连续系统模型描述

假设一连续系统
•
dny d n 1 y a1 n 1 an y u(t ) n dt dt
（a0=1）
今引进n个状态变量：
2 dy d y x x x1 y 2 1 2 2 x3 x • ， dt ， dt ，……
d y n1 n1 xn Fra Baidu bibliotek x dt
• 将上述n个一阶微分方 程写成矩阵形式可得
1 0 0 1 x 0 0 1 x 2 = x 0 0 0 xn a a an2 n1 n
y = 1 0 0 0x
外部模型变换到内部模型不唯一，所以仿 真模型也不唯一。一个系统有多种实现，最 小实现的充要条件是(A、B、C)为完全能控 且完全能观测。
pn x1 a0 pn y c0 pnu
（12）
•
pxn an y cnu
（14）
• 将（12）、（13）、（14）所包括的n+1个等式左右两 边分别相加，消去同类项，稍加整理后就得到原高阶微分 方程，表明两者之间的等价关系。
• 伴随方程法显式地表示了状态变量与原输入/输出变量及 其高阶导数之间的关系，因而易于进行初始值的转换。这 样得到状态方程及输出方程： •
伴随方程法（续）
• 于是可得下列矩阵方程 • y(t ) θX(t )+Tu(t ) • 其中 (16)
( n1)
(t ) y y(t ) y(t ) y
(t )
T
(t ) u (t ) u(t ) = u(t ) u
C CA n-1 CA
仅4个积分器即可实现 ,试画出其控制系统图
2、系统状态初始值变换 如果系统是非零初始条件，那么从外部模型变换 到内部内部模型还必须考虑如何将给定的初始条件转 变为相应的状态变量的初始值。 • 若系统是由如下一般形式的n阶微分方程来描述：
dny d n1 y dy d nu d n1u du a0 n a1 n1 an1 an y c0 n c1 n1 cn1 cnu dt dt dt dt dt dt
x1 a0 y c0u
（8） （9） （10） （11）
• 证明： • 将（8）两边分别进行微分n次，可得：
•
• 其中p为微分算子符号。对（9）式两边分别进行nj(j=1,2,…,n-1)次微分，可得： • （13） pn j 1x j pn j x j 1 a j pn j y c j pn ju • 对（10）式也引入微分算子：
2s 2 7s 7 s 3 6s 2 11s 6 2 s 6s 7 s 2 5s 6
0 G(s) 0 0 • • • • • 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 s 1 1 1 s 2 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 s 1 1 s 3 2 1 2 s 3
（1）常微分方程--输入/输出水平
dny d n1 y dy d n1u d n2u a0 n a1 n1 an1 an y c0 n1 c1 n1 cn1u dt dt dt dt dt
ai (i 0,1,2,, n为系统的结构参 ) 其中n为系统的阶次， c j ( j 0,1,2,, n为输入函数的结构参数，它们均为 ) 数， 实常数
• 伴随方程有多种形式，因而得到的状态方程也不唯一。 那么，实现这种初值转换的条件是什么呢？
• 考虑转换后得到的系统状态空间模型为:
AX BU X Y CX
• 即假定u的n阶导数项的系数c0=0，已知系统的初始条件 为: 0, y ( n1) (0) y(0)， y (0), u ( n1) (0) u(0), u
• 由控制理论可知，θ是(A、B、C)的能观判 别阵，若(A、B、C)是完全能观的，则θ非 奇异。这就是说，由高阶微分方程输入/输出 变量初始值转变为状态初始值的条件是：内 部模型(A、B、C)是完全能观的。
举例 ：
d y / dt 3dy / dt 2 y du / dt u

δ：状态转移函数，定义系统内部状态是如何变化的。 它是映射：
: Q Q
λ：输出函数，它是映射： 输出函数给出了一个输出段集。 : Q X T Y Y：输出段集，系统通过它作用于环境。
2、连续时间模型的典型形式 • • • • 常微分方程 传递函数 状态空间描述 权函数（脉冲过渡函数）
= AX + Bu X y CX Du
a1 / a0 a /a 2 0 A an1 / a0 an / a0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
（15）
c1 c0a1 / a0 c c a / a B= 2 0 2 0 c c a / a n 0 n 0
0 0 x(k 1) 0 an
y(k)= 1 0 0 0x(k)
2.2 模型结构变换
• 连续系统仿真要将这个系统的模型在计算机 上实现出来，首先要把系统的各种描述形式 转换成内部模型---状态空间模型，我们将其 称为模型结构变换。
1、 输入/输出水平模型到内部模型的变换
（2）传递函数
若系统的初始条件为零，两边取拉氏变换后稍 加整理：
Y ( s) G( s) U ( s)
j c s n j 1 j 0 n j a s n j j 0 n 1
（系统传递函数）
（3）权函数 权函数 g(t)指初始条件为0时系统在理想脉冲函数δ(t) 作用下的响应，又称脉冲过渡函数 系统对任意输入的响应可由卷积积分公式求出
[B• AB• A 2 B...An1 B]
C CA .. n1 CA
例如 ：
2s 5 s 2 5s 6 G(s) 2 3 s 12s 11 s 3 6s 2 11s 6
1 2 1 s 1 s 3 s 2 2 1 1 s3 s2
n1
则有
dny d n1 y d n2 y xn n a1 n1 a2 n2 an y u(t ) dt dt dt
a1xn a2 xn1 an x1 u(t )
0 x1 0 0 x2 0 u 1 xn 1 a1
• 则为了由上述初始值求出状态变量的初始值，可列出以下 y(t ) Cx(t) 方程:
(t) = CAx(t) + CBu (t ) Cx y (t) (t) = CAx (t) + CBu (t) = CA2 x(t) + CABu (t) (t ) Cx y (t) + CBu
系统仿真技术
第2章 连续系统模型描述
刘军 兰州理工大学机电工程学院
2.1连续系统模型描述
1、连续时间动态系统
连续系统----系统状态变化在时间上是连续的，可 以用方程式（常微分方程、偏微分方程、差分方程） 描述系统模型。
一个系统可以定义成如下集合结构：
S (T , X , , Q, Y , , )
y(t ) u( ) g (t )d
0
t
权函数与传递函数有如下关系：
L[g(t)] G(s)
（4）状态空间描述----状态结构水平
• 系统内部模型――状态空间模型。状态空间 描述的一般形式为： AX BU 状态方程 : X Y CX 输出方程 :
2 离散时间模型 （1）差分方程
• 其中
1 C = 1, a0
0 0
D c0 / a 0
• 设a0=1,初值转换方程：
0 0 y0 c0 0 0 u0 x10 1 x a y c u 1 0 c 0 0 20 1 0 1 0 ( n1) ( n1) x a a 1 y c c c 0 u0 n0 n1 n2 0 n1 n2

n-1

T
0 0 0 CB 0 0 T = CAB CB n 2 n 3 CA B CA B CB 0
• 由(16)式可得： x(t ) = [y(t )－Tu(t )]
-1
(17)
• 即，若 1存在，则可由(17)式求出 x(t) 的初始值。
T：时间基，描述系统变化的时间坐标 T为整数则称为离散时间系统， T为实数则称为连续时 间系统 X：输入集， 代表外部环境对系统的作用。 X被定义为 Rn ,其中 n I ，X即代表n个实值的输 入变量。 Ω：输入段集，描述某个时间间隔内输入模式，是(X,T) 的子集。 Q：内部状态集，是系统内部结构建模的核心。
输入任意一个 {u(k )} 则系统响应为
y(k ) u(i)h(k i)
i 0
k
（4）离散状态空间模型
j a q j y(n k ) u(k) j 0 n
令
q j y(n k ) xn j 1 (k )• • ( j 0,1,2,...,n)
1 0 0 an1 0 1 0 an2 0 0 0 0 x(k ) u(k) 1 1 a1
求解：
1 1 s 2 s 3 G(s) 1 1 1 s 1 s 3 s 2
1 0 1 2 1 1 X U X 1 2 3 1 1 0 1 1 1 0 0 0 Y X U 0 1 1 1 0 1
• 系统初始条件为：
(i ) ( i ) (i ) y(i) (t0 ) y0 , u (t0 ) u0 , (i 0,1,2,, n 1)
伴随方程法
• 一阶微分方程组的状态变量记为 xi (i 1,2,, n) ，如 果它们满足如下关系：
• j x j1 a j y c j u x • n an y cnu x • 1 y ( x c u ) 1 0 a 0 • • 该状态方程与原方程等价。
引入后移算子
q 1 , q 1 y(k ) y(k 1)
（2）Z传递函数
设系统的初始条件为零，即 y(k ) u(k ) 0 ，取Z变换
在初始条件均为零时， q1 z 1 等价
（3）权序列
1, k 0 (k ) 初始条件为零时，输入一个单位序列脉冲， 则 0, k 0 响应为权序列