用待定系数法求二次函数解析式(顶点式)

· · ·o B· · x -3 –2 –1 1 2 ·
A·
· -3 · D
-4
课
变式
堂
练
习
y
5 · · · · ·
. 已知抛物线的顶点为 A(-1，-4)，又知它与x 轴 的两个交点B、C间的距离 为4，求其解析式。 分析：先求出B、C两点 的坐标，然后选用顶点
C
· · ·o B· · x -3 –2 –1 1 2 · ·
y＝x2＋2x＋1
学习目标
能正确用待定系数法求形如： y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k 的二次函数解析式
根据下列所给图象特征，你能设出它所对应的函数解析式吗？
y
8
y
x
6
x
y ax
y
-15 -10
2
y ax k
2
4
y
2
-5
x
-2
5
x
y a(x h)
A(0,3)
2
B(2,1)
5
x
-2
1 2 1 x2 3 y y 2x 3 2
-4
-6
-8
6
探究三：如图所示，抛物线过点B(3,0)、C（1,-2），求此函数的解析式
4
解：设
-15
y a ( x 3)
-10 -5
2
y
2
∵过点C（1,-2）
2
B(3,0)
5
x
a(1 3) 2
20.3 用待定系数法求二次函数的解 析式
温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0)
说一说
说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标: y＝3x2
y= -2x2+3 y= - 4(x+3)2
1 y= 2 (x-2)2+1
2
B(4,1)
5
y 0.5( x 2) 3
2
-6
4a k 1 即 9a k 1.5 a 0.5 解得： k 3
x
C(-1,-1.5)
-2
-4
提高练习：
如图：求抛物线的解析式．
y
－1
O
3
x
（1,－4）
解：设抛物线的解析式为 y ax ∵ 过（-1,0）、（3,0）、（1,4）
代 ∵ 过点A（2,4） 解 ∴ 2k=4 K=2 定 ∴ y=2x
4
A
O
2
x
8
探究一：如图所示，抛物线过点B(2,2)，求此函数的解析式
6
解：设
y ax
2
-10
2
y
4
∵过点B（2,2）
2
B(2,2)
a 2 2
-15
-5
x
-2
5
1 a 2
1 2 y x 2
-4
-6
-8
8
6 探究二：如图所示，抛物线过点A（0,3）、B(2,1)，求此函数的解析式
2
-4
-6
8
6
2、如图所示，抛物线过点B（4,1）、C(-1,-1.5)，求此函数的解析式
解：设
y a ( x 2) k
2
4
y
x=2
∵过点B(4,1)、C（-1，-1.5)
2 a(4 2) k 1 ： 2 a ( 1 2 ) k 1.5 -10 -5
解：设 解：设
yy ax ax k3
22
y
4
∵过点 B （ 2,1 ）、 C （ 0 ， 3 ） ∵过点B（2,1） 2 22 a k 1 2 3 1 a 0 k 3
1 1 a a 解得： 2 2 k 3
-15 -10 -5
1 a 2 1 2 y ( x 3) 2
-2
C(1,-2)
-4
-6
-8
8
6
探究四：如图所示，抛物线过点B（2,-3）、wenku.baidu.com(0,-1)，求此函数的解析式
4
解：设
-10
y a ( x 2) 3
2
-5
y
2
∵过点C(0,1)
2
5
x
a(0 2) 3 1 1 a 2 1 y ( x 2) 2 3 2
1．准确设出函数解析式；【设】
2．找点代入解析式，列方程（组）；【代】 3．解方程（组），得出待定系数的值；【解】 4. 确定函数解析式．【定】
C(0,-1)
-2
B(2,-3)
-4
-6
-8
课
堂
练
习
y
5 · · · · ·
对称轴是x=-1, 变式 1. 已知抛物线的顶点为 D(-1，-4)，又经过点 函数值的最小值是 -4 C(2，5)，求其解析式。
C ·
分析：设抛物线的解析式为 顶点式：y a ( x 1) 2 4 ， 再根据C点坐标求出a的值。
A
· -3 ·
-4
式或交点式求解。
8
6
1、如图所示，抛物线过点A(1,2)、B(0,1)、C(3,-2)，求此函数的解析式
解：设
y a ( x 1) 2
2
-5
4
y
A(1,2) B(0,1)
5
2
∵过点B(0,1)
a(0 1) 2 2 1
x
a 1
-2
C(3,-2)
y ( x 1) 2
2
y a(x h) k
2
-4
猜一 猜
思考： 如果要求二次函数解析式y=ax2、
y=ax2+k、y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k 中的a、h、k，至少需要几个
点的坐标？
回顾：用待定系数法求函数的解析式 如图，正比例函数的图象经过A，求此正比例 y 函数的解析式.
设 解：设 y=kx
2
bx c，
a b c 0 9a 3b c 0 a b c 4
y
－1
O
3
x
解得
a 1 b 2 c 3
（1,－4）
所以，抛物线的解析式为 y x2 2x 3
小结：
用待定系数法求函数解析式的主要步骤：