多元微积分习题课01题目(多元函数极限、连续、可微及偏导)

习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）

一、累次极限0000lim lim (,),lim lim (,)x y y x f x y f x y →→→→与重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y → 1. 11sin sin ,0(,)0,0x y xy y x f x y xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩

（教材例1.3.9） 2. 22222230(,)00xy x y x y

f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩（教材例1.3.9，1.3.10） 3. 22

222(,)()

x y f x y x y x y =+- 定理：若00lim lim (,)x x y y f x y A →→=且00(,)(,)lim (,)x y x y f x y B →=，则A B =。

二、多元函数极限、连续

1. 求极限：

（1）

11(,)(1,0)lim ()x y x y x y x y +++-→+（教材例1.3.6）； （2）

22(,)(0,0)lim ()ln()x y x y x y →++； （3）(,)(0,0)sin()lim

x y xy x

→； （4）22

lim x y x y x xy y →∞→∞+-+ （教材习题1.3第2（2）题）； （5）22()lim ()e x y x y x y -+→+∞→+∞

+ （教材习题1.3第2（2）题）； （6）2

22(,)(,)lim

x x y xy x y →∞∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭（教材习题1.3第2（5）题） 2.（教材习题1。3第8题） 若f 在2¡上连续, 且

22lim (,)x y f x y +→+∞=+∞, 证明 函数f 在2

¡上一定有最小值点。

3.（教材例1。3。11）设f 在n ¡上连续，且

(1) ≠x 0时, ()0f >x ；

(2) 0,c ∀> ()()f c cf =x x 。

证明：存在0,0,a b >> 使()a f b ≤≤x x x 。 4. 若f 在(0,0)点的某个邻域内有定义，(0,0)0f =

，且(,)lim x y a →=。

证明：

（1）f 在(0,0)点连续；

（2）若1a ≠-，则f 在(0,0)点连续，但不可微；

（3）若1a =-，则f 在(0,0)点可微。

5.

讨论函数222222),0(,)0,0x y x y f x y x y ++≠=⎪+=⎩

在(0,0)点的连续性和可微性。

三、多元函数的全微分与偏导数

1. 有如下做法：

设(,)()(,)f x y x y x y φ=+其中(,)x y φ在(0,0)点连续, 则

d (,)(,)()(,)d (,)()(,)d f x y x y x y x y x x y x y x y y x y φφφφ⎡⎤∂∂⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦

。 令0,0x y ==, d (0,0)(0,0)(d d )f x y φ=+。

(1) 指出上述方法的错误；

(2) 写出正确的解法。

2. 设二元函数f 在2¡上可微，(,)a b 为平面2¡上给定的一点，求极限

0(,)(,)lim

x f a x b f a x b x

→+--。 3. 设函数(,)f x y 在(1,1)点可微，(1,1)1f =，(1,1)2f x

∂=∂，(1,1)3f y ∂=∂，()(,(,))g x f x f x x =，求(1)g '。 4. 设2

(,),y z f x y x =其中2f C ∈，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂。 5. 设(),z x y 定义在矩形区域(){},0,0D x y x a y b =≤≤≤≤上的可微函数。证明:

（1）()()(),,,

0z z x y f y x y D x ∂=⇔∀∈≡∂； （2）()()()()2,,,0z z x y f x g y x y D x y

∂=+⇔∀∈≡∂∂ 6. 设n 为整数，若任意0,t >(,)(,)n f tx ty t f x y =，则称f 是n 次齐次函数。证明：(,)f x y 是零次齐次函数的充要条件是0f f x y x y

∂∂+=∂∂。（教材第一章总复习题12(2)） 7. 下列条件中 “(,)f x y 在00(,)x y 点可微,且全微分d 0f =”的充分条件、必要条件分别有哪些？

(A) 在点00(,)x y 两个偏导数0,0f f x y

∂∂==∂∂， (B)(,)f x y 在点00(,)x y

的全增量f ∆=

(C)(,)f x y 在点00(,)x y 的全增量22

f ∆= (D) (,)f x y 在点00(,)x y 的全增量22221()sin

f x y x y ∆=∆+∆∆+∆

8. 讨论(,)f x y 在(0,0)点的连续性、偏导数及其连续性、可微性。 9. 设arcsin x z y

=，求d z 。 10. 设arctan x y u x y

-=+，求d u 。 11. 设函数2

2cos ()2y z x =-，证明22220z z x y y ∂∂+=∂∂∂。 12. 设函数(2)xy z x y =+，求z x ∂∂及z y

∂∂。 13. 若函数()f u 有二阶导数，设函数1()()z f xy yf x y x

=++，求2z x y ∂∂∂。 14. 设函数arctan x y z x y +=-，求z x ∂∂，z y

∂∂，2z x y ∂∂∂。 15. 设2

(,),y z f x y x =其中2f C ∈，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂。 16. 设3(,)y z x f xy x

=，求,z z x y ∂∂∂∂。 17. 已知 11x y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，求d d y x

。 18. 设(,)f x y 定义在2¡上, 若它对x 连续,对y 的偏导数在2¡上有界, 证明(,)f x y 连续。（教材例1.4.8）