西安电子科技大学讲义

1 输入随即信号)t (X 的自相关函数|

|X be a )(R ττ-+=2式中a ,b 为正常数，试

求单位冲击响应)t (U e )t (h t α-=的系统输出均值（0>α）。

2 设线性系统的单位冲击响应)t (U te )t (h t 3-=，其输入是具有功率谱密度为4V 2/Hz 的白噪声与2V 直流分量之和，试求系统输出的均值、方差和均方值。

3 设有限时间积分器的单位冲击响应).t (U )t (U )t (h 50--=，它的输入是功率谱密度为10V 2/Hz 的白噪声，试求系统输出的均值、均方值、方差、和输入输出互相关函数。

4 设系统的单位冲击响应为)t (U e )t ()t (h t 22--=δ，其输入随机信号的自相关

函数|

|X e )(R ττ21616-+=，试求系统输出的（总）平均功率和交流平均功率。

5 电路如图题5所示。设输入白噪声的自相关函数)(S )(R X τδτ0=，试求电路输出的平均功率。

+

-+

-Ω3

4

Ω

1

图题5

6 某系统的传递函数

b

j a j )(H +-=

ωωω

若输入平稳随机信号的自相关函数为|

|X e )(R τγτ-=，输出记为Y(t)，试求互

相关函数）（。b )(R XY ≠γτ。

7 某控制系统如图题7所示。若输入宽平稳随机信号的功率谱密度

2

210s

)s (S X -=

试求输出的功率谱密度、自相关函数、平均功率和)t (ε的均方值。

图题7

8 如图题8所示。输入白噪声的功率谱密度为N 0/2，试求输出的功率谱密度和

自相关函数。

+

-+

-

R

9 设线性系统的传递函数为)(H ω，其输入随机信号X(t)是宽平稳的，输出为Y(t)，试证：)(S )(S )(S )(S YX XY Y X ωωωω

=

10 电路如图图题10所示。在t<0时，开关K 接在“1”处，电路处于稳态；在t=0时刻开关K 接在“2”处。X(t)是功率谱密度为1V 2/Hz 的白噪声。试求E[Y(t)]、R Y (t 1t 2)和均方值E[Y 2(t)]；若+∞→t ，问他们的结果如何？

+

-R

图题10

11 设X(n)是一个均值为零，方差为2

X δ的白噪声，Y(n)是单位冲击响应为)n (h 的

线性时不变离散系统的输出，试证：（1）2

0X )(h )]n (Y )n (X [E δ=；（2）

∑∞

==0

2

22n X

Y

)n (h

δ

δ

。

12 求三个最小相位系统，使其在单位谱密度白噪声激励下的输出谱密度分别是：

（1）11

4

+=

ω

ω)(S

（2）1

3

2

4

+-=

ω

ω

ω)(S

（3）9

1064

2

4

4

++-=

ωω

ωω)(S

13 求功率谱密度为8

32

2++=

ω

ωω)(S X 的白化滤波器。

14 求功率谱密度为ω

ωωω8cos 01616cos 0091....)(S )(S '

X X ++=

=的白化滤波器。

15 求单位冲击响应为)]()()[()(1t U t U t 1t h ---=系统的等效噪声带宽。 16 证明：

（1）t

t

t

t H cos 1]sin [-=

（2）t

j t

j je

]e [H 00ωω-=

（3）)t (]t

[H δπ=-1

1

（4）2

2

1

111t

]t t

[

H +=

+-

(5) t cos t

t sin ]t sin t t sin [H ππ2002001

=

- (6) t sin t

t sin ]t cos t

t sin [

H

ππ2002001

-

=-

17 证明：（1）偶函数的希尔伯特变换为奇函数。（2）奇函数的希尔伯特变换

为偶函数。 18 若确定信号)t (a 的频谱满足

⎩⎨

⎧≤=其他

0ωωωω||)

(A )(A 则有

（1）t sin )sgn()t (a ]t cos )t (a [H 000ωωω= （2）t cos )sgn()t (a ]t sin )t (a [H 000ωωω-= （3）t

j t

j e

)sgn()t (ja ]e

)t (a [H 000ωωω-=

19 设T

]

)t (X )

t (X )

t (X )

t (X [)t (X ττ++=2121，)t (X 2是)t (X 1的希尔伯特

变换，)t (X 1是均值为零、方差为1的高斯过程。证明：如果)t (X 1是平稳的，那么

⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡

--=∧∧

∧

∧

10

011

0111111111)

(R )

(R )(R )(R )(R )

(R )

(R )

(R )]t (X )t (X [E T

ττττττττ 其中)]t (X )t (X [E )(R ττ+=111。

20 已知平稳过程X(t)的功率谱密度)(S X ω如图题20所示。记)t (X ∧

为)t (X 的希尔伯特变换，求随即过程t sin )t (X t cos )t (X )t (W 00ωω∧

-=的功率谱密度，并图示它。

图题20 )(S X ω的图形

21 设平稳噪声t f sin )t (b t f cos )t (a )t (X 0022ππ-=，若其功率谱密度如图题21所示。图中Hz f 1001=，Hz f 1042=。对下列情况求)f (S a 、)f (S b 、)f (S ab ，

并作图：

（1）10f f =； （2）20f f = （3）)f f (f 2102

1+=