右矩形求积公式-Read

7.2.1 Newton-Cotes求积公式
一、公式的推导 那么， x a, x b, x a jh, j 0,1,..., n; h b a 0 n j n 令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由 x [a, b]
n 设将积分区间[a,b]n等分，求积节点为 {xk }k ， 0
a b
要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式； ☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
问题 ☎ f(x)没有解析表达式，只有数表形式
e.g. ☎
x f(x)
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 e.g. 它们的原函数都不是初等函数.

1
0
e
x2
dx
，
(arctan x
定义１ 若对任意的 ， pn ( x) Pn [a, b] 求积公式(2)的误差都满足 R( , xn1 ) 0 ，则称 该求积公式具有n次代数精确度．
验证一个求积公式所具有的代数精确度用 定义１是极不方便的，为此给出另一个定义．
定义2
n 若对函数 f ( x) 1, x 2 , x3 ,..., x，
构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有 (i) 确定求积系数Ak和求积节点n；
(ii)
求积公式的误差估计和收敛性．
用什么标准来判定两个节点数相同的求积 公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确 度”的高低作为求积公式“好”与“差”的一 个标准．在后面的讨论中我们将看到，节点相 同的求积公式，代数精确度越高，求出的积分 近似值精确度一般越好．下面给出代数精确度 的定义．
Chapter 7
数值积分与数值微分
内容提纲（Outline)
求积公式的代数精度 插值型求积公式 复化求积法
为什么要数值积分？ Why do we do numerical integral? 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
I ( f ) f ( x)dx F (b) F (a)
Leabharlann Baidu
求积公式(2)精确成立，即 R( , f ) 0
n 1 而 R( , x ) 0 ，
则称其具有n次代数精确度．
2 3 n (1, x , x ,..., x )是 因为函数组
Pn [a, b] 的
一组基函数，所以两个定义是等价的，但在具体 应用时，定义2比定义1要方便的多．
例１
验证求积公式
R( , x ) 0 故求积公式具有三次代数精确度．
4
7.2 插值型求积公式
这一节所讨论的求积公式，都是用在区间[a, b]上对 被积函数f(x)作插值所得插值多项式Pn(x)代替被积 函数f(x)导出的公式．这一类求积公式的求积节点 xk，就是对f(x)作插值时的插值节点，所以这类求 积公式称为插值型求积公式． 为简便起见，这节讨论节点分布为等距并且 权函数 ( x) 时的插值型求积公式的构造等问题．
R( , x) 0
R( , x3 ) 0
ba ab I ( f ) I 3 ( f ) R( , f ) { f ( a) 4 f ( ) f (b)} R( , f ) 6 2 5 5 b a （1）当 f ( x) x 4时，I ( f ) 54 b a 4 ( a b) I3 ( f ) (a b4 ) I ( f ) 6 4
k 1
n
上式中xk，Ak分别称为求积节点、求积系数.求积 系数与被积函数 f(x) 无关 , 而与求积节点、求积 区间、权函数有关．称公式 (2) 为 n 点求积公式， 有时也称
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 1 n
R( , f ) 为 求 积 公 式 的 误 为一个n点求积公式， 差．用此公式)求积分近似值的计算称为数值积 分或数值微分．
有 R( ,1) 0
ba ab I ( f ) I 3 ( f ) R( , f ) { f ( a) 4 f ( ) f (b)} R( , f ) 6 2 b2 a 2 （1）当 f ( x) x时，I ( f ) 2 2 2
ba b a I3 ( f ) (a 2a 2b b) 6 2
3 3 b a （2）当 f ( x) x 2时，I ( f ) 3 3 3 ba 2 b a I3 ( f ) ( a ( a b) 2 b 2 ) 6 3 R( , x 2 ) 0 4 4 b a （3）当 f ( x) x3时，I ( f ) 4 3 b a 3 ( a b) b4 a 4 3 I3 ( f ) (a b ) 6 2 4
一般把积分区间n个点{xk}上的函数值f(xk)加权Ak 的和 n Ak f ( xk )
k 1
作为积分I(f)的近似,
即 或记
A
k 1
n
k
f ( xk ) I ( f )
n
I ( f ) Ak f ( xk ) R( , f )
k 1
(2)
I ( f ) Ak f ( xk ) R( , f )
ba ab I ( f ) I 3 ( f ) R( , f ) { f ( a) 4 f ( ) f (b)} R( , f ) 6 2
具有3次代数精确度．
解： 而 当 f ( x) 1时，I ( f ) a 1dx b a，
b
ba I3 ( f ) (1 4 1) (b a) 6
0
1
x)dx
求定积分就得通过近似计算－数值积分求得积分 近似值
基本思想是对被积函数进行近似，给出数值积分， 同时考虑近似精度。
下面首先给出代数精确度的概念
7.1 代数精确度
本章讨论的是形如
I ( f ) ( x) f ( x)dx
a b
的定积分的数值计算，其中 ( x)为权函数， 要满足5.4节中所提的条件.