复旦固体物理讲义-21专题三：固体磁性
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0 E E2
U K 3 K1 U K 3 K 2 E 30 E U K 3 K 4
U K 2 K 3 U K 2 K 4
U K 4 K1 U K 4 K 2 0 U K 4 K 3 0 E4 E
i K j K i r
• 其中势能的傅立叶分量
http://10.107.0.68/~jgche/
固体磁性
14
磁畴、磁化曲线和磁滞回线
• 自发磁化出现在大块磁体的微小区域内——磁 畴
* 未加外磁场时，各磁畴的自发磁化矢量并不在同一 方向上，但合成的总磁化强度为零 * 外加磁场后，磁畴重新取向，导致了磁化 磁化曲线 磁滞回线 使所有磁畴在一个方向时，磁饱和
固体磁性
16
自由原子的磁矩有三个来源
http://10.107.0.68/~jgche/
Hund定则和交换作用
• 如果未满壳层电子的总轨道角动量、总自旋 角动量和总角动量分别为L、S和J， Hund定 则是，基态时
1. 取Pauli原理允许的S最大 2. 满足1时，取L最大 3. 电子少于满壳层的一半时，取J=|L-S|；电子大于 等于满壳层的一半时，取J=|L+S|
U K j K i U x , y e
dr
• 如果将U(r)展开，成 2 y 2 x U r 4U cos cos a a U e i b 1 r e ib 1 r e i b 2 r e ib 2 r
http://10.107.0.68/~jgche/ U e 1 2
i b b
r
i b 1 b 2 r b 2 r e 固体磁性 e i b 1 b 2 r e i b 1 9
• 那么，只有当Kj-Ki为如前的{b1,b2}组合时，才 不为零 0
http://10.107.0.68/~jgche/ 固体磁性
18Biblioteka Baidu
• 加磁场后，电子自旋顺着磁场方向平移
* 与磁场方向相反的电子自旋能量高，磁矩反转，填 到另一自旋方向的能级上，平衡时，两个自旋方向 的费米能级一致 2 M • 反转电子数约 B Bg ( EF ) / 2 总磁矩变化 B g ( EF ) B
固体磁性
3
http://10.107.0.68/~jgche/
相关要点
• 布里渊区
* 确定倒格子基矢，画倒格点 * 选某一倒格点作为原点，做近邻倒格点的中垂面 （线），还需检查所围成的区域是否正好与原胞体 积（面积）成倒数的关系（另有(2\pi)**维数的因 子）
• 费米面作图要领
* 费米面跨越边界性质
固体磁性
12
1、固体磁性分类——弱磁性
• 顺磁性：χ~ 10-4~ 10-7
B 0 H M M H
* 无外磁场时，原子磁矩无规取向，有外场诱导，磁 场方向的磁矩数目增加，导致较小的磁化强度M。 C 与温度成反比 T • 逆(抗)磁性： χ<0, ~10-4~ 10-7 * 常被比它大一两个量级的顺磁性所掩盖，来源于内 层电子绕核运动磁矩，故受外场影响变化，感应， 逆向
• 可解得 • 简并分裂为2U0，1~4和2~3的简并被打开，但 仍是俩两简并的 10
http://10.107.0.68/~jgche/ 固体磁性
E E0 U0
本讲要解决的问题及所涉相关概念
• 固体磁性
* 固体磁性分类
• 自发磁化的微观机理
* 原子自发磁矩产生的物理原因 自旋磁矩占主，主要来源于电子交换相互作用
http://10.107.0.68/~jgche/
固体磁性
6
解答
π/a
K3 M
K4
• M点是三个边界面(10), (01), (11)的 交点，自由电子的4度简并能量
2 2 0 . 5 , 0 . 5 , K 1 0 , K 2 1, 0 KM a a 2 0 ,1, K 4 2 1,1 K3 a a
* 传导电子具有顺磁性，其值大多大于传导电子的抗 磁磁化率的数值 * 来源于传导电子的自旋磁矩：即在磁场作用下，自 旋向上和向下的电子具有不同的能量，热平衡后， 不同自旋的电子数量不同，导致自旋极化——顺磁 性Pauli自旋极化顺磁性 自旋向上和向下分布不同交换劈裂
• 固体时，磁性机理与传导电子顺磁性的机理相 似——能带模型
• 简并微扰，用它们组成尝试波函数
C 1 1 C 2 2 C 3 3 C 4 4
• 代入Schroedinger方程
2 2 2 m U r E 0
• 分别用这4个平面波左乘后积分，即可得
2 2 k K E ij U K j K i i 2m j 1
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固体磁性
4
解答
2 D正方格子第二布里渊区边界
2N kF 2 A a
• 如果原子间具有非常强的相互作用则可能全部 填在第一、二布里渊区；反之，如果原子间只 有非常弱的相互作用，则不可能。
* 因为，如果相互作用非常弱，可作为近自由电子处 理。这时电子将填充成费米圆。计算费米波矢，如 上式。当N=4，A=a2时，费米波矢超出第二布里渊 区，所以，相互作用很弱时，不可能全填在第一、 二布里渊区；如果相互作用非常强，形成很大的能 隙，电子首先填充在该能隙以下的能带，如果上一 级能带的底部远大于第二布里渊区顶角所对应的能 量，则电子全部填充在第一、二布里渊区内：第 一、二布里渊区面积正好等于费米圆面积，即电子 2 所需填充的状态数。
2 k K i 2 E i0 2m 2 0 0 0 E 30 E 4 K2 E 10 E 2 E M 2m
π/a
K2
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固体磁性
7
• 4个平面波为
1 e i k K
1
r
, 2 e i k K 2 r , 3 e i k K 3 r , 4 e i k K 4 r
•
固体时，类似于第1条。比如，第1个电子先 填充最低的轨道，第2个电子填充取决于能级 差与交换能的大小关系交换模型
http://10.107.0.68/~jgche/
E Eex
Eex 2 Aij S i S i
17
固体磁性
3、磁性来源——传导电子的顺磁性
• 实验事实：顺磁性金属磁化率不随温度变化， 而多数抗磁性金属的抗磁磁化率小于其正离子 的抗磁磁化率
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固体磁性
15
2、磁性来源——原子磁矩
• • 磁性是量子效应
* 1. 2. 3. * * * * 电子的交换作用 电子自旋磁矩 电子轨道磁矩(即绕核运动) 外加磁场感应的轨道磁矩的改变 另外，还有原子核磁矩，非常小，1/2000，可忽略 前两个是顺磁性的来源 后一个是抗磁性的来源 满壳层电子的总轨道角动量和总自旋角动量都为 零，所以对原子磁矩没有贡献
k F 2 2 2
a
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5
习题：
15. （书中3.2题）设有二维正方晶格，其晶格势 场 2x 2y U x, y 4U cos cos a a 按弱周期性势场处理，求出布里渊区边界顶 角处（π/a，π/a）的能隙宽度。这里U是常 数。
• 铁磁性：χ~100~ 105
C T TC
* 典型的有Fe，Co，Ni等，易饱和 * 温度高于TC时呈顺磁性，低于TC时原子磁矩平行排 列，或者说能带中正负自旋的电子数不等，来自于 自发磁化（无外磁场的磁化）
• 亚铁磁性： χ~ 100~ 105
* 一般是合金，典型如铁氧体Fe3O4，易饱和 * 温度高于TC时呈顺磁性，低于TC时原子磁矩反平行 排列，但由于不同原子磁矩大小不一，所以总磁矩 不为零。亦属自发磁化
2 g ( EF ) 与温度无关 • 磁化率 0 M / B 0 B
E EF μ B B
E
E EF
g↓(E)/2
g ↑(E)/2
g↓(E)/2
g ↑(E)/2
g↓(E)/2
g ↑(E)/2
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固体磁性
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4、固体中离子和电子的磁性
http://10.107.0.68/~jgche/ 固体磁性
20
5、分子场理论
• 分子场就象外磁场，使微观原子磁矩有序排列
* 在居里温度以下，分子场与原子（或电子）磁矩的相 互作用大于热运动，导致自发磁化 * 自发磁化发生在许多微小的区域中，称为磁畴，在不 同方向，宏观磁化强度为其矢量和
4
C j 0
8
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固体磁性
• 如U=0，就是零级近似，即自由电子的解，简并 • 现在，U不为零，有解的条件是
E 10 E U K1 K 2 U K K 1 3 U K K 1 4 U K 2 K1
• 61%正确回答
http://10.107.0.68/~jgche/ 固体磁性
2
涉及要点
1. 如何确定费米圆半径（零温度时的费米能 级，自由电子气体的内容）？ 2. 如何确定布里渊区（晶体结构、能带理论的 内容）？ 3. 如何填充能带？（能带理论的内容）
* 从B区形状来说，有点意思。因为按自由电子费米 面，靠近B区边界时，从内部向边界时，向外突 出，过边界后，向内收缩。所以，乍一看，好象 不可能。但是实际上，如果计算B区内状态数就可 知，第一、二B区内所有的状态恰好够填充 首先是一条能带可填多少电子。两个电子。所 以，如果第二和第三能带之间有gap，就可以
E1 E 0 0 0 E2 E -U 0 0 0 U0 0 -U 0 -U 0 E 30 E 0 0 0 0 0 E4 E
• 这个4X4矩阵可以改写为两个2X2的对角矩 阵，因为实际上零级能量是相同的，即简并
E0 E U0 U0 0 E0 E
• 形成固体后，电子处于离子产生的晶体场中
* 电子态会发生变化，使电子轨道发生变化 * 沿晶体场对称性方向，轨道量子化—— 轨道磁矩对总磁矩贡献减少甚至消失——淬灭 磁各向异性
• 未满壳层的d和f电子，过渡族的d电子和轻锕 族的f电子介于局域电子和共有电子之间
* 局域电子：局域电子行为接近于孤立原子中的电子 * 共有电子：过渡族中的d电子、轻锕族中的f电子也 有共有化倾向，在费米面附近，与共有化的s电子互 相交迭——与孤立原子中的有明显差别 * 电子交换作用影响磁性——过渡族和稀土族的磁性
上讲回顾
• 费米面
* 自由电子费米面 * 近自由电子费米面，畸变
• 能量态密度
* 边缘畸变与态密度关系 * van Hove奇点
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固体磁性
1
课堂练习
• 四价原子构成二维正方形格子。有没有可能所 有电子全部填在第一和第二布里渊区？什么情 况下可能？什么情况下不可能？为什么？
http://10.107.0.68/~jgche/
固体磁性
11
第21讲、专题三，固体磁性
1. 固体磁性分类 2. 磁性来源——原子磁矩 3. 磁性来源——传导电子顺磁性 4. 5. 6. 7. 固体中离子和电子的磁性 分子场理论 交换作用模型 能带模型
http://10.107.0.68/~jgche/
• 反铁磁性：χ~ 10-4~ 10-5，属磁有序弱磁性
* 过渡金属氧化物合金如MnO，CrO，CoO等 * 温度高于Tn时呈顺磁性，温度低于TN时，原子磁矩 反平行排列，互相抵消，总磁矩为零 C 13 http://10.107.0.68/~jgche/ 固体磁性 T TN
固体磁性分类——强磁性
U K 3 K1 U K 3 K 2 E 30 E U K 3 K 4
U K 2 K 3 U K 2 K 4
U K 4 K1 U K 4 K 2 0 U K 4 K 3 0 E4 E
i K j K i r
• 其中势能的傅立叶分量
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固体磁性
14
磁畴、磁化曲线和磁滞回线
• 自发磁化出现在大块磁体的微小区域内——磁 畴
* 未加外磁场时，各磁畴的自发磁化矢量并不在同一 方向上，但合成的总磁化强度为零 * 外加磁场后，磁畴重新取向，导致了磁化 磁化曲线 磁滞回线 使所有磁畴在一个方向时，磁饱和
固体磁性
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自由原子的磁矩有三个来源
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Hund定则和交换作用
• 如果未满壳层电子的总轨道角动量、总自旋 角动量和总角动量分别为L、S和J， Hund定 则是，基态时
1. 取Pauli原理允许的S最大 2. 满足1时，取L最大 3. 电子少于满壳层的一半时，取J=|L-S|；电子大于 等于满壳层的一半时，取J=|L+S|
U K j K i U x , y e
dr
• 如果将U(r)展开，成 2 y 2 x U r 4U cos cos a a U e i b 1 r e ib 1 r e i b 2 r e ib 2 r
http://10.107.0.68/~jgche/ U e 1 2
i b b
r
i b 1 b 2 r b 2 r e 固体磁性 e i b 1 b 2 r e i b 1 9
• 那么，只有当Kj-Ki为如前的{b1,b2}组合时，才 不为零 0
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• 加磁场后，电子自旋顺着磁场方向平移
* 与磁场方向相反的电子自旋能量高，磁矩反转，填 到另一自旋方向的能级上，平衡时，两个自旋方向 的费米能级一致 2 M • 反转电子数约 B Bg ( EF ) / 2 总磁矩变化 B g ( EF ) B
固体磁性
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相关要点
• 布里渊区
* 确定倒格子基矢，画倒格点 * 选某一倒格点作为原点，做近邻倒格点的中垂面 （线），还需检查所围成的区域是否正好与原胞体 积（面积）成倒数的关系（另有(2\pi)**维数的因 子）
• 费米面作图要领
* 费米面跨越边界性质
固体磁性
12
1、固体磁性分类——弱磁性
• 顺磁性：χ~ 10-4~ 10-7
B 0 H M M H
* 无外磁场时，原子磁矩无规取向，有外场诱导，磁 场方向的磁矩数目增加，导致较小的磁化强度M。 C 与温度成反比 T • 逆(抗)磁性： χ<0, ~10-4~ 10-7 * 常被比它大一两个量级的顺磁性所掩盖，来源于内 层电子绕核运动磁矩，故受外场影响变化，感应， 逆向
• 可解得 • 简并分裂为2U0，1~4和2~3的简并被打开，但 仍是俩两简并的 10
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E E0 U0
本讲要解决的问题及所涉相关概念
• 固体磁性
* 固体磁性分类
• 自发磁化的微观机理
* 原子自发磁矩产生的物理原因 自旋磁矩占主，主要来源于电子交换相互作用
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固体磁性
6
解答
π/a
K3 M
K4
• M点是三个边界面(10), (01), (11)的 交点，自由电子的4度简并能量
2 2 0 . 5 , 0 . 5 , K 1 0 , K 2 1, 0 KM a a 2 0 ,1, K 4 2 1,1 K3 a a
* 传导电子具有顺磁性，其值大多大于传导电子的抗 磁磁化率的数值 * 来源于传导电子的自旋磁矩：即在磁场作用下，自 旋向上和向下的电子具有不同的能量，热平衡后， 不同自旋的电子数量不同，导致自旋极化——顺磁 性Pauli自旋极化顺磁性 自旋向上和向下分布不同交换劈裂
• 固体时，磁性机理与传导电子顺磁性的机理相 似——能带模型
• 简并微扰，用它们组成尝试波函数
C 1 1 C 2 2 C 3 3 C 4 4
• 代入Schroedinger方程
2 2 2 m U r E 0
• 分别用这4个平面波左乘后积分，即可得
2 2 k K E ij U K j K i i 2m j 1
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固体磁性
4
解答
2 D正方格子第二布里渊区边界
2N kF 2 A a
• 如果原子间具有非常强的相互作用则可能全部 填在第一、二布里渊区；反之，如果原子间只 有非常弱的相互作用，则不可能。
* 因为，如果相互作用非常弱，可作为近自由电子处 理。这时电子将填充成费米圆。计算费米波矢，如 上式。当N=4，A=a2时，费米波矢超出第二布里渊 区，所以，相互作用很弱时，不可能全填在第一、 二布里渊区；如果相互作用非常强，形成很大的能 隙，电子首先填充在该能隙以下的能带，如果上一 级能带的底部远大于第二布里渊区顶角所对应的能 量，则电子全部填充在第一、二布里渊区内：第 一、二布里渊区面积正好等于费米圆面积，即电子 2 所需填充的状态数。
2 k K i 2 E i0 2m 2 0 0 0 E 30 E 4 K2 E 10 E 2 E M 2m
π/a
K2
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固体磁性
7
• 4个平面波为
1 e i k K
1
r
, 2 e i k K 2 r , 3 e i k K 3 r , 4 e i k K 4 r
•
固体时，类似于第1条。比如，第1个电子先 填充最低的轨道，第2个电子填充取决于能级 差与交换能的大小关系交换模型
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E Eex
Eex 2 Aij S i S i
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固体磁性
3、磁性来源——传导电子的顺磁性
• 实验事实：顺磁性金属磁化率不随温度变化， 而多数抗磁性金属的抗磁磁化率小于其正离子 的抗磁磁化率
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2、磁性来源——原子磁矩
• • 磁性是量子效应
* 1. 2. 3. * * * * 电子的交换作用 电子自旋磁矩 电子轨道磁矩(即绕核运动) 外加磁场感应的轨道磁矩的改变 另外，还有原子核磁矩，非常小，1/2000，可忽略 前两个是顺磁性的来源 后一个是抗磁性的来源 满壳层电子的总轨道角动量和总自旋角动量都为 零，所以对原子磁矩没有贡献
k F 2 2 2
a
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5
习题：
15. （书中3.2题）设有二维正方晶格，其晶格势 场 2x 2y U x, y 4U cos cos a a 按弱周期性势场处理，求出布里渊区边界顶 角处（π/a，π/a）的能隙宽度。这里U是常 数。
• 铁磁性：χ~100~ 105
C T TC
* 典型的有Fe，Co，Ni等，易饱和 * 温度高于TC时呈顺磁性，低于TC时原子磁矩平行排 列，或者说能带中正负自旋的电子数不等，来自于 自发磁化（无外磁场的磁化）
• 亚铁磁性： χ~ 100~ 105
* 一般是合金，典型如铁氧体Fe3O4，易饱和 * 温度高于TC时呈顺磁性，低于TC时原子磁矩反平行 排列，但由于不同原子磁矩大小不一，所以总磁矩 不为零。亦属自发磁化
2 g ( EF ) 与温度无关 • 磁化率 0 M / B 0 B
E EF μ B B
E
E EF
g↓(E)/2
g ↑(E)/2
g↓(E)/2
g ↑(E)/2
g↓(E)/2
g ↑(E)/2
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固体磁性
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4、固体中离子和电子的磁性
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20
5、分子场理论
• 分子场就象外磁场，使微观原子磁矩有序排列
* 在居里温度以下，分子场与原子（或电子）磁矩的相 互作用大于热运动，导致自发磁化 * 自发磁化发生在许多微小的区域中，称为磁畴，在不 同方向，宏观磁化强度为其矢量和
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C j 0
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固体磁性
• 如U=0，就是零级近似，即自由电子的解，简并 • 现在，U不为零，有解的条件是
E 10 E U K1 K 2 U K K 1 3 U K K 1 4 U K 2 K1
• 61%正确回答
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2
涉及要点
1. 如何确定费米圆半径（零温度时的费米能 级，自由电子气体的内容）？ 2. 如何确定布里渊区（晶体结构、能带理论的 内容）？ 3. 如何填充能带？（能带理论的内容）
* 从B区形状来说，有点意思。因为按自由电子费米 面，靠近B区边界时，从内部向边界时，向外突 出，过边界后，向内收缩。所以，乍一看，好象 不可能。但是实际上，如果计算B区内状态数就可 知，第一、二B区内所有的状态恰好够填充 首先是一条能带可填多少电子。两个电子。所 以，如果第二和第三能带之间有gap，就可以
E1 E 0 0 0 E2 E -U 0 0 0 U0 0 -U 0 -U 0 E 30 E 0 0 0 0 0 E4 E
• 这个4X4矩阵可以改写为两个2X2的对角矩 阵，因为实际上零级能量是相同的，即简并
E0 E U0 U0 0 E0 E
• 形成固体后，电子处于离子产生的晶体场中
* 电子态会发生变化，使电子轨道发生变化 * 沿晶体场对称性方向，轨道量子化—— 轨道磁矩对总磁矩贡献减少甚至消失——淬灭 磁各向异性
• 未满壳层的d和f电子，过渡族的d电子和轻锕 族的f电子介于局域电子和共有电子之间
* 局域电子：局域电子行为接近于孤立原子中的电子 * 共有电子：过渡族中的d电子、轻锕族中的f电子也 有共有化倾向，在费米面附近，与共有化的s电子互 相交迭——与孤立原子中的有明显差别 * 电子交换作用影响磁性——过渡族和稀土族的磁性
上讲回顾
• 费米面
* 自由电子费米面 * 近自由电子费米面，畸变
• 能量态密度
* 边缘畸变与态密度关系 * van Hove奇点
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1
课堂练习
• 四价原子构成二维正方形格子。有没有可能所 有电子全部填在第一和第二布里渊区？什么情 况下可能？什么情况下不可能？为什么？
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第21讲、专题三，固体磁性
1. 固体磁性分类 2. 磁性来源——原子磁矩 3. 磁性来源——传导电子顺磁性 4. 5. 6. 7. 固体中离子和电子的磁性 分子场理论 交换作用模型 能带模型
http://10.107.0.68/~jgche/
• 反铁磁性：χ~ 10-4~ 10-5，属磁有序弱磁性
* 过渡金属氧化物合金如MnO，CrO，CoO等 * 温度高于Tn时呈顺磁性，温度低于TN时，原子磁矩 反平行排列，互相抵消，总磁矩为零 C 13 http://10.107.0.68/~jgche/ 固体磁性 T TN
固体磁性分类——强磁性