数学物理方法课后答案 (2)

dz 1 π 2 i = i π = 4i ∫ z −i =2 z − 2i 4i 2
∫
z +i = 2
−
1 π dz = − i 2π i = − z + 2i 4i 2
1 1 1 ( )dz = (2π i − 2π i ) = 0 − 4i 4i ∫ z =8 z − 2i z + 2i
(2)
∫
4
Байду номын сангаас
l1
f ( z )dz = 0 ( l2 内无奇点)
dz dz +∫ = 2π i + 2π i = 4π i ∫ l3 ∫ l3 z + 1 = 2π i ∫l f ( z )dz = ∫l dz l z +1 z 4 设 f ( z ) 是 单 通 区 域 D 内 的 解 析 函 数 ， z0 为 D 的 内 点 ， 试 证 明 f ( z )dz =
（1）沿抛物线 x = t , y
= t 2 ，其中1 ≤ t ≤ 2
（2）沿连接1 + i 到 2 + 4i 的直线。 （3）沿1 + i 到 2 + i ，再到 2 + 4i 的折线 解： （1） z
= x + iy = t + it 2 , z 2 = t 2 (1 + it ) 2 = t 2 + 2it 3 − t 4 dz = (1 + 2it )dt
积 分 为 极 限 ， 设 边 界 L的 全 长 为 l， z点 到 边 界 线 最 短 距 离 为 min z − ξ = d f (ξ )在 D 上 连 续 意 味 着 f (ξ )有 界 f (ξ ) ≤ M (常 数 ） 。 应 用 复 变 积 分 性 质 5以 及 矢 量 差 的 模 小 于 矢 量 模 的 差 ， 可 证 以 下 成 立 ΔI = ≤ Δz 1 1 ]d ξ = − (ξ − z )(ξ − z − Δ z ) (ξ − z ) 2 f (ξ )
1 ; 4
（2） z − 1 = 1 ;
2
4
（3） z + 1 = 1 4
； （4） z = 2；
解： 被积函数 f ( z ) =
2z + 1 1 1 ，f ( z ) 的奇点位于 z = 0 及 z = −1 = + 2 z + z z z +1
∫
l1
f ( z )dz =
dz ∫ l1 z = 2π i
4 4
F ( z ) = ∫ f (ξ )d ξ 是 D 内的解析函数，且 F ′( z ) = f ( z )
z0
z
设： 由
f ( z ) 解析，积分只与两端点位置有关而于路径无关故 F ( z + z )
与 F ( z ) 的积分路径可任取，由积分性质 4
F ( z + z) − F ( z) = ∫
1 86 = [(8 + i 48 − 96 − i 64) − (1 + 3i − 3 − i )] = − 6i 3 3
（2）沿连接1 + i 到 2 + 4i 的直线。 直线方程为： y − 1 = x − 1 ，即 y = 3x − 2 4 −1 2 −1
I =∫
2 1
2+ 4 i
1+i
z dz = ∫
n ( z − a ) dz = 2π iδ n ,−1 即只有一次幂项积分才不为零，可大大简化计算。 ∫
(c)
dz 1 = ∫ z =8 ( z 2 + 4)2 32i
∫
z =8
(
dz dz 1 ) dz = (2π i − 2π i ) = 0 − z − 2i z + 2i 32i
可 解 出 ，
dz ， 其 中 曲 线 l 由 外 边 界 线 z − i = 2 及 内 边 界 线 ∫l z − i
2. 计 算 积 分
z − i = 1构成。
解：被积函数 1 在闭复通区域 D 内解析，故积分为零。
z −i
3．计算积分 2 z + 1dz , ，其中曲线 l 为圆周： ∫l z 2 + z （1） z =
Δz → 0
∫ ∫
f (ξ ) dξ = L (ξ − z )(ξ − z − Δ z ) f (ξ ) dξ − L (ξ − z )(ξ − z − Δ z )
∫ ∫
f (ξ ) d ξ , 式 中 L为 D的 边 界 ， z为 D的 内 点 。 L (ξ − z ) 2
解 由 极 限 定 义 出 发 ， 任 给 ε >0,如 果 存 在 δ( ε )>0， 当 Δ z < δ 时 ， 有 ΔI = f (ξ ) dξ < ε ,则上式第一个积分以第二个 L (ξ − z ) 2
（其中 z 到 z + 又由 有
z+ z
z0
f (ξ )dξ − ∫ f (ξ )dξ = ∫
z0
z
z+ z
z
f (ξ )dξ
z 取直线）
f ( z ) 在 z 连续，任给 ε > 0 ，存在δ > 0 ，使当 ξ − z < δ 时，
f (ξ ) − f ( z ) < ε 。今取 z < δ ，则 ξ − z < δ ，利用积分的性质，
z+ z 仅有： F ( z + z ) − F ( z ) − f ( z ) = 1 f (ξ ) dξ − f ( z ) ∫ z z z z+ z 1 1 z+ z 1 z+ z [ ( ) ( )] ( ) ( ) = f ξ − f z d ξ ≤ f ξ − f z d ξ < ε dξ = ε ∫ ∫ ∫ z z z z z z
1 ( z 2 + 4) − ( z 2 − 4) 1 z2 − 4 = = − ( z 2 + 4)2 8( z 2 + 4)2 8( z 2 + 4) 8( z 2 + 4)2 1 1 1 1 1 1 ) ( )− ( = − + 2 32i z − 2i z + 2i 16 ( z − 2i) ( z + 2i)2
注：展成最简分式的普遍方法
a1 + b1i a2 + b2i c1 + d1i c2 + d 2i 1 = + + + ( z 2 + 4) 2 ( z + 2i ) 2 ( z + 2i ) ( z − 2i ) 2 ( z − 2i )
a1 = c1 = −
1 1 , b2 = − d 2 = , 其余为零 16 32
2
2+ 4 i
1+i
[( x 2 − y 2 ) + 2ixy ](dx + idy )
86 − 6i 3
= ∫ [ x 2 − (3 x − 2) 2 + 2ix(3 x − 2)](1 + 3i ) dx = −
（3）沿1 + i 到 2 + i ，再到 2 + 4i 的折线。
I =∫
2 1
2+ 4 i
2+ 4i 1+ i
I =∫
z 2 dz = ∫ (t 2 + 2it 3 − t ) 4 (1 + 2it )dt
1
2
= ∫ (t 2 + 2it 3 + 2it 3 − 4t 4 − t 4 − 2it 5 )dt
1
2
2 ⎡t3 2 ⎤2 1 = ⎢ + it 4 − t 5 − t 6 ⎥ = (t 3 + i3t 4 − 3t 5 − it 6 ) 1 6 ⎦1 3 ⎣3
利用在回路内解析的项积分为零，以及在回路内有奇按，
（a）
dz 1 dz 1 π = = π = 2 i ∫ z −i = 2 ( z 2 + 4)2 32i ∫ z −i = 2 z − 2i 32i 16 dz 1 dz 1 π （b） 2 i = − = − π = − ∫ z + i = 2 ( z 2 + 4)2 32i ∫ z + i = 2 z + 2i 32i 16
1 0 1
iθ
（2）在沿单位圆下半圆周的积分路线上， z = e ， 故
∫
l
z dz = ∫ 1iie dϕ =e
iϕ
0
iϕ
0
π
π
= 1 − eiπ = 2
iθ （3）在沿单位圆周的积分路线上， z= e ，故I3 =
∫π
2π
e iθ i d θ = 2
2．计算积分
∫
2+ 4i
1+ i
z 2 dz ，其中曲线 l 是：
L
∫ ∫
L
f (ξ )[
f (ξ ) Δ z ∫ L (ξ − z ) 2 (ξ − z − Δ z ) d ξ
ξ − z ( ξ − z − Δz )
2
d ξ ， 现 在 讨 论 能 否 找 到 δ ( ε )， 使 当 Δ z < δ 时 d ,同 时 将 2
上 式 成 立 。 因 本 题 是 讨 论 Δ z → 0时 的 积 分 极 限 ， 不 妨 令 Δ z < min z − ξ = d 代 入 有 Δ I ≤ δ
∫
M
L
d 2 (d −
d ) 2
dξ ≤ δ
2 Ml d3
上式在δ ≤ δ
2 Ml d 时 有 Δ I ≤ ε。 考 虑 到 Δ I 还 要 小 于 ， 因 此 3 2 d 3 εd d 令 ε < min( , ), 只 要 Δ z ≤ δ ， 就 有 Δ I ≤ ε ， 即 证 。 2 Ml 2
π
2
≤θ ≤
π
2
, I1 =
∫
CR
dz = z
π
2 3 2
∫π
2 −
π
2
de iθ = e iθ = −π i
∫ π id θ = π i
2 − 2
π
π
2
≤θ ≤
3π , I2 = 2
∫
CR
dz = z
∫ π id θ
(3) 在 单 位 圆 上 ， z = e iθ , π ≤ θ ≤ 2π , I 3 =
(1)沿(0,3)到(2,4)的直线；(2)沿(0,3)到(2,3)，再由(2,3)到(2,4)的折线； (3)沿抛物线x=2t,y=t2 + 3, 其中0 ≤ t ≤ 1. 解 (1)沿(0,3)到(2,4)的直线方程为2y-x-6=0,即x=2y-6，故 I1 = ∫ {[2 y + (2y-6) 2 ]2dy + [3(2y-6) − y ]dy} = ∫ (8 y 2 − 39 y + 54)dy = 97 3 3 6 (2)沿(0,3)到(2,3)的路线上，y=3,dy=0;再由(2,3)到(2,4)的路线上，x=2, 2 4 103 dx=0,故I2 = ∫ (2 ⋅ 3 + x 2 )dx + ∫ (3 ⋅ 2 − y )dy = 0 3 6 (3)在抛物线上，点(0,3)及(2,4)分别对应t=0和t=1，故
4 4 1 1 0 0
I3 = ∫ {[2(t2 + 3) + (2t)2 ]2dt + [3(2t)-(t2 + 3)]2tdt} = ∫ (24t 2 + 12 − 2t 3 − 6t )dt =
33 2
dz , 积 分 曲 线 分 别 为 (1)连 接 − i到 i， 单 位 圆 的 右 半 圆 周 ； l z (2) 连 接 − i到 i单 位 圆 左 半 圆 周 ； (3) 连 接 − 1到1的 单 位 圆 下 半 圆 周 ； 4.计 算 积 分 ∫ (4) 连 接 − 1到1的 单 位 圆 上 半 圆 周 解 (1) 在 单 位 圆 上 ， z = e iθ , − (2) 在 单 位 圆 上 ， z = e iθ ,
习题 1.计算下列积分。 （1）
dz ∫l z 2 + 4 ;
1.2.2
（2）
dz ∫l ( z 2 + 4) ;
其中曲线 l 为： （a）圆周 z − i = 2 （b）圆周 z + i = 2 （c） 圆周 z = 8
解：展成最高分式，注意解析的项积分为零。 （1） 1 = 1 ( 1 − 1 ) 4 + z 2 4i z − 2i z + 2i （a） I = 1 (b) I = 1 4i (c) I = 1
第二章 复变函数的积分
习题 1.计算积分 1.2.1
∫
l
z dz ，其中曲线 l 是： （1）连接-1 到 1 的直线段， （2）连接
-1 到 1，中心在原点的上半圆周。(3)单位圆的下半圆周。 解： （1）在沿实轴的积分路线上，y=0, z = x ,dz=dx, 故
1 2 0 1 21 1 1 z dz = − xdx + xdx = − + x = + =1 x ∫−1 ∫−1 ∫0 2 −1 2 0 2 2
2π dz = ∫C R z ∫π id θ = π i 0 dz (4) 在 单 位 圆 上 ， z = e iθ , π ≤ θ ≤ 0, I 4 = ∫ = ∫ id θ = −π i π CR z
5.若 f (ξ ) 在 D 连 续 ， 试 由 极 限 定 义 出 发 证 明 ， 可 以 交 换 取 极 限 与 求 积 分 顺 序 。 即 lim
1+i
[( x 2 − y 2 ) + 2ixy ](dx + idy )
4 1
= ∫ [( x 2 − 1) + 2ix]dx + i ∫ [(4 − y 2 ) − 4iy ]dy = −
3.试计算积分I = ∫
(2.4) (0.3)
86 − 6i 3
[(2 y + x 2 )dx + (3x − y )dy ], 积分曲线分别为