2019-2020学年重庆市两江新区九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年重庆市两江新区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.
1．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）
2．（4分）观察下列图形，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．（4分）已知是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值是（）
A．﹣3B．3C．D．2
4．（4分）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（）
A．B．C．D．
5．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
6．（4分）关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（）
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C．y的值随x的值增大而减小
D．若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上
7．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：AB＝2：3，则△ADE和△ABC 的面积之比等于（）
A．2：3B．4：9C．4：5D．
8．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
9．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x＝3时，y＝0；
②3a+b＞0；
③﹣1≤a≤﹣；
④≤n≤4．
其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（4分）如图，已知AB是ʘO的直径，点P在B的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C．若⊙O的半径为6．BC＝9，则P A的长为（）
A．8B．4C．6D．5
11．（4分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）
A．（180+x﹣20）（50﹣）＝10890
B．（x﹣20）（50﹣）＝10890
C．x（50﹣）﹣50×20＝10890
D．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝10890
12．（4分）如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线y＝过点F，交AB于点E，连接EF．若，S△BEF＝4，则k的值为（）
A．6B．8C．12D．16
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）把答案填写在答题卡相应的位置上
13．（4分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣5与y轴的交点坐标为．
14．（4分）已知x＝1是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则方程的另一个根为．
15．（4分）若点A（a，b）在双曲线y＝上，则代数式ab﹣4的值为．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，以AB为直径的圆交BC于点D，求图中阴影部分的面积为．
17．（4分）从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是．
18．（4分）某公司生产一种饮料是由A，B两种原料液按一定比例配成，其中A原料液的原成本价为10元/千克，B原料液的原成本价为5元/千克，按原售价销售可以获得50%的利润率，由于物价上涨，现在A原料液每千克上涨20%，B原料液每千克上涨40%，配制后的饮料成本增加了，公司为了拓展市场，打算再投入现在成本的25%做广告宣传，如果要保证该种饮料的利润率不变，则这种饮料现在的售价应比原来的售价高元/千克．
三、解答题：（本大题7个小题，每题10分，共70分），解答时必须给出必要的演算过程或理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）解下列方程：
（1）x2﹣8x+1＝0（配方法）
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
20．（10分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；
（2）AE＝CE．
21．（10分）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．
（1）小红摸出标有数3的小球的概率是．
（2）请你用列表法或画树状图法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果．
（3）求点P（x，y）在函数y＝﹣x+5图象上的概率．
22．（10分）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于A，B两点，与x 轴，y轴分别交于C，D两点，tan∠DCO＝，过点A作AE⊥x轴于点E，若点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣4．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接ED，求△ADE的面积．
23．（10分）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为多少？
24．（10分）随着科学技术的不断进步，草莓的品种越来越多样化，某基地农户计划尝试购进牛奶草莓和巧克力草莓新品种共5000株，其中牛奶草莓成本每株5元，巧克力草莓成本每株8元．
（1）由于初次尝试该品种草莓种植，农户购进两种草莓品种的金额不得超过34000元，则牛奶草莓植株至少购进多少株？
（2）农户按（1）中牛奶草莓的最少进货量购进牛奶草莓巧克力草莓植株，经过几个月的精心培育，可收获草莓共计2500千克，农户在培育过程中共花费25000元．农户计划采用直接出售与生态采摘出售两种方式进行售卖，其中直接出售牛奶草莓的售价为每千克30元，直接出售巧克力草莓的售价为每千克40元，且两种草莓各出售了500千克．而生态采摘出售时，两种品种幕莓的采摘销售价格一样，且通过生态采摘把余下的草莓全部销售完，但采摘过程中会有0.6a%的损耗，其中生态采摘出售草莓的单价比直接出售巧克力草莓的单价还高3a%（0＜a ≤75），这样该农户经营草莓的总利润为65250元，求a的值．
25．（10分）如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90°，交⊙O于点D，连接BD．若AB＝6cm，AC＝2cm，记A，M两点间距离为xcm，B，D两点间的距离为ycm．
小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东探究的过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，补全表格：
x/cm00.250.47123456
y/cm 1.430.660 1.31 2.59 2.76 1.660
（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD＝AC时，AM的长度约为cm．
四、解答题：（本大题共1个小题，共8分）解答时都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+4，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由．
（2）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．
2019-2020学年重庆市两江新区九年级（上）期末数学试卷
试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.
1．解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．
故选：A．
2．解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．解：把x＝代入方程x2﹣2x+c＝0得（）2﹣2×+c＝0，
所以c＝6﹣3＝3．
故选：B．
4．解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，
所以黄区域所占的面积比例为＝，
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是，
故选：B．
5．解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠ABD＝55°，
∴∠DAB＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BCD＝∠DAB＝35°．
故选：C．
6．解：A、反比例函数y＝的图象是双曲线，正确，不符合题意；
B、因为2＞0，所以它的图象在第一、三象限，正确，不符合题意；
C、因为2＞0，所以它的图象在每一象限内，y的值随x的值增大而减小，错误，符合题意，；
D、因为点（a，b）在它的图象上，则k＝ab，所以点（b，a）也在它的图象上，正确，不符合题意；
故选：C．
7．解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝．
故选：B．
8．解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故选：B．
9．解：①由抛物线的对称性可知：
抛物线与x轴的另一交点横坐标为1×2﹣（﹣1）＝3，
即点B的坐标为（3，0），
∴当x＝3时，y＝0，①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
3a+b＝a＜0，②不正确；
③∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3．
令x＝﹣1，则有a﹣b+c＝0，
又∵b＝﹣2a，
∴3a＝﹣c，即﹣3≤3a≤﹣2，
解得：﹣1≤a≤﹣，③正确；
④∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），
∴n＝＝c﹣，
又∵b＝﹣2a，2≤c≤3，﹣1≤a≤﹣，
∴n＝c﹣a，≤n≤4，④正确．
综上可知：正确的结论为①③④．
故选：C．
10．解：连接DO，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°，
∵BC⊥PC，
∴∠C＝90°，
∴∠PDO＝∠C，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴，
设P A＝x，则，
解得：x＝6，
故P A＝6．
故选：C．
11．解：设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣）＝10890．
故选：B．
12．解：如图，过F作FC⊥OA于C，
∵，
∴OA＝3OC，BF＝2OC
∴若设F（m，n）
则OA＝3m，BF＝2m
∵S△BEF＝4
∴BE＝
则E（3m，n﹣）
∵E在双曲线y＝上
∴mn＝3m（n﹣）
∴mn＝6
即k＝6．
故选：A．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）把答案填写在答题卡相应的位置上13．解：把x＝0代入y＝﹣x2+2x﹣5，求得y＝﹣5，
则抛物线y＝﹣x2+2x﹣5与y轴的交点坐标为（0，﹣5）．故答案为（0，﹣5）．
14．解：把x＝1代入x2﹣3x+a＝0得：
12﹣3×1+a＝0，
解得：a＝2，
即原方程为：x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝2，x2＝1，
即方程的另一个根为：x＝2，
故答案为：x＝2．
15．解：∵点A（a，b）在双曲线y＝上，
∴3＝ab，
∴ab﹣4＝3﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．解：连接AD，
∵AB＝BC＝2，∠A＝90°，
∴∠C＝∠B＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD，
∴BD＝AD＝，
∴由BD，AD组成的两个弓形面积相等，
∴阴影部分的面积就等于△ABD的面积，
∴S△ABD＝AD•CD＝××＝1．
故答案为：1．
17．解：列表如下：
﹣2﹣112
﹣22﹣2﹣4
﹣12﹣1﹣2
1﹣2﹣12
2﹣4﹣22
由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于﹣4小于2的有6种结果，
∴积为大于﹣4小于2的概率为＝，
故答案为：．
18．解：设配制比例为1：x，由题意得：
10（1+20%）+5（1+40%）x＝（10+5x）（1+），
解得x＝4，
则原来每千克成本为：＝6（元），
原来每千克售价为：6×（1+50%）＝9（元），
此时每千克成本为：6×（1+）（1+25%）＝10（元），
此时每千克售价为：10×（1+50%）＝15（元），
则此时售价与原售价之差为：15﹣9＝6（元）．
故答案为：6．
三、解答题：（本大题7个小题，每题10分，共70分），解答时必须给出必要的演算过程或理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．解：（1）∵x2﹣8x＝﹣1，
∴x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15，
则x﹣4＝±，
∴x＝4±；
（2）∵3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（3x+2）＝0，
则x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得：x＝1或x＝﹣．
20．证明（1）∵AB＝CD，
∴＝，即+＝+，
∴＝；
（2）∵＝，
∴AD＝BC，
又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
21．解：（1）小红摸出标有数3的小球的概率是；
故答案为；
（2）画树状图为：
由列表或画树状图可知，P点的坐标可能是（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3），
（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）共12种情况，
（3）共有12种可能的结果，其中在函数y＝﹣x+5的图象上的有4种，即（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）所以点P（x，y）在函数y＝﹣x+5图象上的概率＝＝．
22．解：（1）∵AE⊥x轴于点E，点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣4，
∴OE＝4，OC＝2，
∵Rt△COD中，tan∠DCO＝，
∴OD＝3，
∴A（﹣4，3），
∴D（0，﹣3），C（﹣2，0），
∵直线y＝ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣3，
把点A的坐标（﹣4，3）代入，可得
3＝，解得k＝﹣12，
∴A（﹣2，3），
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）S△ADE＝S△ACE+S△DCE＝EC•AE+EC•OD＝×2×3+＝6．
23．解：设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，
则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米，
24．解：（1）设购进牛奶草莓植株x株，则购进巧克力草莓植株（5000﹣x）株，
根据题意得：5x+8（5000﹣x）≤34000，
解得：x≥2000．
答：牛奶草莓植株至少购进2000株．
（2）根据题意得：500×（30+40）+（2500﹣500﹣500）（1﹣0.6a%）×40（1+3a%）﹣25000﹣34000＝65250，令m＝a%，则原方程可整理得：48m2﹣64m+13＝0，
解得：m1＝，m2＝，
∴a1＝25，a2＝（不合题意，舍去）．
答：a的值为25．
25．解：（1）描出后图象后，x＝4时，测得y＝2.41（答案不唯一），
故答案是2.41；
（2）图象如下图所示：
当x＝4时，测量得：y＝2.41；
（3）当BD＝AC时，y＝2，
即图中点A、B的位置，
从图中测量可得：x A＝1.38，x B＝4.62，
故：答案为：1.38或4.62（本题答案不唯一）．
四、解答题：（本大题共1个小题，共8分）解答时都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．解：（1）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4）（0＜x＜8），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D 的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．
∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S△PBC＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．
∵﹣1＜0，
∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．
∵0＜x＜8，
∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．
（2）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），
∴MN＝|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|＝|﹣m2+2m|．
又∵MN＝3，
∴|﹣m2+2m|＝3．
当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3＝0，
解得：m1＝2，m2＝6，
∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；
当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3＝0，
解得：m3＝4﹣2，m4＝4+2，
∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．
综上所述：M点的坐标为（4﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，﹣﹣1）．。