物理学中的对称性

常见对称性
1.空间对称性 转动 平移 镜象反射(P) 标度 2.时间对称性 平移 反演(T) 标度 3.其它 置换 规范 正反粒子共轭(C) 联 合变换下的对称性
空间对称性
对一个体系进行空间对称操作，可以有旋转、 平移、镜象反射等多种形式，对应着下面几 种对称性。 1.空间旋转对称 空间旋转对称如图1所示，其上没有标记的一 个圆对于绕过其中心垂直于圆面轴O旋转任意 角度的操作都是对称的。
物理学中的对称性
物理学中的时间对称性 周期性变化体系(单摆、弹簧振子)只对周期 T 及其整数倍的时间平移变换对称。某些理想 的物理过程，如自由落体，具有时间反演不 d 2r 变性。例如牛顿定律 F 2 m dt 2 ，将时间t换 d r d 2r 成-t，F m d(-t )2 与 F m dt 2 有相同的规律。 所以，牛顿定律具有时间反演对称性。麦克 斯韦方程及量子力学的规律等，几乎都是在 时间反演下不变的
标度变换对称
通常说，曲面是二维的，曲线是一维的，二维的曲 面有一定的面积，一维的曲线面积为零，但有一 定的长度。象上述海岸线那样的形体，他们没有 面积，但长度是无穷大，他们的维数介于1和2之 间，不是整数。这种具有分数维的形体，叫做 “分形”或“分形体”。Mandelbrot认为：浮云 不呈球形，山峰不是锥体，海岸线不是圆圈，树 皮并不光滑，闪电从不沿直线行进。他看到带有 分形性质的事物在自然界是相当普遍。
物理学中的对称性
物理学中的时间对称性 通常，保守系统时间反演不变，耗散系统非 时间反演不变，非保守系统中的宏观过程不 具有时间反演对称性。例如，热力学箭头， 心理学箭头 ，宇宙学箭头，…。
物理学中的对称性
物理学中的置换对称性 随着量子理论的建立，不可分辨的全同性获 得了非凡的意义。哲学家莱布尼兹给“全同 性”的定义是：如果无法确认两个物体之间 的差别，它们就是全同的。这个定义意味着， 在许多东西中若交换两个全同物体的位置， 其物理状态是保持不变的。 这种全同性预言了交换子的存在。如果没有 这种交换子存在，就不会有我们所了解的化 学，分子和原子都不能存在，从而我们自己 也就不存在了。
物理学中的镜象对称性 物理学中有各式各样的矢量，它们在空间反射操 作下表现出不同的性质。 一个矢量 r , 经过空间反射，与镜面垂直的分量反 向，与镜面平行的分量则不变。和 r 相联系的 v、 a、f 等矢量都应有相同的变换规律。这类矢量称 为极矢量。另一类矢量（如转动物体的角速度） 称为轴矢量或赝矢，它们在空间反射操作下具有 不同的规律：垂直镜面的分量不变，与镜面平行 的分量反向。下图所表示的就是这两种矢量
标度变换对称
“对数螺线”的名称是瑞士数学家伯努利取的，是 他首先发现这曲线的标度不变性。他感到这曲线 具有如此美妙的性质，嘱咐要把它铭刻在自己的 墓碑上，并附上一句颂词。
标度变换对称
在物理世界中不乏标度不变的事物。一个重要的例 子，是凝聚态物质在相变临界点附近，涨落的关 联长度趋于无穷，这里不再有特征的尺度，热力 学函数将具有标度不变性。这正是威尔逊重正化 群的理论基础，为此他获得了1982年的诺贝尔物 理学奖金。 简单一些的例子：布朗运动曲线－－标度变换下的 自相似现象。海岸线－－在标度变换下具有无限 嵌套的自相似性。在无限放大比例尺的情况下， 海岸线的长度将趋于无穷。
物理学中的对称性
物理学中的对称性
从库仑定律出发可以论证，电场强度E是极 矢量；从毕奥—萨伐尔定律出发可以论 证， 磁感应强度B是轴矢量。 镜象对称是物理学中最重要的对称之一， 在宏观、微观领域都广泛存在。
物理学中的对称性
物理学中的空间对称性 物理定律的旋转对称性表现为空间各方向对物理 定律等价，没有哪一个方向具有特别优越的地位。 例如，分别在南、北半球进行单摆实验，实验仪 器取向不同，得出的单摆周期公式仍然相同。物 理定律的平移对称性表现在空间各位置对物理定 律等价，没有哪一个位置具有特别优越的地位。 例如：在地球、月球、火星、河外星系…进行实 验，得出的引力定律（万有引力定律、广义相对 论）相同
时间反演对称性
菲斯特夫妇的狗与跳蚤例子，说明了微观世界和 宏观世界不同命运的本质－－宏观的不可逆性来 自概率统计性，并非源于微观动力学。 诗曰： 君不见黄河之水天上来， 奔流到海不复回？ 君不见高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪？ 这里，诗人哀叹韶华如流，人生易老，正是时间 反演不对称的写照。 尽管只有少数理想的体系具有时间反演对称性， 但确实有这种理想的体系。
时间反演对称性
把时间 t －(-t) 的变换叫做时间反演操作，相当于 时间倒流。当然，现实生活中时间是不会倒流的。 但可以想象摄制的录象带倒放时出现的情形：人 倒退着走路；弥漫在空气中的烟雾逐渐被收拢到 烟斗中去；…。武打电视片的摄制者就是利用这 一点，让演员从高处往下跳，拍摄下来倒着放， 就可以表现出一个人从地面跃起，跳上高墙的场 面。
联合变换对称性
在一个体系中，若交换两个全同物体的位置，其 物体的状态保持不变，就说物体具有置换对称性。 例如：三个并联全同电阻。
联合变换对称性
有时，单独位置变换不构成对称变换，但其几个 位置变换的联合变换却是对称变换。比如，我国 古代的阴阳图，围绕其中心旋转180度，相当于黑 白互换；再黑白互换，即将两个变换联合起来， 就实现了一个对称变换（如下图）。
物理学中的对称性
物理学中的标度不变性 标度不变的典型特征是分形体在标度变换下 整体与部分的自相似性。人们已把它运用到 了许多实际问题上，其范围从电化学沉积、 薄膜形态、电介质击穿，到液体的粘性爪进 等。下图是几个标度变换不变性的例子。
物理学中的对称性
物理学中的标度不变性
绝缘体电击穿时的电子路径
布罗特的支气管树模型
醒酒去赏 时力马花 已微如归 暮醒飞去 赏时酒马 花已力如 归暮微飞 。，。，
对称性的基本概念
对称有虚实之分，实的对称可以用物理学对称操作讨 论；虚的对称是概念性的，如左旋、右旋，手性等。 对称又有正反之分，反对称是在对称之上加相反的东 西；正反对称都有虚实之分。“对称”和“反对称” 对理解宇宙、大自然、艺术、文化、社会等都有意义， 再加上“对称破缺”的概念，就会对和谐的大自然和 人类社会有更好的理解。所谓“反对称”,就是在“对 称”的概念上加上相反的东西。例如我国的阴阳鱼， 即在白色上加上黑色，成为反对称互补的鱼。
空间平移对称
严格周期性的网格在具有平移对称性的同时。还具 有一定的转动对称性。如图2 所示的长方形网格具 有2次转动对称性；左下图的五边形网格具有3次 转动对称性；右下图的Panrose格子具有5次转动 对称性。
镜象反射对称
通常说的左右对称，本质上就是镜象反射对称，或 者说宇称(Parity)，相应的操作就是空间反射(镜面 反射)。在这种操作下，沿镜面法线方向的坐标变换 从z 到-z, 其它方向不变，于是左手变成了右手( 如图3（b））。镜象反射不对称，称为手性 (chirality)。如具有手性特征的分子(如图3(c))
物理学中的对称性
对称性源于生活
生活中常说的对称性，是指物体或一个 系统各部分之间的适当比例、平衡、协 调一致，从而产生一种简单性和美感。 这种美来源于几何确定性，来源于群体 与个体的有机结合。
在我们的日常生活中到处可以见到具有 对称美的实例。
人体、动植物结构对称性
建筑物的对称性
建筑群中的对称性
标度变换对称
一般情况下，把一个d 维的几何对象每一维的尺寸 都放大 l 倍，我们就得到 k 个原来的几何对象
l k
d
ln k d ln l
标度变换对称
时间平移对称性
一个静止不变或匀速直线运动的体系对任何时间 间隔 t 的时间平移表现出不变性。对于一个周期性 变化体系(单摆、弹簧振子)，对周期 T 及其整数 倍的时间平移变换对称。
物理学中的对称性
物理学中的标度不变性
扩散置限聚集(DLA)
因果性与对称性原理
对称性原理是皮埃尔· 居里首先提出来的。原理包 含的内容是： 1. 原因中的对称性必反映在结果中，即结果中的对 称性至少有原因中的对称性那样多；
建筑师们总是用简单和统一的原则设计建筑群。某些现代派建筑师极尽其不 对称之能事，也不乏其中的对称性。
园林建筑的布局错落有致，于不对称中见对称。
文学艺术中的镜像对称
中国文化独特的对称与反对称
中国文化独特的对称与反对称
五百里滇池，奔来眼底。披襟岸帻，喜茫茫空 阔无边！看东骧神骏，西翥灵仪，北走蜿蜒， 南翔缟素。高人韵士，何妨选胜登临。趁蟹屿 螺洲，梳裹就风鬟雾鬓；更萍天苇地，点缀些 翠羽丹霞。莫辜负四围香稻，万顷晴沙，九夏 芙蓉，三春杨柳。 数千年往事，注到心头。把酒凌虚，叹滚滚英 雄谁在？想汉习楼船，唐标铁柱，宋挥玉斧， 元跨革囊。伟烈丰功，费尽移山心力。尽珠帘 画栋，卷不及暮雨朝云；便断碣残碑，都付与 苍烟落照。只赢得几杵疏钟，半江渔火，两行 秋雁，一枕清霜。
对称性的基本概念
对称性（symmetry）是现代物理学中的一个核 心概念，它泛指规范对称性（gauge
symmetry），或局域对称性（local symmetry） 和整体对称性（global symmetry）。它是指一
个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变量的变 化下的不变性。如果这些变量随时空变化，这个 不变性被称为规范对称性，反之则被称为整体对 称性。物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动 方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦 兹变换不变性和相位不变性。
联合变换对称性
另一个精彩的例子：荷兰画家M.C.Escher设计的 骑士图和猛兽图，是镜象反射、平移操作和黑白 变换联合变换的结果（下图）。
物理学中的对称性
我们已经看到，对称性由逻辑上两个不 同的部分组成：不变性和变换。要说物 理定律是不变的，就必须指出使得物理 定律保持不变的变换。
物理学中的对称性
空间对称性
对于在圆内加一对相互垂直直径的体系，其对 称操作只能是转动 的整数倍。如果在圆环上 加一个小球，其对称操作就只能是转动2π的 整数倍了。如果一个体系绕某轴每转 角度后 恢复原状，该轴被称为此体系的n次旋转对称 轴。
空间平移对称
图2 空间平移对称
图2所示的网格具有空间平移对称性。一条无限长 的直线对沿直线移动任意步长的平移操作对称。 一个无限大的平面沿面内的任何平移也是不变的， 即对沿任何方向、移动任意步长的平移操作对称。 对于平面网格，则只能沿面内某些特定方向、移 动特定步长，才能构成空间对称操作。
对称性的基本概念
对称是重要的美学要素，又分结构对称、功能 对称、装饰对称等。对动物来说，结构对称是 生存的需要，进化的结果。为了生存，左右结 构必定对称，才能跑得快， 飞得起来。功能对 称是在结构对称的基础上叠加的功能，如左右 眼图像的立体感和距离感，使它能够准确捕捉 食物；左右耳的声音叠加，使它能躲避来犯之 敌。
对称性的基本概念
数学、物理中的对称性是比具体事物的对称性更深层次的对称。 为了理解这种更深层次的对称，首先需要引入一些基本概念。德 国数学家魏尔(H.Weyl)关于对称性的定义如下: 体系(系统) -- 讨论的对象。 状态 -- 对体系（系统）的描述。系统可处在不同的状态；不同 的状态可“等价”，也可“不等价”。 操作(变换) -- 把系统从一个状态变到另一个状态。若变换前后 系统状态相同，则称两状态“等价”或“不变”。Βιβλιοθήκη Baidu对称操作 -- 如果一个操作能使某体系从一个状态变换到另一个 与之等价的状态，即体系的状态在此操作下保持不变，则该体系 对这一操作对称，这一操作称为该体系的一个对称操作。 对称群 --体系的所有对称操作的集合。
图3 镜像反射对称
标度变换对称
所谓“标度变换”,通俗地讲，就是放大缩小。鹦鹉 螺美丽的外壳为标度不变提供了一个很好的范例。 在数学中，平面极坐标中描述的一条螺线，具有 标度不变性的函数关系是 ln r ，这时当这个图 形放大或缩小时，只需转过一个角度，就可以与 原来的曲线重合。下图是典型的具有标度变换不 变性的图形。