双曲线标准方程及几何性质(附答案)

高考能力测试数学基础训练27

基础训练27 双曲线标准方程及几何性质

●训练指要

熟练掌握双曲线的定义、标准方程及几何性质；能优先考虑定义、简化运算；会用待定系数法求双曲线方程.

一、选择题

1.(2002年全国高考题)设θ∈(0,

4

π)，则二次曲线x 2cot θ-y 2tan θ=1的离心率的取值范围为 A.(0，21) B.(2

2,21) C.(2,22) D.(2，+∞)

2.若双曲线的两条渐近线是y ＝±

2

3x ，焦点F 1(－26，0)、F 2(26，0)，那么它的 两条准线间的距离是 A.2613

8 B.

26134 C.261318 D.26139 3.如果方程12

||52

2=-+-k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 A.|k |＞2

B.|k |＜2

C.k ＞5或|k |＜2

D.2＜k ＜5或k ＜－2 二、填空题

4.已知双曲线渐近线方程为y ＝±

3

4x ，且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，则双曲线方程为_________.

5.设F 1、F 2是双曲线142

2=-a

y a x (a ＞0)的两个焦点，P 在双曲线上，∠F 1PF 2＝90°，若Rt △F 1PF 2的面积是1，则a 的值是_________.

三、解答题

6.如图，OA 是双曲线的实半轴，OB 是虚半轴，F 为焦点，且

∠BAO ＝30°，S △ABF ＝)336(2

1-，求该双曲线的方程. 7.在双曲线112

132

2-=-y x 的一支上有不同三点A (x 1，y 1)、B (x 2，6)、C (x 3，y 3)与点F (0，5)的距离|AF |、|BF |、|CF |依次成等差数列，

(1)求y 1＋y 2的值；

(2)求证线段AC 的垂直平分线经过一定点，求出定点的坐标.

8.(2002年全国高考题)设点P 到点M (-1，0)、N (1，0)距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2.求m 的取值范围.

高考能力测试数学基础训练27答案

一、1.D 2.A 3.D

二、4.136

64164362

224=-=-x y y x 或 5.1 三、6.13

92

2=-y x 7.(1)12 (2)(0,2

25) 提示：(1)F (0，5)为椭圆上焦点，化成方程为y =

512，设双曲线离心率为e ，则|AF |=e (y 1－)5

126(||),512(||),5123-=-=e BF y e CF ∵2|BF |=|AF |+|CF |,

∴y 1+y 2=12.

(2)设AC 的中点为M (x 0,y 0),则y 0=22

1y y

+=6.即M (x 0,6).

又A 、C 在双曲线上，

∴⎪⎩⎪⎨⎧⨯=-⨯=-1213

121312

131********

121x y x y 两式相减，得12(x 12－x 32)=13(y 12－y 32)

.

132132

221312131200

03131313

1x k x y x y y x x x x y y AC =∴=⋅=++⋅=--∴

故AC 的垂直平分线方程是y －6=－)(213

00

x x x -

令x =0得y =225,故它经过定点(0，225

).

即AC 垂直平分线经过定点(0，225

).

8.(－55

,0)∪(0, 55

)

提示：设P (x ,y )，依题设得2|||

|=x y ,即y =±2x ,x ≠0. ①

因此，点P (x ,y )、M (－1,0)、N (1，0)三点不共线，得 ||PM |－|PN ||＜|MN |=2

∵||PM |－|PN ||=2|m |＞0,

∴0＜|m |＜1.

因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上，故1

122

22=--m y m x ②

将①式代入②式，并解得

x 2=22251)

1(m m m --.

∴1－m 2＞0,

∴1－5m 2＞0 0＜|m |＜55. (－55,0)∪(0, 55)