4-(1-2)简谐运动 振动能量 (1)

T
10
A 2
A cos(t π ) A 2
o
t
4 – 1 简谐运动 三、描述谐振动的物理量
1.振幅
第四章
机械振动
A xmax
A
x x t 图
T 2
T
2.周期、频率
x A cos(t ) A A cos[ (t T ) ]
周期
o
t
1 频率 T 2π 2π 圆频率 2π T
T
2π
弹簧振子周期
注意
T 2π
m k
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
11
4 – 1
3. 相位
简谐运动
第四章
机械振动
t
初相位

A
x
1）相位在 0 ~ 2π 内变化，
质点无相同的运动状态；
o
A
v
v
T 2
x t 图
v
T
t
相差 2nπ (n 为整数 )质点运动状态全同.（周期性） 2）初相位 (
简谐运动（直线、周期）最简单、最基本的振动. 简谐运动
合成 分解
复杂振动
3
谐振子 作简谐振动的物体.
方 波 的 分 解 图
O
方 波
（基频为v0）
O
v0 3v0 5v0
x1+ x3+ x5
4
O O
O
4 – 1
简谐运动 一、 模型
1.弹簧振子
第四章
机械振动
l0
k
x0 F 0
m
A
o
A
x
5
4 – 1
两边求导
dv d dx mv I kx 0 dt dt dt
27
4 – 1 式中
简谐运动
第四章
机械振动
dv d 2 x dx d 1 d2x v 2 , v, , 2 dt dt dt dt R dt R
d x I d x mv 2 2 v 2 kxv 0 dt R dt 2 2 d x k d x I ( ) x 0 ( m ) kx 0 2 2 2 I dt dt R m 2 R 与上结果相同
v
x0 A cos
2 0 2
0.14m
2 cos 2
4 故＝－ 4

或＝－

4
又 v0 0, sin 0
x 0.14 cos （8t－ ） 4

23
4 – 1
简谐运动
第四章
机械振动
例3：已知k，m；定滑轮I，R T2 T2’ 初始位置时弹簧无伸长，静止释放 求（1）m的运动为简谐振动 T1’ （2）振动周期（3）振动方程 T1 证明: （1）取物体、弹簧和圆盘为研究对象， mg 分析它们受力
准弹性势能:
（包括重力势能、弹性势能） 振动系统总能量
k
O
m
x
1 1 2 2 k ( x x0 ) kx 0 x kx 0 2 2
mg-kx0=0 x
1 2 kx 2
1 1 2 1 2 2 E Ek Ep mv kx kA 2 2 2
30
4 – 1
简谐运动
第四章
机械振动
注意： 只要以平衡位置为坐标原点和零势点
1 2 E p kx 2
注：从能量守恒导出简谐运动方程的思路，对研究非机械 运动十分重要，因为此时已不宜用受力分析的方法了！ 28
2
2
4 – 1
简谐运动
第四章
机械振动
竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 k
EP=0 x 0 mg-kx0=0
k m
O
k x
x
1 Ep k ( x x0 ) 2 mg ( x x0) ) 2 1 k ( x x0 ) 2 kx0 ( x x0 ) 2 1 2 1 2 kx kx0 2 2
0
第四章
机械振动

B
O
X
V
B
0
2
A
0
O
-vm
最低处时：
X=A, V=0;
0
再次到达平衡位置 X=0, V=-Vm; x
C
O

3 2
-A
0
0
vm
B
2
A
0
1 2
例： 一小球初始时用手托着，手一松，小球做简谐振动， 在最低处时，
?
再次到达平衡位置时，
?
14
4 – 1
简谐运动
机械振动
A 例1： 已知 t 0, xO , v0 0 求 2

A x0 A cos 2 1 cos 或 2 3 3
又v0 0sin 0
故 ＝

3
20
4 – 1
简谐运动
第四章
机械振动
例2; 将一弹簧振子竖直悬挂，已知弹簧的劲度系数为
x
T 2
o
T
o
A
t
18
4 – 1
简谐运动
第四章
机械振动
四、振动图像 同一质点在不同时刻的位移 x~t图
2 A, T , T
t＝0时：x0，
A
x
v
T 2
x t 图
v
T
o
A
t
v的方向看下时刻的x，
位移向x轴的正方向，v>0;
位移向x轴的负方向，v<0.
19
4 – 1
简谐运动
第四章
cos 1
2 x0

mg b k

26
mg x cos(t ) k
4 – 1
简谐运动
第四章
机械振动
二）用能量方法研究系统的运动 以弹簧的原长处为弹性势能和重力势能的零点
该系统的机械能守恒，则有
T2
T2’ T1’ T1 mg
1 2 1 2 1 2 mv I k ( x b) mg ( x b) mgb 2 2 2
平衡位置处：mg kb 0 位移x处： mg T1 ma
T1 ' R T2' R I
注：研究简谐运 动时,坐标原点 建立在平衡位置
T2 k ( x b)
a R
24
4 – 1
简谐运动
第四章
机械振动
d2 x k x0 2 I dt m 2 R
k 令 m I / R2
(t 0)
描述质点初始时刻的运动状态. 或 [0 2π] )
12
取 [ π π]
4 – 1
简谐运动
o
F
第四章
机械振动
m
x
x
X
C
0
B

B
O
0
2
X A 0
v 0 -Vm
x A cos
v A sin
C
O

3 2
-A
0
0
Vm
B
2
A
0
13
4 – 1
C
简谐运动
机械振动
F mg sin mg g 2 运动学方程 令 l 2 d 2 0 2
dt
振动方程
A
l
m
o
pt
pn
P
m cos( t )
5 时 , sin

F mg mat
d 2 ml ml 2 dt
k＝1.6Nm－1,弹簧下端挂一质量为m＝0.025kg的物体， 物体处于平衡状态，(1)若将物体下拉到x0＝0.10m处， 然后自由释放；(2)若将物体下拉到x0＝0.10m处,再给它 向下运动的初速度v0=0.8ms-1, 写出振动方程
注：研究简谐运 动时,坐标原点 建立在平衡位置
o
b
x
21
4 – 1
o
b
x
d x 2 x 0 x Acos(t ) 2 dt
2
22
4 – 1
简谐运动
A x
2 0 2 v0
第四章
机械振动
（1）t＝0 时， x0＝0.10m， vo =0
0
A x
2 0
x 0.1cos 8t
2
x0 0.1m
（2）t＝0 时， x0＝0.10m， vo =0.8ms-1

或－
C 0
第四章
机械振动
/2
3 1 或－ 2 2
0
2
B

B O C O B 0
2
X A 0 -A 0 A
V O -vm 0 vm 0

3 2
2
B O : X 0 V 0; 0 2 O C : X 0 V 0; 2 3 C O : X 0 V 0; 2 3 O B : X 0 V 0; 2 2
第二篇 机械振动 和机械波 第四章 机械振动
1
4 – 1
简谐运动
第四章
机械振动
4.1 简谐振动 4.2 谐振动的能量 4.3 谐振动的旋转矢量投影表示法 4.4 谐振动的合成
4.5 阻尼振动 受迫振动 共振
2
4 – 1
简谐运动
第四章
机械振动
任一物理量（位移、电流、场强、温度…）在某一 定值附近往复变化均称为振动. 机械振动 物体围绕一固定位置往复运动. 空间：运动形式有直线、非直线振动. 心脏、地震以及晶体中原子的振动等. 时间：周期和非周期振动
0
0
2
B
x0
2
2
v0
2
x0 A cos 1 , 2
v0 sin A
17
4 – 1
简谐运动
已知 t
第四章
机械振动
讨论
0, x 0, v 0 求
π 2 v0 A sin 0
A
0 A cos
v
x
π sin 0 取 2 π x A cos( t ) 2
4 – 1
简谐运动
第四章
机械振动
x A cos(t )
T 2π

取 0
A
o o
A
x
x t 图
T
t
t
v A sin(t )
A
v
a
v t 图
T
π A cos( t ) 2
a A 2 cos(t )
2
A
a t图
d x 2 x0 2 dt
( 2)T 2
2

2
k 2 mI/R
25
4 – 1
简谐运动
第四章
机械振动
初始位置时弹簧无伸长，静止释放，求振动方程
(3) x A cos( t )
t=0时，x0=－b, v0=0
2 v0 2
A
x0 A cos b b cos
1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 E EP EK ( kx m v ) kx0 kA kx0 恒量 2 2 2 2 2
29
第四章 机械振动 4 – 1 简谐运动 恰当选择零势点，可去掉第二项。 如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点
k
EP 0
x0
k
1 1 2 2 Ep k ( x x0 ) mgx kx 0 2 2
15
4 – 1
简谐运动
第四章
机械振动
3) 常数 A 和 的确定
x A cos(t ) v A sin(t )
初始条件
t 0 x x0 v v0
x0 A cos
2 A x0
2
2 v0
v0 A sin
v0 t an x0
7
条件：
4 – 1 简谐运动 3. 复摆 ( 5 )
平衡位置 动力学方程
第四章
机械振动
绕不过质心的轴转动的刚体称为复摆。
M外＝0
dt
Байду номын сангаасM mgl 2 d 运动学方程 mgl I 2
o
l *C
d 2 mgl 2 0 2 I dt 振动方程 m cos( t )
16
对给定振动系统，周期(或者角频率)由系统本身 性质决定，振幅和初相由初始条件决定.三要素
4 – 1
谐振动
2
简谐运动
f kx

或－
C
第四章
机械振动
x A cos( t )
振幅： A
初相：
d x 2 x 0 2 dt
/2
3 1 或－ 2 2
简谐运动
第四章
机械振动
F
m
o
平衡位置
x
x
k m
2
F ＝0
外
特 动力学方程 征 运动学方程 方 程
振动方程
F kx ma
d x 2 x 0 2 dt
2
令
x A cos(t )
积分常数，根据初始条件确定
6
4 – 1 简谐运动 2. 单摆
动力学方程
第四章
简谐运动
第四章
机械振动
已知： k＝1.6Nm－1 m＝0.025kg 处于平衡状态 （1）x0＝0.10m处，自由释放
（2）x0＝0.10m处， v0=0.8ms-1
解：以挂上小球后平衡位置为坐标原点：
mg kb 0
位移x处：
mg b k
F mg k ( x b) kx
d2 x k k 1 x 0 8 s dt 2 m m
2
P
（ C点为质心）
8
4 – 1 简谐运动 二、 速度和加速度
第四章
机械振动
F
m
o
x A cos(t )
x
x
dx 1.v A sin(t ) A cos(t ) dt 2 vm A d2 x 2 2 2.a 2 A cos(t ) A cos(t ) dt am A 2 9