创设策略
王利庆
（ 浙江师范大学数理学院 ３ ２ １ ０ ０ ４ ）
高中数学课程标准指出： “ 由于数学高度抽象 的特点， 注重体现基本概念的来龙去脉． 在教学中 要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过 程， 在初步运用中逐步理解概念的本质” ． 因此教师 在新概念形成的教学中， 我们主张用建构主义学习 观来帮助学生学习数学概念， 教师要根据学习者 自 己的经验背景， 准确把握学生现有的认知结构状 况， 符合学生现有的认知结构水平， 利用新概念与 学生已有的认知结构差异来设置相应的教学情境， 采取切实可行的教学策略， 帮助展示概念的形成发 展过程， 揭示教材知识的神秘面纱， 有意义地学习， 使学生较好建构数学概念． 因此， 笔者在概念教学 的过程中， 采用以下几种创设问题情境的策略． １ 创设自 主、 探索的问题情境— 形成概念 建构主义学习理论主张： 概念教学的重点并不 在于概念本身， 而在于建构概念的整个过程， 在于 学生本人的思维构造． 通过学生主体探索， 将新知 识多方位的、 多方面的与各种知识建立联系的过程 中获得新知， 从而在建构概念的过程中获得成功的 心理体验， 进一步激发学习积极性． 在概念教学过 程中， 教师要恰当地创设问题情境， 运用启发式教 学方法， 引导学生思维一步一步递进、 完善， 最终 自 己 建构概念的内涵与外延． 如异面直线所成的角、 椭圆定义及长轴和焦距的关系、 立体几何中的线
与对数、 指数函数与对数函数、 平面角与二面角、 等
差数列与等比数列、 排列与组合、 椭圆， 双曲线与抛
物线、 余弦函数与正弦函数、 余切函数与正切函数、 平面向量和空间向量、 点点之间的距离， 点线之间 的距离， 线线间的距离与点面、 线面和面面间的距 离等概念， 我们都可以将其看作有特殊关系的并列 概念． 在教学过程中， 教师可以借助它们之间这种 特殊的关系， 利用已知概念来实现对相应概念的形 成、 理解， 并且这种建构过程可以让学生独立或合 作完成， 教师是其中的引导者和组织者． 利用类比 策略教学时， 学生扎实掌握被类 比概念的涵义、 性 质是前提和关键， 同时又可以反过来加深对被类比
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３ ） ２ １ ， ２ １ ． ５ ， ２ ２ ， ２ ２ ． ５ ， ２ ３ ， ２ ３ ． ５ ， ２ ４ ， ２ ４ ． ５ ． ． ． …； ４ ） ２ ， ２ ， ２ ， ２ ， ・ ……
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启发学生用数学语言来描述上述数列的共同特征
图１ 图Ｚ 在不知不觉中， 每位同学都参与了教学过程， 掌握了相关的知识 目 标， 并且学生的积极性空前高
涨．
①某射手射击一次， 击中目 标的概率是０ ． ９ ， 他连续
在新课程改革理念下， 数学实验 日益受到重 视， 作为一种促进数学知识建构的有益方法被广泛 运用． 实验的方式多种多样， 可以是学生实际操作 的、 参与的实验， 也可以是教师利用相应的软件平
案例 ３ 空间距离概念 问题情境设计： 复习回顾平面内的三类距离问题， （ 两点间的 距离、 点到线的距离即为点到线的垂直距离、 两平 行线间的距离即在其中一线上任取一点转化为点
７ ） 概念形成： 焦点． （ 一组平行于ｙ 轴的直线经 抛物线反射后汇聚到焦点， 由焦点出发的直线经抛
３ 创设类比、 迁移的问题情境 — 形成概念 类比是寻找两事物联系的有效办法， 类 比法用 于概念教学时， 比较适用于两个平行或并列的概 念， 这样学生才会有较好的学习效果． 在类比过程 中， 学生完全可以通过 自己思维活动实践， 主动建 构相应并列概念的理解． 在整个高中教学中， 指数
到线的距离） 那么， 在空间， 该如何定义点到面的距 离， 平面的平行线到平面的距离和两平行平面间的 距离呢？ 通过类比平面上的三种距离的定义和距离 概念的特征： 垂直， 学生不难 自主探究出空间三种 距离概念， 并真正建构距离的内涵． 通过引导学生 研究已有距离概念的本质特征， 即产生新概念的 “ 生长点” ， 以类 比方法获得空间三种距离的概念， 学生觉得这一概念是已有距离概念的一种 自然发 展， 不感到别扭． 教师利用类比法进行概念教学时， 应尽量选取 学生熟悉的， 相似或相近的概念作类比， 使类比的 概念在研究内容， 方法上相近． 总之， 无论促进学生 的建构活动还是提供相似的具体的模型作类比， 都 能帮助学生建构正确的新模型， 这是一种操作方 便， 行之有效的概念教学方法之一 ４ 创设实验、 探究的问题情境 — 形成概念
ｖ
匡
树的成活相互之间有没有影响？ ？ ８ 棵树各自的成活
与否相互之间有没有影响？ （ ２ ） 所种的每一棵树， 可 能出现哪些不同的结果？ （吸引学生的有意注意， 调
动学生的参与热情） ． 进一步创设情境， 对比分析， 感知概念． 在下列
试验中， 与丙丙和丁丁种树试验具有共同特征的有
（ ）
线、 线面 及面 面 关系 等概念都可以由 学生自 主 探索
建构．
多数抽象的数学概念， 我们可以为其找到具体 的模型， 在教学过程中， 我们可以通过观察具体模 型， 来帮助学生归纳和掌握抽象概念的性质及特 点． 我们把对具体模型的操作和学习看作是概念抽 象和建构前的操作活动， 通过为抽象概念搭建具体 模型， 有助于学生对抽象概念产生形象的认识， 促 进学生对概念的主动建构． 中学数学的概念中， 如 等差数列， 等比数列， 数学归纳法， 指数函数， 通过 借助具体模型建构数学概念， 不仅可以获得对概念 的理解， 还可以培养学生的观察能力， 数学思维能
认知冲突， 激发探究解决问题的欲望， 采用小组讨 论， 如何将异面关系转化成相交关系， 相交直线所 形成的两组对顶角都能为异面直线所成的角吗？ 从 而探究出概念的关键特点： 任取点， 再分别平移． 然 后由同学归纳出异面直线所成角的概念． 高中数学课程追求的基本理念是： 丰富学生学 习方式， 改进学生学习方法， 使学生学会学习， 为终 生学习和发展打下良 好的基础． 为培养学生的数学 思维能力和发展学生的积极情感， 需要学生有积极 主动、 勇于探索的精神． 因此结合数学学科高度抽 象特点， 教师在课堂中要创设让学生自主探索过程 的环节， 发挥学生学习的主动性， 加深对知识的认 识和理解， 使学生的学习过程成为在教师引导和启 发下的“ 再创造” 过程， 学会“ 数学地思考” ， 培养和 提高学生的 探索能力， 创造能力和创新能力． ２ 创设观察、 归纳的问题情境 — 形成概念
物线反射后成一组平行线）
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第６ 期
数学通报
念．
８ ） 发现 ２ ： 抛物线上的点到焦点的距离等于到 纸边的距离． 定义准线． ９ ） 形成定义： （ 学生概括， 教师补充） 平面内与 一个定点Ｆ 和一条定直线Ｌ的距离相等的点的轨迹 叫做抛物线． 点Ｆ 叫做抛物线的焦点， 直线Ｌ 叫做抛