高等数学 第三章 第3节 高阶导数(中央财经大学)

( k −1)
n −k ′ ) = n ( n − 1)( n − 2) ⋯ ( n − k + 1) x
(1 ≤ k ≤ n )
注意, 当 k = n 时
( x n ) ( n ) = n (n − 1) (n − 2) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅1 = n ! 从而, 当 k ≥ n + 1 时, ( x n ) ( k ) = 0 .
d f ( x) d d f ( x) = , n n−1 dx dx dx
n−1
一个函数的导函数不一定再可导 , 也不一定连 续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数
f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导
数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为 f ( x ) ∈ C n ( I ) 或 f ( x ) ∈ C n . 如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
x (n)
x 的任何阶导数仍为 ex y = ex
=e
x
(n ∈ N )
例
求 y = ax 的各阶导数 .
解
y ' = a ln a
x x 2 ′ ′ ′ y ' ' = ( y ) = (a ln a ) = a (ln a )
x
⋯⋯⋯
y ( k ) = a x (ln a ) k
运用数学归纳法可得 (a )
π 79π 1 = C x sin ( x + 80 ⋅ ) + C80 ( 2 x ) sin ( x + ) 2 2 π 2 + C80 ⋅ 2 ⋅ sin ( x + 78 ⋅ ) 2
0 80 2
= x 2 sin x − 160 x cos x − 6320 sin x
(sin x )
( n)
综上所述：
(x )
n (k )
= n( n − 1) ⋯ (n − k + 1) x
n− k
(1 ≤ k ≤ n ) ( k ≥ n + 1)
( x n )(k ) = 0
例
多项式 Pn ( x) = a 0 x n + a1 x n −1 + ⋯ + a n −1 x + an 的高阶导数 .
解
π = sin( x + n ⋅ ) 2
( x 2 )′ = 2 x, ( x 2 )′′ = 2, ( x 2 ) ( n) = 0 ( n ≥ 3)
经济数学——微积分
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中央财经大学
f ( x ) ∈ C ( I ) 或 f ( x) ∈ C .
∞
∞
例
求幂函数 y = x , n ∈ Z 的高阶导数.
y ′ = ( x n )′ = n x n −1
n −1 n−2 ′ ′ ′ ′ ′ y = ( y ) = ( n x ) = n(n − 1) x
n
+
解
y′′′ = ( y′′)′ = n(n − 1)( n − 2) x n −3
n 阶导数的记号为:
f ( n ) ( x ), f
n
(n)
n n d f ( x ) d y ( n) y , , . n n dx dx
( x) = ( f
( n−1)
( x ))′,
y ( n ) = ( y ( n−1) )′,
d y d d y = , n n−1 dx dxdx
n n−1
=e
sin x
(cos x − sin x)
2
二阶导数经常遇到, 一定要掌握.
例
dx 1 d2 x y′′ 试从 = , 导出 =− 3 2 dy y dy y′
( y, y′ ≠ 0).
d2 x 解 y′ 与 y′′ 是 y 对 x 的导数 , 2 是 x 对 y 的导数. dy 由复合函数及反函数的求导法则 , 得
一般说来, 如果函数 f ( x) 的导函数 f ′( x) 仍然 可导, 则称 f ′( x) 的导数为原来函数 f ( x) 的二 阶导数 , 记为 f ′′( x ) = ( f ′( x ))′.
推而广之: 设 f ( x) 的 n − 1 阶导数存在, 它仍是 x 的函数,
若它可导, 则称它的导数为原来函 数的 n 阶导数.
经济数学——微积分
第三章 导数、微分、边 际与弹性
——高阶导数
中央财经大学
一. 高阶导数的概念
例
(sin x)′ = cos x,
(cos x)′ = − sin x,
是 sin x 连续求两次导数的结果 . 称为函数 sin x 的二阶导数, 记为 (sin x)′′ = ((sin x)′)′ = (cos x)′ = − sin x
d 2 x d dx d 1 = ( )= ( ) 2 dy dy dy dy y′
1 y′
d ( y ′) dy =− ( y′) 2
d ( y′) dx dx dy =− ( y′) 2
y′′ =− ( y′)3
2
高阶导数的运算法则 两个基本公式
设 f (x), g(x) 有直到 n 阶的导数, 则 (1) ( f ( x ) ± g ( x)) ( n ) = f ( n ) ( x ) ± g ( n) ( x) (2) 莱布尼兹公式
对多项式而言 , 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ;
n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ;
大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .
例
求 y = ex 的各阶导数 .
x ′ y =e
解
y′′ = ( y ′)′ = (e x )′ = e x
⋯⋯⋯ ( n) x y =e ⋯⋯⋯
(e )
y ' = a 0 nx
n −1
+ a1 ( n − 1) x
n−2
+ ⋯ + a n−1
y ' ' = a0 n(n − 1) x n − 2 + a1 (n − 1)(n − 2) x n −3 + ⋯ + 2a n− 2
………………
y
y
(n)
= a 0 ⋅ n!
=y
( n+2)
( n +1)
=⋯= 0
运用数学归纳法可以证得 (sin x )
(n )
π = sin( x + n ⋅ ) 2
(n ∈ Z )
+
类似地 , 可求得
( cos x )
(n)
π = cos( x + n ⋅ ) 2
(n ∈ Z )
+
例
y=e
sin x
, 求 y′′.
解
sin x ′ y = e cos x
sin x 2 sin x ′ ′ y = e cos x + e ( − sin x)
n
( f ( x) ⋅ g ( x)) ( n ) = ∑ Cnk f ( n −k ) ( x) g ( k ) ( x)
k=0
n! 其中 , C = . k !(n − k ) !
k n
例
设 y = x sin x , 求 y
2
(80 )
.
解 由莱布尼兹公式
y (80) = ( x 2 sin x) (80)
x ( n)
= a (lna)
x
n
(n ∈ Z )
+
例
求 y = sin x , y = cos x 的各阶导数.
y = sin x
解
看出结论没有�
π y′ = cos x = sin( x + 1⋅ ) 2
π y′′ = − sin x = sin( x + 2 ⋅ ) 2 π y′′′ = − cos x = sin( x + 3 ⋅ ) 2 π ( 4) y = sin x = sin( x + 4 ⋅ ) 2