材料力学——8组合变形

=
M
2
+0.75M
2 n
=
M
2 y
+M
2 z
+0.75M
2 n
W
W
σ
* 4
=
M
2 y
+M
2 z
+0.75M
2 n
W
σ xB1
τ B1
弯扭组合问题的求解步骤：
①外力分析：外力向形心简化并分解。 ②内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危
险面。
③应力分析：建立强度条件。
σ
* 3
=
M
2 y
+M
2 z
+M
2 n
W
σ
* 4
=
M
2 y
+M
2 z
+0.75M
2 n
W源自文库
例3 图示空心圆杆，
内径d=24mm，外
P1
径D=30mm，
P1=600N，
[σ]=100MPa，试用
第三强度理论校核
A 150
B 200
此杆的强度。 解：①外力分析：
P1 Mx
弯扭组合变形
A 150
B 200
80º P2 z
x
C 100 D y
M (x)=
M
2 y
(
x)+M
2 z
(
x)
xx
④确定危险面
xX
Mz
M
B1
x
Mn B2My
σ xB1
⑤画危险面应力分布图，找危险点
σ xB1
τ B1
σ
xB1
=
M max W
τ
B1
=
Mn WP
M
x
σ σ
1 3
=σ
2
±
(σ )2+τ 2
2
σ xB2 ⑥建立强度条件
τ B1
σ xB1
τ B1
σ
∗ 3
=σ
1
二、应力分析：
z
P2z
Mx
P2yx
CD
100
y
MMZy ((NNmm))
71.25
MMzy ((NN mm))
40
7.05
Mn (（NNmm)）
120 Mn
MM ((NNmm)) 7M1.m3ax
40.6 5.5
②内力分析：危
xX
险面内力为：
M max =71.3Nm Xx
M n =120Nm ③应力分析：
xx
向力）不共面。
二、斜弯曲的研究方法 ： 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交
的平面弯曲。
Pz
zϕ
Py P
y
z y
x
Pz
Py
P
2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
z y
Pz
Py
P
x
Pz
zϕ
Py P
y
解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解 Py =Psinϕ
Py
④最大正应力
P
y
在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。
σ Lmax =σ D1
σ ymax =σ D2
⑤变形计算
f=
f
2 y
+
f
2 z
当ϕ = β时，即为平面弯曲。
tgβ = f y
fz
fz
β
f
fy
例1结构如图，P过形心且与z轴成ϕ角，求此梁的最大应力与挠度。
解：危险点分析如图
中性轴
σ
* 3
=
M
2 max
+M
2 n
W
= 32 71.32+1202
xX
3.14×0.033(1−0.84 )
=97.5MPa<[σ ]
安全
§8–4 拉(压)弯组合 ⋅ 偏心拉（压）⋅ 截面核心
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产
生的变形。
P R
x
P
P y
z
My
x z Mz
Py My
2.研究两个平面弯曲 ① M z =Py (L−x)
内
=P( L−x)sinϕ
力
=M sinϕ
m
M y =M cosϕ
Pz =Pcosϕ
x
z
x
m Pz
Py
y
LP
Pz
zϕ
Py P
y
② 应
My引起的应力：
σ ′=−M y z =−M zcosϕ
Iy
Iy
力
M z引起的应力：
σ ′′=−M z y=−M ysinϕ
B 200
Mx B 200
解：①外力向形心
x
简化并分解
C 100 D y
z
P2z
Mx
x
P2y
CD
100
y
弯扭组合变形
MMZy ((NNmm))
MMzy ((NN mm))
Mn (（NNmm)）
Mn
MM ((NNmm)) MMmmaaxx
②每个外力分量对应 xX 的内力方程和内力图
Xx M y (x) ; M z (x) ; M n (x) ③叠加弯矩，并画图
M
zmax
=
q
y L2 8
=358×32 8
=403Nm
M
zmax
=
qz L2 8
=
715×32 8
=804
Nm
[ ] σ
max
=
Mz Wz
+
My Wy
≤
σ
§8–3 弯曲与扭转
P1
80º P2 z
x
A 150
B 200 C 100 D
y
P1
80º P2 z
建立图示杆件的强度条件
A 150 P1
A 150
第八章 组合变形
§8–1 概述 §8–2 斜弯曲 §8–3 弯曲与扭转 §8-4 拉(压)弯组合 ⋅ 偏心拉（压）⋅ 截面核心
§8–1 概 述
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。
P
P z
R
x
M
fz Iz
例2 矩形截面木檩条如图，跨长L=3m,受集度为q=800N/m的
均布力作用， [σ]=12MPa，容许挠度为：L/200 ，E=9GPa，试
选择截面尺寸并校核刚度。 解：①外力分析—分解q
qy =qsinα=800×0.447=358N/m
yq
z
α =26°34´
q
A
B
L
qz =qcosα=800×0.894=715N/m
b
x
α Pz
h
Pz
zϕ
z
Py
D2
L Py
P
D1
Py y
fz
β
f
fy
最大正应力
变形计算
σ
Lmax
=σ
D1=
Mz Wz
+
My Wy
=−σ
D
2
当Iy = Iz时，即发生平面弯曲。
f=
f
2 y
+
f
2 z
=
( Py L3 )2+( Pz L3 )2 3EI z 3EI y
tgβ = f y = I y tgϕ
Iz
Iz
合应力： m
σ =σ ′+σ ′′=−M ( z cosϕ+ y sinϕ)
Iy
Iz
x
Pz
zϕ
z
x
m Pz
Py
y
LP
Py
LP y
③中性轴方程 σ =−M ( z0 cosϕ+ y0 sinϕ )=0 中性轴
Iy
Iz
D2
tgα= y0 = I z ctgϕ
α Pz
z0 I y
zϕ
可见：只有当Iy = Iz时，中性轴与外力才垂直。 D1
−σ
3
=
σ 2+4τ 2
=
M2 max
W2
+4WMPn22
σ
∗ 3
=σ
1−σ
3
=
σ 2+4τ 2
=
σ
* 3
=
M
2 y
+M
2 z
+M
2 n
W
M2 max
W2
+4WMPn22
=
M
2 y
+M
2 z
+M
2 n
W
[ ] σ
∗ 4
=
1 2
(σ
1−σ
2
)2
+(σ
2
−σ
3
)2
+(σ
3
−σ
1
)2
= σ 2+3τ 2
y
P
P
hγ
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
①外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解 ②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
定危险面。 ③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强
度条件。
§8–2 斜弯曲 一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横