最大值与最小值的解法
代数最值问题的常用解法
代数最值问题的常用解法
代数最值问题在数学中是一个常见的问题，它涉及到寻找代数表达式的最大值或最小值。
解决这类问题通常需要一些技巧和策略，下面是一些常用的方法：
1.配方法：对于形如 ax^2 + bx + c 的二次函数，如果
a > 0，则函数有最小值，该最小值为 (4ac - b^2) / 4a；如
果 a < 0，则函数有最大值，该最大值为 (4ac - b^2) /
4a。
这种方法的关键是将原式转化为完全平方的形式。
2.不等式法：利用基本不等式（如AM-GM不等式）来找
到代数表达式的上界或下界。
这种方法适用于处理含有平方和或平方差的不等式。
3.换元法：通过引入新的变量来简化代数表达式。
这通
常用于处理复杂的代数表达式或无理函数的最值问题。
4.导数法：对于一些难以直接分析的函数，求导后可以
通过分析导数的正负来判断函数的单调性，从而找到极值点。
5.参数方程法：对于含有参数的代数表达式，可以通过
参数的变化来找到最值。
这种方法常用于处理三角函数的最值问题。
6.数形结合法：将代数问题转化为几何问题，通过分析
图形来找到最值。
这种方法在处理一些涉及距离、面积或体积的最值问题时非常有效。
7.构造法：通过构造新的函数或表达式来找到最值。
这
需要一定的创造性思维和对数学知识的深入理解。
以上方法并非互斥，有时需要结合使用。
解决代数最值问题时，关键是理解问题的本质，选择合适的方法，并灵活运用数学知识。
最值问题的常用解法及模型
最值问题的常用解法及模型引言最值问题是数学中常见的问题之一，它要求在给定的一组数据中找出最大值或最小值。
在实际生活和工作中，最值问题有很多应用场景，比如找出一组数据中的最高分、最低温度、最大利润等。
本文将介绍最值问题的常用解法及模型，旨在为读者提供一些解决最值问题的思路和方法。
一、暴力法暴力法是最值问题的最简单直接的解法，也是最容易理解的方法之一。
暴力法的思路非常简单，就是遍历给定的一组数据，比较每个数据与当前最值的大小关系，更新最值的数值。
具体步骤如下： 1. 初始化最值变量，最大值设为负无穷大，最小值设为正无穷大。
2. 遍历给定的一组数据，对每个数据进行比较。
3. 如果当前数据大于最大值，则更新最大值。
4. 如果当前数据小于最小值，则更新最小值。
5. 遍历完所有数据后，最大值和最小值即为所求。
二、排序法排序法是解决最值问题的另一种常用方法，它的思路是先对给定的一组数据进行排序，然后直接取出排序后的第一个或最后一个元素作为最值。
具体步骤如下： 1. 对给定的一组数据进行排序，可以使用快速排序、归并排序等常见的排序算法。
2. 如果要找最大值，直接取排序后的最后一个元素作为最值；如果要找最小值，直接取排序后的第一个元素作为最值。
三、分治法分治法是解决最值问题的一种高效的方法，它通过将问题划分成小规模的子问题，并从子问题中找出最值，最后将子问题的最值合并得到整体的最值。
具体步骤如下：1. 将给定的一组数据划分成多个小规模的子问题。
2. 对每个子问题递归地应用分治法，求出子问题的最值。
3. 将子问题的最值合并，得到整体的最值。
四、动态规划法动态规划法是解决最值问题的一种常见方法，它通过定义状态和状态转移方程来逐步求解最值。
具体步骤如下： 1. 定义状态，通常用一个数组来表示状态，数组的元素表示子问题的最值。
2. 设置初始值，确定初始状态的值。
3. 定义状态转移方程，利用已知的子问题的最值推导出当前问题的最值。
[方案]三角函数中的最大值与最小值
![[方案]三角函数中的最大值与最小值](https://img.taocdn.com/s3/m/251df01a4b7302768e9951e79b89680202d86b50.png)
三 角 函 数 中 的 最 大 值 与 最 小 值湖南省南县一中 陈敬波(*****************)(413200)三角函数的最值问题是对三角函数的概念、图象与性质以及诱导公式、同角间的基本关系、两角的和与差公式的综合考查,也是函数思想的具体体现．解决三角函数的最值问题可通过适当的三角变换或代数换元,化归为某种三角函数或代数函数,再利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理,通常有以下六种类型．（１） sin y a x b =+（或cos y a x b =+）型的函数此类函数利用sin 1x ≤（或cos 1x ≤）即可求解,max min ||,|a|+b,y a b y =+=-显然这里x R ∈．例1．求sin cos 6y x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最大值与最小值．解：111sin cos sin 2sin sin 2,6266264y x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()max min 1111131,1.244244y y ∴=⨯-==⨯--=-（若不要求记忆和差与积互化公式,则按下列解法）解：21111cos 2cos cos cos cos 22222111111112cos 2sin 2cos 2sin 24442224264x y x x x x x x x x x x x x π⎫+=-=-=-⨯⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--=⨯--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()max min 1111131,1.244244y y ∴=⨯-==⨯--=-（２） sin cos y a x b x =+型的函数()αϕ+其中辅助角ϕ所在的象限由a,b 的符号确定,角ϕ的值由tan ba ϕ=确定．例2．当22x ππ-≤≤时,函数()sin f x x x =的（ ）Ａ． 最大值是１,最小值是－１ Ｂ． 最大值是１,最小值是－12１Ｃ． 最大值是２,最小值是－２ Ｄ． 最大值是２,最小值是－１解析：()sin 2sin .3f x x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭()()max min 5,,22636,,2,3261,,2 1.3622x x x x f x x x f x πππππππππππ-≤≤∴-≤+≤∴+===⎛⎫+=-=-=⨯-=- ⎪⎝⎭故选（Ｄ）（３） 22sin sin cos cos y a x b x x c x =++型的函数此类函数可先降次,再整理转化为()sin y A x B ωϕ=++的形式来解决．例3．求22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++的最小值,并求y 取最小值时的x 的集合．解：()22222sin 2sin cos 3cos sin cos 2sin cos 2cos y x x x x x x x x x=++=+++()1sin 21cos 2sin 2cos 2224x x x x x π⎛⎫=+++=++=++ ⎪⎝⎭,∴当sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即()322,428x k x k k Z πππππ+=-+=-∈时,y 取最小值2,使y 取最小值的x 的集合为3|,.8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭（４） 2sin cos y a x b x c =++型的函数此类函数可转化为形如()211y At Bt C t =++-≤≤的二次函数,从而讨论其最值．例4.求函数2cos 2sin y x a x a =--(a 为定值)的最大值M.解: ()()2222cos 2sin 1sin 2sin sin 1.y x a x a x a x a x a a a =--=---=-++-+令sin x t =,则()()221||1.y t a a a t =-++-+≤如下图(1)若-a<-1,即a>1,则当t=-1时,有最大值M=-(-1+a)2+a 2-a+1=a;(2)若-1≤-a ≤1,即-1≤a ≤1,则当t=-a 时,有最大值M=a 2-a+1;(3)若-a>1,即a<-1,则当t=1时,有最大值M=-3a.注:本例借助函数思想,把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题.（５） sin cos a x cy b x d+=+型的函数此类函数可转化为()()sin x g y ϕ+=去处理,或利用万能公式换元后用判别去处理.例5.求下列函数的最大值与最小值.()()()3cos 2cos 1;2.2sin 2cos x xy y x R x x-+==∈+-解：（1）原函数可变形为sin cos 32,y x x y +=-即()sin x ϕ+=又()|sin |1x ϕ+≤()22213213128022y y y y y ≤⇔-≤+⇔-+≤⇔≤≤故所求最小值与最大值分别为：2（2）原函数可转化为()21cos ,1y x y -=+则()221131030,1y y y y -≤⇒-+≤+解得min max 113,, 3.33y y y ≤≤∴==（６） 巧用换元法转化为代数函数的最值问题① 对于含有s i n c o s ,s i n c o x x x x ±的函数的最值问题，常用的解决方法是令sin cos ,x x t ±=||t ,将sin cos x x 转化为t 的关系式，最终化归为二次函数或其他函数的最值问题.例6.已知0a <≤求函数()()sin cos y x a x a =++的最值解: ()()()2sin cos sin cos sin cos y x a x a x x a x x a=++=+++设sin cos x x t +=,则21||cos ,2t t x x -≤=()222211122t y at a t a a -⎡⎤∴=++=++-⎣⎦.当t a =-时,2min 12a y -=;当t =, 2max 1.2y a =++例7.求函数sin 21sin cos xy x x =+-的最大值与最小值.解: sin 22sin cos 1sin cos 1sin cos x x xy x x x x==+-+-令:sin cos ,x x t -=则||t ≤且1t ≠-原函数变为:211.1t y t t-==+-则[11)(1,1y ∈--min max 11y y ==② 首先利用换元法转化为代数函数by ax x=+,再利用函数的单调性求最值.例8.已知1sin cos ,0,sin cos 2y x x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,求y 的最小值.解析:令11sin cos sin 2,0,,(0,]222u x x x x u π⎛⎫==∈∈ ⎪⎝⎭则11,(0,].2y u u u =+∈由函数的单调性的定义易证1y u u =+在1(0,]2u ∈上是减函数,min 152.22y ∴=+=。
几何最值问题常用解法初二
几何最值问题常用解法初二几何最值问题是指在给定的几何条件下，求解出某个量的最大值或最小值。
这类问题在数学竞赛和应用问题中经常出现，对学生的综合能力和解题能力提出了要求。
下面将介绍几何最值问题常用的解法。
一、勾股定理求解最大值勾股定理是几何最值问题中应用最广泛的方法之一。
根据勾股定理，对于任意一个直角三角形，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，当已知两条边的长度时，可以通过勾股定理求解另一条边的最大值或最小值。
例题1：在直角三角形ABC中，已知AB=3，BC=4，求AC的最大值。
解法：根据勾股定理，AC的平方等于AB的平方加BC的平方，即AC^2=3^2+4^2=9+16=25。
所以AC的最大值为5。
例题2：在直角三角形ABC中，已知AB=5，AC=13，求BC的最小值。
解法：根据勾股定理，BC的平方等于AC的平方减去AB的平方，即BC^2=13^2-5^2=169-25=144。
所以BC的最小值为12。
二、三角形面积法求解最大值三角形面积公式是几何最值问题中常用的方法之一。
根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半。
因此，当已知底边和高的一半时，可以通过三角形面积公式求解三角形面积的最大值或最小值。
例题3：已知一个三角形的底边长是6，高的一半是5，求这个三角形的最大面积。
解法：根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半，即面积=6*5=30。
所以这个三角形的最大面积是30。
例题4：已知一个三角形的底边长是10，面积是24，求这个三角形的最小高。
解法：根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半，即24=10*高/2，解得高=4.8。
所以这个三角形的最小高是4.8。
三、相似三角形属性求解最大值相似三角形属性是几何最值问题中常用的方法之一。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的边长之比等于对应边的比值，面积之比等于对应边长的平方的比值。
例题5：已知两个相似三角形的面积分别是16和25，求这两个相似三角形的边长之比。
初中数学常见8种最值问题
的方程 3 B.初中数学常见8种最值问题最值问题，也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题. 这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考.一. 配方法例 1. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛）可取得的最小值为.解：原式 由此可知，当时，有最小值 .二. 设参数法例 2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足 .则 的最大值为.解：设 ，易知,由，得从而，.由此可知，是关于 t 的两个实根.于是，有,解得.故的最大值为 2.例 3. （2004 年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（ ）A. C.D. 6取得最小值 .故选（B ）.解：设 ，则从而可知，当时，解：由 得解得由是非负实数，得 , 解得又 ，故， 三. 选主元法例 4. （2004 年全国初中数学竞赛） 实数满足.则 z 的最大值是.解：由 得.代入 消去 y 并整理成以为主元的二次方程，由 x 为实数，则判别式 . 即 ，整理得 解得 .所以，z 的最大值是 .四. 夹逼法例 5. （2003 年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足.设，记 为 m 的最小值，y 为 m 的最大值.则.五. 构造方程法例 6. （2000 年山东省初中数学竞赛）.于是，因此.已知矩形 A 的边长为 a 和 b ，如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k ，试求 k 的最小值.解：设矩形 B 的边长为 x 和 y ，由题设可得 .从而x 和y 可以看作是关于t 的一元二次方程 的两个实数 根，则 ,因为 ，所以 ，解得,所以 k 的最小值是.六. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例 7. （2006 年全国初中数学竞赛）已知为整数，且.若，则的最大值为.解：由得，代入得.而由和可知的整数.所以，当时，取得最大值，为.七. 借助几何图形法例 8. （2004 年四川省初中数学联赛）函数的最小值是.解：显然，若，则.因而，当取最小值时，必然有. 如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2.对于AB 上的任一点O，令OA=x，则.那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 OC+OD 最小.图 1设点 C 关于 AB 的对称点为 E，则 DE 与 AB 的交点即为点 O，此时，.作 EF//AB 与DB 的延长线交于 F.在中，易知，所以，.因此，函数的最小值为5.八. 比较法例 9. （2002 年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000 元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000 元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000 元. 现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则解得又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则解得于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少.。
函数的最大值和最小值
函数的最大值与最小值
a b 2、设 x, y 与 a, b 均为正实数，且满足 + = 1，求 x + y 的最小值. x y
a b π 2 2 解： 设 = sin t , = cos t , t ∈ (0, ). x y 2 a b x+ y = + = a csc 2 t + b sec 2 t sin 2 t cos 2 t
函数的最大值与最小值
x2 + x + 2 的最大值和最小值. 4、求函数y = 2 2x − x + 1
解： 本题可用判别式法求最值.
去分母得， y − 1) x 2 − ( y + 1) x + y − 2 = 0 (2
1 当y = 时，x = −1； 因为x ∈ R, 所以只须Δ ≥ 0. 2 1 当y ≠ 时，此为关于x的一元二次方程，且x, y 均为实数， 2
函数的最大值与最小值
主讲人：贺才兴
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值的常用求法：
(1) 配方法：把函数写成若干个非负代数式及一个常数的和， 从而估计出函数的上、下界，进而求出其最大、小值.
(2) 判别式法：把所求最值的函数放到某一个一元二次方程的 系数上，利用判别式求出该函数的上界或下界，从而求得 最值.
函数的最大值与最小值
6、已知实数 x, y 满足1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4，求 f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 的 最小值和最大值. 1 2 3 2 2 2 2 ∵ xy ≤ ( x + y ), ∴ f ( x, y ) = x + y + xy ≤ ( x + y 2 ) ≤ 6, 解： 2 2
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以p2＋16p+13=30，p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得-4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4・y・(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即y2-3y-4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习：1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。
最大值与最小值的定义及求解方法
最大值与最小值的定义及求解方法在数学中，最大值和最小值是两个重要的概念。
了解它们的定义和求解方法，有助于我们更好地理解和应用数学知识。
一、最大值和最小值的定义最大值指的是一组数中的最大值，也就是这些数中最大的那个数。
例如，1、2、3、4中的最大值为4。
最小值则是这组数中最小的那个数，例如，1、2、3、4的最小值为1。
在函数中，最大值和最小值的定义稍有不同。
对于一个函数f(x)而言，最大值指的是函数在定义域中最大的函数值，也就是在这个函数中，y的取值最大的那个点。
同样的，最小值则是函数在定义域中最小的函数值，也就是在这个函数中，y的取值最小的那个点。
二、求解方法求解最大值和最小值的方法有很多种，以下是几种比较常见的方法。
1.导数法通过求函数的导数，可以判断函数在哪些点处达到最大值或最小值。
具体来说，如果函数在某个点处的导数为0，那么这个点就是函数的极值点。
如果导数为正，那么这个点就是函数的最小值点；如果导数为负，那么这个点就是函数的最大值点。
2.描点法描点法，也称为“列表法”，是一种通过列出函数在特定点处的函数值来确定函数最大值或最小值的方法。
具体来说，我们可以先选取一些数作为自变量，计算函数在这些点处的函数值，然后通过比较这些函数值来确定函数的最大值或最小值。
3.函数图像法函数图像法，就是通过观察函数的图像来判断函数的最大值或最小值。
具体来说，我们可以画出函数的图像，然后找到其中的极值点，并判断这些点是最大值点还是最小值点。
三、总结最大值和最小值的概念在数学中非常重要，而求解最大值和最小值的方法也有很多种。
通过学习这些方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，同时也可以更好地解决和处理实际问题。
七年级绝对值最大值最小值解法
七年级绝对值最大值最小值解法一、绝对值的基本概念。
1. 定义。
- 绝对值表示数轴上一个数所对应的点与原点的距离。
例如，|3| = 3，表示3这个点到原点的距离是3；| - 5|=5，表示 - 5这个点到原点的距离是5。
- 用数学式子表示为：| a|=a(a≥0) - a(a < 0)二、求绝对值表达式的最大值和最小值的常见类型及解法。
（一）简单的绝对值表达式。
1. 类型一：| x|形式。
- 对于y = | x|，因为绝对值是非负的，所以y=| x|≥0。
- 最小值：当x = 0时，y取得最小值0；没有最大值，因为x可以取任意实数，| x|可以无限大。
2. 类型二：| x - a|形式。
- 对于y=| x - a|，它表示数轴上x所对应的点到a所对应的点的距离。
- 最小值：当x=a时，y取得最小值0；没有最大值。
（二）含有多个绝对值的表达式。
1. 类型一：y=| x - a|+| x - b|（a < b）形式。
- 几何意义：y=| x - a|+| x - b|表示数轴上一点x到a点和b点的距离之和。
- 最小值：当a≤ x≤ b时，y取得最小值| b - a|。
- 证明：当x < a时，y=(a - x)+(b - x)=a + b-2x，y随x的增大而减小；当x > b 时，y=(x - a)+(x - b)=2x-(a + b)，y随x的增大而增大；当a≤ x≤ b时，y=(x - a)+(b - x)=b - a，此时y取得最小值| b - a|，没有最大值。
2. 类型二：y=| x - a|-| x - b|（a < b）形式。
- 几何意义：y=| x - a|-| x - b|表示数轴上一点x到a点和b点的距离之差。
- 最大值：当x≥ b时，y取得最大值| b - a|；最小值：当x≤ a时，y取得最小值-| b - a|。
- 证明：当x < a时，y=(a - x)-(b - x)=a - b；当a≤ x < b时，y=(x - a)-(b -x)=2x-(a + b)，y在这个区间内的值介于-| b - a|和| b - a|之间；当x≥ b时，y=(x - a)-(x - b)=b - a。
求最值问题的6种解法
求最值问题的6种解法
最值问题是指在一组给定的值中，找出最大值或最小值的问题。
以下是六种常见的解决最值问题的方法：
1. 线性搜索：遍历给定的值，通过比较每个值与当前最值的大小来更新最值。
这种方法简单直接，但效率较低，适用于数据量较小的情况。
2. 排序法：将给定的值进行排序，然后取第一个或最后一个值作为最值。
这种方法的时间复杂度主要依赖于排序算法，适用于需要找到多个最值的情况。
3. 分治法：将给定的值划分成多个子问题，递归地求解每个子问题的最值，然后将子问题的最值合并得到整体的最值。
这种方法适用于问题可以分解成若干小规模相同结构的子问题的情况。
4. 动态规划：根据问题的特点，定义状态和状态转移方程，利用动态规划的思想求解最值问题。
动态规划通常需要使用一个表格来记录中间结果，以减少重复计算。
这种方法适用于问题具有最优子结构和重叠子问题性质的情况。
5. 贪心法：根据局部最优的选择策略，逐步构建全局最优解。
贪心法通常不保证得到全局最优解，但在一些特定问题上表现良好，并且具有较高的执行效率。
6. 深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）：对于给定的值构成的图或树结构，通过搜索遍历所有可能的路径或状态，
找到满足最值条件的路径或状态。
这种方法适用于问题可以抽象成图或树结构的情况。
根据具体问题的特点，选择合适的解法可以提高求解最值问题的效率和准确性。
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法在高中数学学习中，函数极值及最值问题是一个重要的考点，也是一个有难度的知识点。
在高考数学中，这个知识点被广泛地应用于各种数学题型中，涉及到的知识点和方法需要大家掌握好。
本文将就函数极值及最值问题及解题方法做一些简单的介绍和详解。
第一部分：什么是函数的最值和极值函数的最大值和最小值是这个函数在定义域内的函数值中的最大值和最小值，也就是说，最大值和最小值都是函数的取值，而不是函数本身。
函数的最大值就是这个函数在定义域内取到的最大值，而函数的最小值就是这个函数在定义域内取到的最小值。
函数的极值也是类似的，极大值指的是某个函数在一个特定的区间内取到的最大值，而极小值就是函数在这个特定的区间内取到的最小值。
第二部分：函数的最值和极值问题的解法1. 求函数的最值对于求函数的最值，一般有两种方法：一种方法是借助函数图像，根据函数图像的形态来看出函数的最值所在的位置。
另一种方法是通过求导数，然后借助导数定理来求解函数的最值。
求函数的最值需要用到极限、导数、函数的性质等多个数学知识点，需要考生们细心地掌握。
2. 求函数的极值对于求函数的极值，可以通过以下几种方法来实现：一种方法是通过求导数，然后求得导函数的零点，从而求出函数的极值点。
另一种方法是对函数求导数，然后再对导数进行求导数，直到得到导函数的函数表达式，从而得到函数的极值点。
还有一种方法是使用极限和数列的性质来求解函数的极值。
总的来说，求函数的极值需要使用到导数、函数的性质、函数图像的图形等多个数学知识点，需要考生们认真学习和练习。
第三部分：函数极值及最值问题的解题实例在高考数学中，函数极值及最值问题的解题实例非常丰富，接下来就给大家介绍一些常见的解题思路。
1. 求函数的最值比如，一道求函数最大值的题目：求函数f(x)=x2+2x+3的最小值。
解题思路：首先可以画出函数的图像，在图像上寻找最小值所在的位置。
另一方面，我们也可以通过求导数来求解函数的最值。
c语言位运算 最大最小值
c语言位运算最大最小值
C语言中的位运算可以用来进行一些有趣且高效的操作，其中包括求解最大值和最小值。
在进行位运算时，我们可以利用位操作符（&，|，^，~，<<，>>）来实现这些功能。
对于求解最大值和最小值，我们可以分别利用位运算来进行计算。
下面我们分别介绍如何使用位运算来求解最大值和最小值：
1. 求解最大值：
要求解一组数中的最大值，可以使用位运算来实现。
我们可以利用位运算符号来进行比较，从而找到最大值。
一种常用的方法是利用按位取反运算符（~）和按位与运算符（&）来实现。
具体步骤如下：
- 首先，将取反后的数与原数进行按位与运算，得到结果后进行逻辑右移操作（>>）。
- 最后，将取反运算后的结果右移1位，再进行取反运算，即可得到最大值。
2. 求解最小值：
同样，求解一组数中的最小值也可以利用位运算来实现。
我们可以利用位运算符号来进行比较，从而找到最小值。
一种常用的方法是利用按位取反运算符（~）和按位与运算符（&）来实现。
具体步骤如下：
- 首先，将取反后的数与原数进行按位与运算，得到结果后进行逻辑右移操作（>>）。
- 最后，将取反运算后的结果进行取反运算，即可得到最小值。
通过以上方法，我们可以利用位运算来求解一组数中的最大值和最小值。
这种方法在一些特定的场景下可以提高效率和节省空间，是C语言中位运算的一种常见应用。
希望以上内容能够满足您关于C语言位运算最大最小值的需求。
函数的最大值和最小值的求解方法
函数的最大值和最小值的求解方法1.图像法：通过绘制函数的图像来估计最大值和最小值。
首先，通过计算函数的导数来确定函数的增减性。
然后，在函数的定义域内绘制函数的图像，并观察图像的走势。
函数在其图像上的最高点（最大值）和最低点（最小值）对应着函数的最大值和最小值。
2.导数法：通过计算函数的导数来确定函数的最大值和最小值。
对于函数f(x)，当f'(x)=0或f'(x)不存在时，f(x)可能取得极值。
因此，函数的最大值和最小值发生在导数为零或导数不存在的点上。
用一阶导数测试和二阶导数测试可以判断一个点是极大值还是极小值。
3.函数的端点：当函数在一个区间的一个或多个端点处定义时，此区间的端点可能是函数的最大值和最小值。
在确定端点的值后，通过计算函数在这些点上的函数值，可以判断哪个点是函数的最大值和最小值。
4.根的方法：对于函数f(x)，要找出其最大值和最小值，首先需要找到所有满足f'(x)=0的x值，即函数f(x)的零点。
然后，在这些零点中找出所有满足f''(x)=0的x值，即函数f'(x)的零点。
在这些零点中找到的x值对应的f(x)值即为函数的最大值和最小值。
5. 化简方法：对于一些特殊形式的函数，可以通过化简来确定最大值和最小值。
比如，对于一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，可以通过求导或者用二次函数的顶点公式来确定函数的最大值和最小值。
需要注意的是，以上方法并非适用于所有的函数和问题。
对于复杂的函数和问题，可能需要使用其他更高级的方法，如微积分的高级理论和算法来求解函数的最大值和最小值。
同时，计算最大值和最小值时，也要注意函数的定义域和约束条件，避免出现错误的求解结果。
2.4最大值与最小值问题,优化的数学模型
解得x = 70 10 3 ,但 70 + 10 3 10, 20, 舍去.
3
3
由f(70 -10 13 ) = 280000 + 104000 13 ,
3
27
f(10) = 24000,f(20) = 16000, 比较可知当
x = 70 - 10 13 , V有最大值280000 + 104000 13 .
新课导入
极值问题广泛存在 于自然科学，工程技术， 国民经济，及社会生活 的各个层面，因而寻求 极值问题的解具有非常 重要的实际意义.
现在数学理论中有许多解决各种 极值问题（包括近似解）的非常深刻 的理论和成熟、优美的解法，但也还 有许多尚未解决的重要问题，同时现 代科学技术还在不断地提出新的迫切 需要解决的极值问题.
令函数G(x)=af(x)+bf(x)， 因为f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数， 则G(x)也是定义在R上的奇函数.
答案
由奇函数的对称性知，G(x)在 (-∞,0)上的最小值为：G(-x0) ，
G(-x0 ) = af(-x0)+bg(-x0) = -af(x0)-bg(x0) = -[af(x0)+bg(x0)] = -3
3.情感态度与价值观
使学生掌握最大值与最小值的求解 方法，养成科学严谨的态度.
教学重难点
1. 教学重点
最大值与最小值的求解方法， 以及具体应用.
2. 教学难点
最大值与最小值的求解方法.
定义：
设D为f(x)的定义域，如果存在 x0∈D，则称f(x)在D上的最大（小） 值，x0称为f(x)在D上的最大（小）值 点.
例3
若函数f(x)，g(x)都是定义在R 上的奇函数，若 F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞) 上的最大值为5，则F(x)在(-∞，0) 上的最小值为?
小学最大值与最小值
知识网络人们经常考虑有关“最”的问题，如最大、最小、最多、最少、最快、最慢等。
这类求最大值、最小值的问题是一类重要典型的问题，我们在实际生产和生活中经常遇到。
在本书的学习中我们经常要用到以下几个重要结论：（1）两个数的和一定，那么当这两个数的差最小时，它们的积最大。
（2）三个数a、b、c，如果a+b+c一定，只有当a=b=c时，a×b×c的积才能最大。
（3）两个数的积一定，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。
（4）在所有周长相等的n边形中，以正n边形的面积最大。
（5）在周长相等的封闭平面图形中，以圆的面积为最大。
（6）在棱长的和一定的长方体中，以长、宽、高都相等的长方体，即正方体的体积最大。
（7）在所有表面积一定的几何体中，球体体积最大。
重点·难点本节所涉及的题型较多，但一般都要求根据一个不变量来确定另一变量的最大值或最小值。
如何根据题意，灵活运用不同的方法来求出表达式，再求最值，或直接求最值是本讲的重点。
这就要求我们不能太急于入手，不妨从一些比较简单的现象或数字开始，找出规律，进而解决问题。
学法指导解决本节问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：（1）从极端情形入手。
（2）枚举比较。
（3）分析推理。
（4）构造。
[例1]不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为多少？思路剖析两个最小的不同的奇合数为9和15，9+15=24，因此小于24的偶数都不能写成两个不同的奇合数之和。
下面我们只需要考虑大于24的偶数即可。
15后面的一个奇合数为21，9+21=30，所以比24大比30小的偶数也不能写成两个不同的奇合数之和。
32也不能，34=9+25，36=9+27，38不能，40=15+25，42=15=27，44=9+35，…此时初步确定不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为38。
解答根据以上分析，我们初步确定所求的最大偶数为38，下面我们给予证明。
比38大的个位为0的数（40，50，60，…），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：40=15+25，50=15+35，60=15+45，…比38大的个位为2的数（42，52，62，…），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：42=27+15，52=27+25，62=27+35，…比38大的个位为4的数（44，54，64，…），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：44=9+35，54=9+45，64+9+55，…比38大的个位为6的数（46，56，66，…），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：46=21+25，56=21+35，66=21=45，…比38大的个位为8的数（48，58，68，…），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：48=33+15，58=33+25，68=33+35，…这样就证明了比38大的任何一个偶数都可写成两个不同的奇合数之和。
高中数学知识点精讲精析 最大值,最小值问题
2.2 最大值，最小值问题1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,1．求函数593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值和最小值。
【解析】)3)(1(3963)(2-+=+-='x x x x x f令0)(='x f ，得3,121=-=x x ， 由于15)4(,3)2(,22)3(,10)1(-==--==-f f f f所以，)(x f 在在]4,2[-上的最大值是10)1(=-f ，最小值是22)3(-=f 。
2． 已知某商品的需求函数为x Q 1001000-=，从成本函数为Q C 31000+=。
函数的最大值和最小值的求解方法
0
,1
0,
2 x1 x2 2 2 x1 x2
∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)= •7 .
2 (2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立.
设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞), 则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是 增函数. ∴当x=1时，ymin=3+a, 于是当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立， 故a>-3. 探究提高 要注意函数思想在求函数值域中的运 用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函 数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分 离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立, 只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数 的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.
求导数得
f
'(x)
ax
ln
a
(x
3 1) 2
,
∵a>1,∴当x>-1时，axln
a>0,
3 (x 1)2
0,
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，
则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
探究提高 对于给出具体解析式的函数，判断或证明 其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步 骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函 数则可以利用导数解之.
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。
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最大值和最小值问题的解法摘要：最大(小)值问题是数学中常遇到的问题,在初等数学和高等数学中有广泛的应用.本文是讨论最值问题的若干解法并总结出解这类问题的一些规律. 关键词：最大(小)值、判别式、有界性、单调性、不等式。
引言最大值和最小值的问题是生产、科学研究和日常生活中会遇到的一类问题。
函数最值问题的求法较多，但总的来说，求函数最值的常用方法和函数值域的常用方法是相同的。
事实上，如果在函数的值域中存在一个最大（小）数，这个数就是函数的最（小）值。
下面来谈一下几种基本的方法： 一、 利用导数求函数的最值：若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,则()x f 在[]b a ,上有最大值与最小值. 对可导函数来说,若()x f 在区间I 内的一点χ取得最大(小)值,则在χ仅仅有0)(0/=χf(即χ0为f 的稳定点),而且为()x f 的一个极值点,一般而言,最大(小)值还可在区间端点或不可导点上取得.因此,求函数()x f 在区间I 上的最大(小)值的办法是:求出()x f 在I 上所有的稳定点、不可导点以及区间端点,根据题意判断函数在哪个点上可取得最大(小)值或直接比较这点的函数值以便进行判断.例一、 求函数f ()x x x x12223+-=在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,41上的最大值与最小值。
解：函数f 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,41上连续，故必存在最大值与最小值。
因为f ()[]()1292122223+-=+-=x x x x x x x=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-+--250),1292(041),1292(22x x x x x x x x所以=)(/χf⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--=+-<≤----=-+-250),2)(1(612186041),2)(1(61218622x x x x x x x x xx 函数f 在x=0时不可导，由于.0)2(,0)1(//==ff故x=1,x=2为f 的稳定点，现在比较函数在稳定点、不可导点及区间端点的函数,可见x=0,x=1,x=2为f 的极小值点。
x=1为极大值点。
由于5)25(,4)2(,5)1(,0)0(,32115)41(=====-f f f f f .所以，函数f 在x=0处取得最小值。
在x=1和x=25处都取得最大值5。
例二、 求函数15)(3455++-=x x xx f 在区间[]2,1-上的最大值与最小值。
解：函数f 在闭区间[]2,1-上连续，故必存在最大值与最小值。
因为)3)(1(515205)(2234/--=+-=x x x x xx x f由于)3(),1(),0(///fff都是0。
故3,1,0===x x x 都为f 的稳定点。
而3=x不在定义域内。
所以在定义域内的稳定点为.1,0==x x 现在计算函数稳定点及区间端点的函数值。
由于.7)2(,2)1(,10)1(-==-=-f f f所以f 在1-=x 处取得最小值-10。
在1=x 处取得最大2。
二、 利用配方法和函数的单调性解决最值问题：对于二次函数的最值问题的讨论，一般是利用配方法和根据二次函数的图象及单调性来进行讨论。
例三、已知1)(2-+=mx x f x 在区间[]1,1-内是单调减函数，（1） 求实数m 的取值范围；（2）求)(x f 在区间[]1,1-内的最小值；（3）若)(x f 在[])2(,4-≠-+m m m 内的最大值为9，求m 的值。
解：容易解得（1）2-≤m ；（2）2-≤m 时,0)1(,0)1(<=>-=-m f m f 存在[]1,10-∈x 有0)(0=x f 所以)(x f 的最小值为0；（3）因为f 在区间[]1,1-上是单调减函数。
所以)(x f 的最大值总在m x +=4或m -=χ或2mx -=处取到；又因为)(m f -=91<-;A 、由32151221)4(()4()3()4222-=++=-++=+++m m m m m m m f 得93(2)32=-+m ；满足条件。
B 、由914)2(2=--=-m mf 得24-=m 。
此时92487915122)4(2>-=++=+m m f m 不符合题意。
所以63--=m 。
例四、已知,1222=+y x 那么y x z 252+=的最小值——解：由1222=+y x知)1(2122x y-=其中≤-11≤x 代入z 并配方得102925)1(25252)52(222+-=-+=+=-x x yx x z 欲z 最小。
即52-x 应最大，由535257≤-≤-x 知当1-=x 时z 取得最小-2。
（此时0=y ） 一般情况下，涉及如c x bg x a x f g ++=)()()(2（其中a 、b 、c 为常数）我们可直接或间接利用配方法求解。
三、 利用函数有界性解决最值问题：例五、求函数3sin 2cos ++=θθy 的最大值和最小值。
解：由3sin 2cos ++=θθy 可得：2cos 3sin +=+θθy y即：y y32)sin(12-=++ϕθ（ϕ为辅助角，y1tan =ϕ） 这个关于θ的三角方程有解的条件是：11322≤+-yy解得：433433+≤≤-y 故原函数的最大值为433+，最小值为433-。
例六、求函数xxy cos 2sin 1++=的最大值和最小值。
解法一、将y 看成由点A ()x x sin ,cos 与点()1,2--决定的直线的斜率。
而A 是圆122=+yx 上的动点。
显然，y 的最大值与最小值在直线与圆相切时取到，于是，不难得到y 的最大值为34，最小值为0。
解法二、由=y xxcos 2sin 1++可得： x x y y sin 1cos 2+++即12)(sin 12-=-+y x x yϕ（ϕ为辅助角。
y =ϕtan ）所以关于x 三角方程有解条件是11122≤+-yy解得： 340≤≤y 所以原函数的最大值为34，最小值为0。
四、 用判别式法求解最值问题：例七、求434322+++-=x x y xx的最大值和最小值。
解：去分母，整理得：()()0)1(41312=-+++-y x y y x当1≠y 时，上式是x 的二次方程，因为x 是实数。
故判别式0≥∆ 即()[]()[]()()y y y y --=-=∆-+71714130≥解得，771≤≤y 当71=y 时，2=x ；当7=y 时，2-=x ； 由此知当2=x 时y 取得最小值71；x当2-=x 时，y 取得最大值7。
例八、已知直线l 过点)2,3(p ，且与x ,y 轴正半轴分别交于点A 、B ；求AOB ∆的面 积的最小值及此时l 的方程。
解：设A ()())0,0(,,,0,>>b a b o B a 则l 方程为1=+b y a x ，以点)2,3(p 代入得123=+ba 于是32-=a ab 所以3212-==a ab S a ()0>a去分母得;032=+-S Sa a 因为R a ∈，所以0S 0120S 2≥≥-≥∆又即S所以12≥S 即AOB ∆面积的最小值12。
在用判别式法求函数最值问题的过程中，“R a ∈“包含了两重要意义： A.a 是实数；B 、a 的取值范围是使32-≤a S a有意义。
即R a ∈，3≠a 而这里的32-a a中却为,3>a R a ∈故尽管2≥S但12未必是S 的最小值，只有令12=S 得3122-=a a解得4,6==b a 也就检验了12=S 能成立（这里4,6==b a ）才能得到S的最小值为12，此时直线方程为146=+yx 所以在用判别式法求最值时应注意最值能否真取到。
也即是否存在与最值相应的x 值。
五、 利用不等式法求最值问题：例九、求函数x x y 2sin sin 2=的最大值。
解：x x x x x y cos )cos 1)(cos 1(42sin sin 2-+===x x x cos )cos 22)(cos 1(2-+⎪⎭⎫⎝⎛+-++≤3cos cos)22()cos 1(3x x =2这里等号成立的条件是x x x cos cos 22cos 1=-=+显然无解所以2<y ，2不是函数的最大值。
为使“"≤中的“=”成立。
把函数代为x x x x x x ycos si n cos si n si n si n 24242221624===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤3cos 2sin sin22283x x x =⎪⎭⎫⎝⎛343所以398≤y 当且仅当x x cos sin 222=即2arctg x ±=κπ时等号成立。
所以y 的最大值为398例十、xx y 222163++=的最小值是-——解：xx y 222163++==xx 222162(3)+++()621623222-+++≥xx=638-当且仅当()xx 2221623+=+即当2334-±=x 时y 取得最小值为638- 上两例的求解都利用了“算术平均不小于几何平均”的结论。
当然为利用这些结论。
一般需要做一些技术上的准备。
也即“补项、折项、系数平恒”等等。
这里特别应意的是利用平均值不等式中等号成立的条件一定要满足。
六、 用换元法解决最值问题： 例十一、已知x 、y 、z R +∈且1321=++zy x 则132=++z y x 的最小值是——解：令1cos cos cos 222=++γβα（其中α、β、γ是长方体一对角线与相邻三棱所成的角） 因为x 、y 、z R +∈且1321=++zy x 所以不妨设 cb a a x22221++=，c b a b y 22222++=，cb ac z 22223++=（其中a 、b 、c 是长方体的长、宽、高）则ccb abcb aacb az y x 22222222222232++++++++=++=3+cb bc c a a c b a a b 222222222222+++++≥ 3+2+2+2=9所以原函数的最小值为9。
例十二、求函数x x y 212-+=的最大值和最小值。
解：令x 21-=t （)21,0≤≥x t所以 t x 212-=，于是45112122+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t y 45≤ 当21=t 即83=x 时取等号。
所以y 的最大值是45，无最小值。
七、用数形结合的方法来解函数的最值问题：例十三、已知422≤+y x ，且0≥x ，求14++x y 最大值和最小值。
解：不等式422≤+yx （0≥x ）的几何意义是如图所示的半圆域 设K =++14x y 知式子14++x y 表示半圆域上 的点()y x ,与点()4,1--连线的斜率易见当直线过点()2,0时有14++x y 最大值为6；当直线在切线位置时，K 的值最小。