厦门大学《信号与系统》黄联芬期末复习

频域抽样，时域周期延拓。
时域抽样，频域周期延拓。
2.抽样定理 频域抽样定理）
连续信号的傅里叶变换
（时域抽样定理、“奈奎斯特间隔Ts /频率”、
(1)时域抽样定理:若f(t）的频谱只占 m ~ m范围
即：f(t)一个频谱受限的信号
fs 2 fm
则f(t)可用等间隔的抽样值f s (t )唯一确定.
F ( )
2 j
升余弦脉冲信号：
E t f (t ) 1 cos( ) 2
(0 t )
F ( w)
E Sa( w ) w 1
f(t)= dt
2
冲激函数
F ( ) 1
FT d (t ) 1
连续信号的傅里叶变换
(2)频谱图的绘制和特性 （（复数）幅度频谱、（复数）相位频谱、 离散性、谐波性、收敛性）
双边频谱图：Fn ~ n1 复函数幅度谱，
n ~ n1 复函数相位谱
Fn
c0 1 c 1 21 c2 2
nw1
n
nw1
nw1
w1 0 w1
w
nw1

0
w
连续信号的傅里叶变换
F (5)尺度变换性： f (at ) 1 F , a 0 a a
(6) F (0)



f (t )dt
1 f (0) 2



F ( w)dw
(7)时移性
f (t t 0 ) F ( )e
F jt0
, t0 0
1 j at0 F f (at t 0 ) F e a a
c0 d 0 a0 2 2 其中 cn d n a n bn bn an , n arctg n arctg an bn
f (t )
n
F (n )e
1

jn1t
1 t0 T1 jn1t 记 dt 复函数：F (n1 ) Fn T t0 f (t )e 1 其中 n ~ 直流分量：F0 c0 a0
1 2

F ( )e d
j t



f (t ) dt
连续信号的傅里叶变换
(2)频谱图的绘制和特性 （幅度频谱、相位频谱、连续性、收敛性）
F (w) F (w) e j ( w)
F ( w) ~ w ：为非周期信号的幅度频谱；
( w) ~ w：为非周期信号的相位频谱。
钟形脉冲：f (t ) Ee
F ( ) E e
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
2
F ( ) E e , ( ) 0
2
2
1， t 0 符号函数： sgn(t ) 0， t 0 1，t 0
FT
(10)积分性
F ( ) f ( )d j d F (0)， f (t ) F d t f (0) F ()d jt
t F
有直流分量不能直接套用微积分性，会出错误。
y(t)=
t

F ( ) f ( )d d F (0) j F ( ) d ( y () y ()) j
F 2
n
Fe
n n
jn1t
n
F d n
1
1 Fn T1
T1 2 T 1 2
f (t )e
jwt
dt
五、抽样定理
连续信号的傅里叶变换
1.抽样信号的傅里叶变换 （抽样信号f s t 、时域抽样Fs 、 频域抽样F1 、频谱特性）
(14)能量守恒定律 : 1 2 E f (t ) dt 2



F ( w) dw=
2


F ( f ) df
2
连续信号的傅里叶变换
四、周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换 （周期冲激信号，余弦信号、 正弦信号、一般信号）
F
(1)余弦信号： 1t ) d ( 1 ) d ( 1) cos(
连续信号的傅里叶变换
(3)典型非周期信号的傅里叶变换 （指数、矩形脉冲、钟形脉冲、升余弦脉冲、 符号函数、冲激函数、阶跃函数、直流、）
单边指数：f (t ) e u (t ) ( a 0)
at
1 F ( ) a j
偶双边指数：f (t ) e
a t
2a (a 0) F ( ) 2 a
二、非周期信号的傅里叶变换
(1)傅里叶变换对
连续信号的傅里叶变换
（频谱密度函数F 、傅里叶变换对定义 、充分条件）
傅里叶正变换：F ( ) F f (t ) f (t )e
定义

jt
dt
傅里叶逆变换：f (t ) F
定义
1
F ( )

n 1
或
f (t ) d 0 d n sin(n1t n )
n 1
1 t0 T1 1 T1 f (t )dt f (t )dt 直流分量：a0 t0 T1 T1 0 2 t0 T1 其中 余弦分量幅度：an f (t ) cos( n1t ) dt t0 T1 2 t0 T1 f (t ) sin(n1t ) dt 正弦分量幅度：bn t T1 0 n 1, 2,...
(3)波形对称性有两类： （1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。 (只含有余弦项或正弦项)。 （2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数. 只含有基波与奇次谐波分量或偶次谐波分量。
连续信号的傅里叶变换
（4）典型周期信号的傅里叶级数 （周期矩形脉冲、周期对称方波）
E E1 f (t ) T1
（1）时域抽样：
连续信号
抽样脉冲信号
抽样后信号fs(t)
f (t ) F (w) FT p(t ) P(w)
FT
f s (t ) Fs (w)
FT
f s (t ) f (t ) p(t )
1 Fs ( w) F ( w) * P ( w) 2
Fs ( w)
奈奎斯特间隔Ts 2tm
连续信号的傅里叶变换
六、离散时间信号的傅里叶变换即 序列傅里叶变换DTFT
1.DTFT变换的正反变换式
正变换 X
e =DTFT x n x n e
j n
j n
j X 逆变换 x n =IDTFT e 1 j j n = X e e d 2
直流信号f(t)=E
F () 2 Ed
1 2d (w)
FT
1 1 阶跃信号:u (t ) sgn(t ) 2 2
1 F ( ) d j
连续信号的傅里叶变换
三、傅里叶变换的性质
傅里叶变换基本性质的灵活运用 （对称性、线性性、反折性、尺度变换性、 平移性、积分性、微分性、卷积性）
(a 0)
2
eat , t 0 奇双边指数：f (t ) at e , t 0
2 F ( ) 2 a 2 2 j F ( ) 2 , 2 2 , 0 a ( ) , 0 2
（2）频率抽样 连续信号
f (t ) F (w)
FT
对F (w) F1 (w)
理想抽样脉冲信号 抽样信号的频谱:
dw1 (w)
即在频域上抽样:
d w1 ( w)
n
d (w nw )
1

F1 (w) F (w)d w1 (w)
1 1 IFT F1 ( w) f1 (t ) f (t ) * d (t nT 1 ) f (t nT 1) w1 n w1 n
矩形脉冲：f (t ) E u t u t 2 2
F ( ) E Sa 2 , F ( ) E Sa 2 ( ) 0, F ( ) 0 , F ( ) 0
f (t )e
j0t F F ( 0 ), 0 0
(8)频移性
1 (9)调制性：f (t ) cos 0t F ( 0 ) F ( 0 ) , 2 j FT f (t ) sin 0t F ( 0 ) F ( 0 ) 2
1 奈奎斯特间隔Ts 2 fm
奈奎斯特频率
fs 2 fm
连续信号的傅里叶变换
频域抽样定理:若f(t)只占 tm ~ tm范围
即：f(t)一个时间受限的信号
1 若f s 2tm
即Ts 2tm
则f(t)频域抽样后的频谱F1 可唯一表示它.
奈奎斯特频率
1 fs 2tm
n
P F (w nw )
n s

1 Pn T
E Fs ( w) Ts

Ts 2 T s 2
p(t )e
jnws t
dt
进行矩形抽样，其抽样信号的频谱：
nws Sa( 2 ) F (w nws ) n
进行理想冲激抽样，其抽样信号的频谱： 1 Fs ( w) F (w nws ) Ts n
FT (1)对称性 : 若 f (t ) F ()
则 F (t ) 2 f ()
FT
(2)线性性 :
a1f1 (t ) a 2f2 (t) FT a1F1 () a 2 F2 ()
(3)反折性 :
F f (t ) F ()
F F (4)共轭性： f * (t ) F * (), f * (t ) F * ()
三角
n1 Sa 2 cos(n1t ) n 1

E T1
指数
n1 jn1t Sa 2 e n

f (t )
2E 1 1 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 3 5
F (2)正弦信号： 1t ) j d ( 1 ) d ( 1 ) sin(
(3)周期冲激信号d T (t )
FT
n
d (t nT )
1

fT (t ) d T (t ) w1 d ( w nw1 )
n


(4)一般周期信号：f (t )
期末小结
第六章 连续信号的傅里叶变换
一、周期信号的傅里叶级数
(1)傅里叶级数的展开 （一般三角函数形式、常用三角函数形式、 指数函数形式）
f (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
n 1


f (t ) c0 cn cos(n1t n )
F
(11)微分性
d f (t ) F d F ( ) n n F j F ( )， jt f (t ) n dt d n
n n
(12)时域卷积则频域相乘。
f1 (t ) f 2 (t ) F1 (w) F2 (w)
FT
IFT
1 f1 (t ) f 2 (t ) (13)频域卷积则时域相乘。 F1 ( w) F2 ( w) 2