组合数学第1章排列与组合
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| s || si || s1 | | s2 | | s3 | 3 4 2 9
i 1 3
也就是说这位优胜者挑选奖品的方法共 有9种
。
计数的两条基本法则
乘法规则（乘法原理，乘法原则，积则）
若完成一件事可分为k个步骤，第1步有n1种方法，第2 步有n2种方法，…，第k步有nk种方法，各步骤需连续 完成才能完成这件事，则完成这件事的方法总数是 n1*n2*…*nk.
第1章 排列与组合
1.1 加法规则和乘法规则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式 习题1
研究排列问题的主要目的是求出根据已 知的条件所能作出的不同排列的种数.
线排列
分类
圆排列 重排列
线排列: 圆排列:
一些元素排成一条直线
一些元素排成一个圆圈
又由于ni个bi赋予上标1，2，…，ni 的办法有ni!种， 对于重集B的任一个全排列，都可以 产生集合A的n1!n2!…nk!个排列(由乘 法规则) 故 重 集 B 的 全 排 列 个 数 为 n!／ (n1!·n2!…nk!) 证毕。
四面红旗、三面蓝旗、二面黄旗、五面 绿旗可以组成多少由 14 面旗子组成的 一排彩旗?
定理1.3
重集B=｛∞·b1,∞·b2,…,∞·bn｝ r 的r排列的个数为 n
证明：选择r-排列的第一项，可以从n个元素中 任选一个. 有n种选法 第二项，由于可以重复选取，仍有n种选法. ...... r 由乘法规则可求得r排列的数目为 n .
定理1.4
重集B=｛n1·b1,n2·b2,…,nk·bk｝的 全排列个数为n!/(n1!· n2!…nk!)
n! r (n r )!
来自百度文库
n! 2r (n r )!
重排列
上面我们讨论了从集合A(A中的元素是互不相 定义 1-3 从重集 B=｛k1· b1,k2· b2,…,kn· bn｝中选取r 同的 ) 中选 r 个元素进行排列，在每种排列中 个元素按照一定的顺序排列起来，称这种 r 排列 每个元素至多只出现一次的情况 为重排列。 现在考虑元素允许重复出现的情况，即考虑 在重集 B=｛k1· a1,k2· a2,…,kn· an｝中选 r 个元素进行的 排列。
排 列 组 合
集合和重集
集合：A=｛a,b,c,d｝ 重集：集合中的元素可以重复. 如重集B=｛a,a,b,b,b,c,d,d,d,d,d｝则 有11个元素，2个a,3个b，1个c和5个d. B简记为B=｛2·a,3·b,1·c,5·d｝. 重集的一般形式为 B=｛k1· a1,k2· b2,…,kn· bn｝
证明： 将B中的ni个bi分别赋予上标1，2，…，ni，即
bi1, bi2 ,, bini (i 1,2,, k )
B=A=｛b11,b12,…,b1n1,…, bk1,bk2,…,bknk ｝.A 中元素个数为n＝n1+n2+…+nk 显然，集合A的全排列个数为n!.
定理1.4
解：这是一个重排列问题，它是求重集
｛ 4 ·红旗， 3 · 蓝旗， 2 ·黄旗， 5 ·绿旗｝ 的全排列的个数
由定理1.4知，组成一排彩旗的种数为 14!／(4!· 3!· 2!· 5!)
第1章 排列与组合
1.1 加法规则和乘法规则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式 习题1
例2 & 例3 两个规则同时用的例子……
例2
从A地到B地有两条不同的道路，从B地到C地 有四条不同的道路，而从C地到D地有三条不 同的道路。 求从A地经B、C两地到达D地的道路数。
两大类计数问题
1.计算事物的有序安排或有序选择数。 这又分为如下两种情况： a.不允许任何事物重复 b.允许事物重复 2.计算事物的无序安排或无序选择数。 这又分为如下两种情况： a.不允许任何事物重复 b.允许事物重复
加法规则（加法原理，加法原则，和则）
若完成一件事有k种不同的方案，第1种方案有n1种方 法，第2种方案有n2种方法，…，第k种方案有nk种方 法，所有方法均不相同，其中任何一种方法均可完成此 事，则完成这件事的方法总数是n1+n2+…+nk. 若集合S可以分解为互不相交子集S1，S2，…，Sm之和， 则确定S中的事物个数，可以先求出各子集Si中的事物 个数，然后相加。
例1
有一所学校给一名物理竞赛优胜者发奖， 奖品有三类： 第一类是三种不同版本的法汉词典；第二 类是四种不同类型的物理参考书；第三类 是两种不同的奖杯。这位优胜者只能挑选 一样奖品。那么，这位优胜者挑选奖品的 方法有多少？
例1
解：设S是所有这些奖品的集合，Si是第i类 奖品的集合(i=1,2,3) 。显然Si∩Sj=φ(i≠j)，于 是由加法规则有
第1章 排列与组合
1.1 加法规则和乘法规则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式 习题1
第1章 排列与组合
1.1 加法规则和乘法规则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式 习题1
计数的两条基本法则
排列计数公式
相异元素不允许重复的排列：从n个元素中取 出r个的排列数
P P(n, r ) n(n 1)
r n
n! (n r 1) (n r )!
相异元素允许重复的排列：从n个元素中取出r 个的排列数为
nr
排列计数公式（从n个元素中取出r个）
相异元素不允许重复 的圆排列数 相异元素不允许重复 的项链排列数
i 1 3
也就是说这位优胜者挑选奖品的方法共 有9种
。
计数的两条基本法则
乘法规则（乘法原理，乘法原则，积则）
若完成一件事可分为k个步骤，第1步有n1种方法，第2 步有n2种方法，…，第k步有nk种方法，各步骤需连续 完成才能完成这件事，则完成这件事的方法总数是 n1*n2*…*nk.
第1章 排列与组合
1.1 加法规则和乘法规则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式 习题1
研究排列问题的主要目的是求出根据已 知的条件所能作出的不同排列的种数.
线排列
分类
圆排列 重排列
线排列: 圆排列:
一些元素排成一条直线
一些元素排成一个圆圈
又由于ni个bi赋予上标1，2，…，ni 的办法有ni!种， 对于重集B的任一个全排列，都可以 产生集合A的n1!n2!…nk!个排列(由乘 法规则) 故 重 集 B 的 全 排 列 个 数 为 n!／ (n1!·n2!…nk!) 证毕。
四面红旗、三面蓝旗、二面黄旗、五面 绿旗可以组成多少由 14 面旗子组成的 一排彩旗?
定理1.3
重集B=｛∞·b1,∞·b2,…,∞·bn｝ r 的r排列的个数为 n
证明：选择r-排列的第一项，可以从n个元素中 任选一个. 有n种选法 第二项，由于可以重复选取，仍有n种选法. ...... r 由乘法规则可求得r排列的数目为 n .
定理1.4
重集B=｛n1·b1,n2·b2,…,nk·bk｝的 全排列个数为n!/(n1!· n2!…nk!)
n! r (n r )!
来自百度文库
n! 2r (n r )!
重排列
上面我们讨论了从集合A(A中的元素是互不相 定义 1-3 从重集 B=｛k1· b1,k2· b2,…,kn· bn｝中选取r 同的 ) 中选 r 个元素进行排列，在每种排列中 个元素按照一定的顺序排列起来，称这种 r 排列 每个元素至多只出现一次的情况 为重排列。 现在考虑元素允许重复出现的情况，即考虑 在重集 B=｛k1· a1,k2· a2,…,kn· an｝中选 r 个元素进行的 排列。
排 列 组 合
集合和重集
集合：A=｛a,b,c,d｝ 重集：集合中的元素可以重复. 如重集B=｛a,a,b,b,b,c,d,d,d,d,d｝则 有11个元素，2个a,3个b，1个c和5个d. B简记为B=｛2·a,3·b,1·c,5·d｝. 重集的一般形式为 B=｛k1· a1,k2· b2,…,kn· bn｝
证明： 将B中的ni个bi分别赋予上标1，2，…，ni，即
bi1, bi2 ,, bini (i 1,2,, k )
B=A=｛b11,b12,…,b1n1,…, bk1,bk2,…,bknk ｝.A 中元素个数为n＝n1+n2+…+nk 显然，集合A的全排列个数为n!.
定理1.4
解：这是一个重排列问题，它是求重集
｛ 4 ·红旗， 3 · 蓝旗， 2 ·黄旗， 5 ·绿旗｝ 的全排列的个数
由定理1.4知，组成一排彩旗的种数为 14!／(4!· 3!· 2!· 5!)
第1章 排列与组合
1.1 加法规则和乘法规则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式 习题1
例2 & 例3 两个规则同时用的例子……
例2
从A地到B地有两条不同的道路，从B地到C地 有四条不同的道路，而从C地到D地有三条不 同的道路。 求从A地经B、C两地到达D地的道路数。
两大类计数问题
1.计算事物的有序安排或有序选择数。 这又分为如下两种情况： a.不允许任何事物重复 b.允许事物重复 2.计算事物的无序安排或无序选择数。 这又分为如下两种情况： a.不允许任何事物重复 b.允许事物重复
加法规则（加法原理，加法原则，和则）
若完成一件事有k种不同的方案，第1种方案有n1种方 法，第2种方案有n2种方法，…，第k种方案有nk种方 法，所有方法均不相同，其中任何一种方法均可完成此 事，则完成这件事的方法总数是n1+n2+…+nk. 若集合S可以分解为互不相交子集S1，S2，…，Sm之和， 则确定S中的事物个数，可以先求出各子集Si中的事物 个数，然后相加。
例1
有一所学校给一名物理竞赛优胜者发奖， 奖品有三类： 第一类是三种不同版本的法汉词典；第二 类是四种不同类型的物理参考书；第三类 是两种不同的奖杯。这位优胜者只能挑选 一样奖品。那么，这位优胜者挑选奖品的 方法有多少？
例1
解：设S是所有这些奖品的集合，Si是第i类 奖品的集合(i=1,2,3) 。显然Si∩Sj=φ(i≠j)，于 是由加法规则有
第1章 排列与组合
1.1 加法规则和乘法规则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式 习题1
第1章 排列与组合
1.1 加法规则和乘法规则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式 习题1
计数的两条基本法则
排列计数公式
相异元素不允许重复的排列：从n个元素中取 出r个的排列数
P P(n, r ) n(n 1)
r n
n! (n r 1) (n r )!
相异元素允许重复的排列：从n个元素中取出r 个的排列数为
nr
排列计数公式（从n个元素中取出r个）
相异元素不允许重复 的圆排列数 相异元素不允许重复 的项链排列数