高等数理逻辑 课程介绍

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f 是1 元函数符号. A: ] xy(f(x)=f(y) >x=y). B : ^ y] x( \ f(x)=y). □
谓词逻辑用于解决实际问题 初等几何是可判定的 初等几何的逻辑研究
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选定一阶语言 将平面几何命题表示为一阶语言算术语句 在实数范围内成立的算术语句 在实数范围内成立的算术语句的集合是可判定的
0重 1重 2重 3重
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描述问题的逻辑工具 常用的逻辑: 命题逻辑 谓词逻辑 多值逻辑 直觉主义逻辑 模态逻辑 时态逻辑 描述逻辑 二阶逻辑
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l 逻辑方法是求解问题的一种独特方法.
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抽象问题类的性质研究 使用不同的逻辑体系描述具体问题, 针对问题的求解, 需要关注以下 性质:
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高等数理逻辑
课程基本内容:
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常用的描述语言——朴素集合论
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集合 映射 等势 无限 可数 无限集合的应用 集合论假设
全部
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严格的描述语言——公理集合论
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集合论模型 公理的相容性及独立性 全集 正规公理 自然数集合与自然数 归纳法与递归定义 集合 { ochcp 0 ,{0} occcchccccp,{{0}} occcccccchccccccccp,{{{0}}} occcccccccccchccccccccccccp, l }.
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几何定理的机器证明 实闭域与计算机科学
形式化方法的局限性 数学的机械化 Peano 算术(PA)的公理: 给定一阶语言 L={0,1,+, $ ,=} , 也称为算术语言, PA 是指以下公 式的集合:
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] x(x+0=x) ] x(x$ 0=0) ] x(x+1=0) / ] xy(x+1=y+1 >x=y) ] xy(x+(y+1)=x+(y+1)) ] xy(x $ (y+1)=x $ y+x) 9x [] x( 9 >9 x ) >] x 9 . 其中9 是算术语言的任意公式 0 x+1
解答: 设定以下的命题变元:
根据对三个情形的约定可得语句 9 1 : (p1 ) r 3 ) [ (q 1 ) p3 ) [ (r 1 ) p 2 ). 根据无并列第一及第三可得语句 9 2 \ (p 1 [q 1 ) [\ (p 1 [ r 1 ) [\ (q1 [ r 1 ) [\ (p 3 [r 3 ). 根据对名次唯一性约定可得语句 9 3 \ (p 1 [p 2 ) [\ (p 1 [ p 3 ) [\ (p 2 [ p3 ) [\ (r 1 [ r 3 ). 所以问题可以被描述为: 91 [ 92[ 93 . 用真值表方法可以求得唯一赋值 v: v(q 1 )=v(p 2 )=v(r 3 )=1,v(p 1 )=v(p 3 )=v(r 1 )=0. 使得 v( 9 1 [ 9 2 [ 9 3 )=1 这表明从一到三的排名是:B,A,C. □ 命题逻辑计算复杂性分析
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指数复杂度 3SAT
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2SAT Horn 公式 l □
命题逻辑表达能力分析
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自然语言的语句. 考察自然语言的语句:
所有的人都是要死的, 苏格拉底是人, 所以,苏格拉底是要死的.
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自然语言语句的符号化. 用命题逻辑语句表示上述事实是困难的: p : 所有的人都是要死的 q : 苏格拉底是人. r : 苏格拉底是要死的 p,q X / r. 如何扩充命题逻辑语言以描述上述事实?
逻辑人生
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公孙龙 惠施 墨子 玄奘 王国维 王浩 张辰中 Euclid Aristoteles Descartes Contor Russell Kripke Turing Hilbert Gödel Tarski l □
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参考书目
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陆钟万 面向计算机科学的数理逻辑 科学出版社,2002 中国科学院研究生教学丛书 杜国平 经典逻辑与非经典逻辑基础 高等教育出版社, 2006 研究生教学用书 张锦文 公理集合论导引 科学出版社,1999 现代数学基础丛书 莫绍揆 递归论导论 现代数学基础丛书 科学出版社,1999 现代数学基础丛书 曾广兴 实域论 科学出版社 2004 数学机械化丛书 □
命题逻辑用于解决实际问题 考虑以下例子: 如何为 A,B,C 排名次, 使得分别为第一、第二、第三, 且以下每种情形中的两个条件正好一个成立:
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情形一: A 第一, C 第三 情形二: B 第一, A 第三 情形三: C 第一, A 第二 p 1 : A 第一. p 2 : A 第二. p 3 : A 第三. q 1 : B 第一. r 1 : C 第一. r3 : C 第三.
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命题逻辑的表达能力是较弱的.
可判定基本概念
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可计算函数:
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可判定的集合与半可判定的集合:
谓词逻辑的判定性质 谓词逻辑永真式的集合是半可判定的 谓词逻辑的一些公式集合是可判定的
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一目谓词逻辑的永真式的集合 线性算术系统之下的语句 实闭域的一阶理论 l
谓词逻辑表达能力分析 谓词逻辑语句不能描述无限集合. 性质:对于任意的语言 L ,不存在 L -语句 9 使得 MX 9 当且仅当 | M| 是无限的. □ 二阶语言的语句可以定义无限集合. 无限集合可以表示为以下二阶语句: ^ f(A[ B). 其中
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算法存在性: 可判定 半可判定 不可判定

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逻辑方法在计算机科学中的应用 将抽象问题类转换为具体问题, 从而实现问题求解: 自动定理证明 数据挖掘 模式识别 l
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逻辑应用 基于逻辑方法的问题求解过程: 实际问题 D D D 问题类 抽象算法 实际算法 形式描述 判定分析 实际经验 ※ □
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无限集合初步 公理集合论初步 自然数的逻辑理论
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命题逻辑完备性定理及紧致性 命题逻辑公理的独立性 可满足问题及相关判定算法 谓词逻辑的模型及无限模型 一目谓词逻辑的可判定性 非欧几何简介 实闭域的可判定性 谓词逻辑的完备性 谓词逻辑公理的独立性 可计算性及半可判定性 不完备性定理与非标准模型 直觉主义逻辑 模态逻辑 □
/ Th(< N,0,1,+, $ > ) . 性质: PA U / Goodstein定理. 性质: PA U Gödel 不完备性定理: Hilbert 第 10 问题: 结论: 以下问题是不可判定的:
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停机问题 初等函数恒等式是否成立. l
更多的逻辑理论及其在计算机科学中的应用 直觉主义逻辑 模态逻辑 时态逻辑 知识点
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数学分析中的 % - $ 语言语句. / $ 时, 对任意的 % > 0 , 存在 $ > 0 , 当 0=|x-a|< |f(x)-b|< % . □ 数学语句的符号化. “函数 f 在点 a 的极限是 b ”常被写为: ] % > 0 ^ $ > 0 ] x(0=|x-a|< / $ >|f(x)-b|< % ) . □