新教材必修第一册第三章函数的概念与性质 复习课
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[解] (1)函数的定义域为 R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则 f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． 图象关于 y 轴对称．
(2)f(x)＝x2－2|x|＝xx22－＋22xx＝＝xx－＋1122－－11，，xx≥<00. ， 画出图象如图所示，
根据图象知，函数 f(x)的最小值是－1.单调增区间是[－1,0]，[1， ＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．
)
A.－∞，13 C.－13，13
B.13，Leabharlann Baidu D.－∞，13∪13，1
(2)已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a， 2ax，<1x≥，1. 若 f(1－a)＝
f(1＋a)，则 a 的值为________．
[解析] (1)由题意得，13－ x－x>1≠0，0， 解得 x<1 且 x≠13. (2)①当 1－a<1，即 a>0 时，此时 a＋1>1， 由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a， 计算得 a＝－32(舍去)；②当 1－a>1，即 a<0 时，此时 a＋1<1， 由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，计算得 a＝ －34，符合题意，综上所述，a＝－34. [答案] (1)D (2)－34
综上所述，这天小张的车所走的路程
s(t)＝－ 1550t，t－3<1t≤3，8，0≤t≤3， 60t－330，8<t≤10.5.
(2)当 0≤t≤3 时， 令－5t(t－13)＝60 得 t2－13t＋12＝0， 解得 t＝1 或 t＝12(舍去)， 当 8<t≤10.5 时， 令 60t－330＝2×150－60＝240，
[针对训练] 1．若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 F(x)＝f(x＋1)的定 义域是________．
[解析] 由 0≤x＋1≤2，解得－1≤x≤1，所以函数 F(x)＝f(x＋1) 的定义域是[－1,1]．
[答案] [－1,1]
2．已知 f(x)＝12x＋1，x≤0，
使 f(x)≥－1 成立的 x 的
(2)奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上 的单调性相反．
(3)利用函数单调性和奇偶性解不等式时，充分利用已知的条 件 ， 结 合函 数 的奇 偶 性， 把 已知 不 等式 转 化为 f(x1)>f(x2) 或 f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．同时要注意函数自 身定义域对参数的影响．
考点四 函数模型及其应用 针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻 画．这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握 基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰 的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般 是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时 我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进 行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．
(1)求函数定义域时，已知函数的解析式，则构造使解析式有 意义的不等式(组)求解．
(2)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相 应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．
(3)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取 值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自 变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段 解决．
y＝－15t＋1102t＋－8t＋－4t＋0，400，≤2t≤0<2t0≤，3t0∈，Nt∈N ＝－ 11015t－t－61052－2＋4102，5， 200<≤t≤t≤302，0，t∈t∈N.N，
当 0≤t≤20，t＝15 时，ymax＝125， 当 20<t≤30，y 随 t 的增大而减小，y<125. ∴在 30 天中的第 15 天，日交易额的最大值为 125 万元．
建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤 (1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系， 并用 x，y 分别表示． (2)建立函数模型，将变量 y 表示为 x 的函数，此时要注意函 数的定义域． (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．
[针对训练] 5．小张周末自己驾车旅游，早上 8 点从家出发，驾车 3 h 后 到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程 s(单 位：km)与离家的时间 t(单位：h)的函数关系式为 s(t)＝－5t(t－13)． 由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩 到 16 点，小张开车从停车场以 60 km/h 的速度沿原路返回． (1)求这天小张的车所走的路程 s(单位：km)与离家时间 t(单 位：h)的函数解析式； (2)在距离小张家 60 km 处有一加油站，求这天小张的车途经 该加油站的时间．
解得ab＝ ＝10.， ∴f(x)＝1＋x x2.
(2)证明：任取 x1，x2∈(－1,1)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝1＋x2x22－1＋x1x21
＝
x2－x11－x1x2 1＋x211＋x22
.
∵
－
1<x1<x2<1
，
∴
x2
－
x1>0,1
＋
x12
>0,1
＋
x
2 2
>0
，
－
1<x1x2<1，∴1－x1x2>0.∴f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(－1,1)上
(2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函 数关系式；
(3)用 y 表示该股票日交易额(万元)，写出 y 关于 t 的函数关 系式，并求在这 30 天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
[解] (1)由图象知，前 20 天满足的是递增的一次函数关系，且过 两点(0,2)，(20,6)，容易求得其函数关系为 P＝15t＋2；
考点三 函数的图象及应用 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性， 通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性 等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确地画出．函数图 象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、 易懂的优点．
【典例 3】
－x2＋2x，x>0， 已知奇函数 f(x)＝0，x＝0，
【典例 2】 函数 f(x)＝a1x＋＋xb2 是定义在(－1,1)上的奇函数， 且 f12＝25.
(1)确定函数 f(x)的解析式； (2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
[解] (1)由题意得 f(0)＝0，又∵f12＝25，
1＋b 02＝0， ∴a21＋ ＋b14＝25，
第
三
函数的概念与性质
章
复习课(三)
函数的概念与性质
考点一 函数的概念及表示 函数的定义域、对应关系及值域是函数的三要素，其中函数 的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，在函数的表示中， 分段函数是一类重要的函数，在现实生活中有着广泛的应用．
【典例 1】 (1)函数 f(x)＝ 31x－2 x＋(3x－1)0 的定义域是(
从 20 天到 30 天满足递减的一次函数关系， 且过两点(20,6)，(30,5)， 求得的表达式为 P＝－110t＋8， 故 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式为：
P＝15－t＋1102t，＋08≤，t2≤0<2t0≤，3t0∈，Nt∈，N.
(2)由图表，易知 Q 与 t 满足一次函数关系， 即 Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N. (3)由以上两问，可知
是增函数．
(3)原不等式可化为 f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函 数，∴－1<t－1<－t<1，解得 0<t<12.故原不等式的解集为{t0<t<12.
(1)函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研 究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的 “局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
(2)任取 1≤x1<x2≤2，则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋x2x－1x2x1＝(x1 －x2)·ax1＋x2－x11x2.
因此 1≤x1<x2≤2， 所以 x1－x2<0,2<x1＋x2<4,1<x1x2<4. 因为 a∈(1,3)，所以 2<a(x1＋x2)<12，14<x11x2<1， 所以 a(x1＋x2)－x11x2>0， 所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， 故函数 f(x)在[1,2]上单调递增．
[针对训练] 3．已知函数 f(x)＝ax2＋1x，其中 a 为实数． (1)根据 a 的不同取值，判断函数 f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若 a∈(1,3)，判断函数 f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理 由．
[解] (1)当 a＝0 时，f(x)＝1x，显然是奇函数；当 a≠0 时，f(1)＝a ＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)≠－f(－1)，所以此时 f(x)是非奇 非偶函数．
[解] (1)依题意得，当 0≤t≤3 时，s(t)＝－5t(t－13)， ∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150. 即小张家距离景点 150 km， 小张的车在景点逗留时间为 16－8－3＝5(h)． ∴当 3<t≤8 时，s(t)＝150， 小张从景点回家所花时间为16500＝2.5(h)， 故 s(10.5)＝2×150＝300. ∴当 8<t≤10.5 时， s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.
－x－12，x>0，
取值范围是________．
[解析] 由x12≤x＋0， 1≥－1， 得－4≤x≤0；
由x－>0x，－12≥－1， 得 0<x≤2. 综上所述，x 的取值范围是[－4,2]．
[答案] [－4,2]
考点二 函数的单调性与奇偶性 单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的 单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究， 从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求 值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛． 奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数的图象的对称 性可以缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨 论．
【典例 4】 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与
时间 t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；
该股票在 30 天内的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如下
表所示：
第t天
4 10 16 22
Q(万股) 36 30 24 18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格 P(元)与时 间 t(天)所满足的函数关系式；
x2＋mx，x<0.
(1)求实数 m 的值；
(2)画出函数图象；
(3)若函数 f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定 a 的取
值范围．
[解] (1)当 x<0 时，－x>0， f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x， 又因为 f(x)为奇函数， 所以 f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x， 所以 f(x)＝x2＋2x，则 m＝2.
－x2＋2x，x>0， (2)由(1)知 f(x)＝0，x＝0， x2＋2x，x<0. 函数 f(x)的图象如图所示．
(3)由图象可知 f(x)在[－1,1]上单调递增，要使 f(x)在[－1，|a|－2] 上单调递增，只需－1<|a|－2≤1，即 1<|a|≤3，解得，－3≤a<－1 或 1<a≤3.
即 a 的取值范围是[－3，－1)∪(1,3]．
作函数图象的方法 方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． 方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、对称．
[针对训练] 4．对于函数 f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．
解得 t＝129. 所以小张这天途经该加油站的时间分别为 9 点和 17 时 30 分．
(2)f(x)＝x2－2|x|＝xx22－＋22xx＝＝xx－＋1122－－11，，xx≥<00. ， 画出图象如图所示，
根据图象知，函数 f(x)的最小值是－1.单调增区间是[－1,0]，[1， ＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．
)
A.－∞，13 C.－13，13
B.13，Leabharlann Baidu D.－∞，13∪13，1
(2)已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a， 2ax，<1x≥，1. 若 f(1－a)＝
f(1＋a)，则 a 的值为________．
[解析] (1)由题意得，13－ x－x>1≠0，0， 解得 x<1 且 x≠13. (2)①当 1－a<1，即 a>0 时，此时 a＋1>1， 由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a， 计算得 a＝－32(舍去)；②当 1－a>1，即 a<0 时，此时 a＋1<1， 由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，计算得 a＝ －34，符合题意，综上所述，a＝－34. [答案] (1)D (2)－34
综上所述，这天小张的车所走的路程
s(t)＝－ 1550t，t－3<1t≤3，8，0≤t≤3， 60t－330，8<t≤10.5.
(2)当 0≤t≤3 时， 令－5t(t－13)＝60 得 t2－13t＋12＝0， 解得 t＝1 或 t＝12(舍去)， 当 8<t≤10.5 时， 令 60t－330＝2×150－60＝240，
[针对训练] 1．若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 F(x)＝f(x＋1)的定 义域是________．
[解析] 由 0≤x＋1≤2，解得－1≤x≤1，所以函数 F(x)＝f(x＋1) 的定义域是[－1,1]．
[答案] [－1,1]
2．已知 f(x)＝12x＋1，x≤0，
使 f(x)≥－1 成立的 x 的
(2)奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上 的单调性相反．
(3)利用函数单调性和奇偶性解不等式时，充分利用已知的条 件 ， 结 合函 数 的奇 偶 性， 把 已知 不 等式 转 化为 f(x1)>f(x2) 或 f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．同时要注意函数自 身定义域对参数的影响．
考点四 函数模型及其应用 针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻 画．这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握 基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰 的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般 是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时 我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进 行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．
(1)求函数定义域时，已知函数的解析式，则构造使解析式有 意义的不等式(组)求解．
(2)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相 应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．
(3)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取 值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自 变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段 解决．
y＝－15t＋1102t＋－8t＋－4t＋0，400，≤2t≤0<2t0≤，3t0∈，Nt∈N ＝－ 11015t－t－61052－2＋4102，5， 200<≤t≤t≤302，0，t∈t∈N.N，
当 0≤t≤20，t＝15 时，ymax＝125， 当 20<t≤30，y 随 t 的增大而减小，y<125. ∴在 30 天中的第 15 天，日交易额的最大值为 125 万元．
建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤 (1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系， 并用 x，y 分别表示． (2)建立函数模型，将变量 y 表示为 x 的函数，此时要注意函 数的定义域． (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．
[针对训练] 5．小张周末自己驾车旅游，早上 8 点从家出发，驾车 3 h 后 到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程 s(单 位：km)与离家的时间 t(单位：h)的函数关系式为 s(t)＝－5t(t－13)． 由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩 到 16 点，小张开车从停车场以 60 km/h 的速度沿原路返回． (1)求这天小张的车所走的路程 s(单位：km)与离家时间 t(单 位：h)的函数解析式； (2)在距离小张家 60 km 处有一加油站，求这天小张的车途经 该加油站的时间．
解得ab＝ ＝10.， ∴f(x)＝1＋x x2.
(2)证明：任取 x1，x2∈(－1,1)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝1＋x2x22－1＋x1x21
＝
x2－x11－x1x2 1＋x211＋x22
.
∵
－
1<x1<x2<1
，
∴
x2
－
x1>0,1
＋
x12
>0,1
＋
x
2 2
>0
，
－
1<x1x2<1，∴1－x1x2>0.∴f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(－1,1)上
(2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函 数关系式；
(3)用 y 表示该股票日交易额(万元)，写出 y 关于 t 的函数关 系式，并求在这 30 天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
[解] (1)由图象知，前 20 天满足的是递增的一次函数关系，且过 两点(0,2)，(20,6)，容易求得其函数关系为 P＝15t＋2；
考点三 函数的图象及应用 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性， 通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性 等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确地画出．函数图 象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、 易懂的优点．
【典例 3】
－x2＋2x，x>0， 已知奇函数 f(x)＝0，x＝0，
【典例 2】 函数 f(x)＝a1x＋＋xb2 是定义在(－1,1)上的奇函数， 且 f12＝25.
(1)确定函数 f(x)的解析式； (2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
[解] (1)由题意得 f(0)＝0，又∵f12＝25，
1＋b 02＝0， ∴a21＋ ＋b14＝25，
第
三
函数的概念与性质
章
复习课(三)
函数的概念与性质
考点一 函数的概念及表示 函数的定义域、对应关系及值域是函数的三要素，其中函数 的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，在函数的表示中， 分段函数是一类重要的函数，在现实生活中有着广泛的应用．
【典例 1】 (1)函数 f(x)＝ 31x－2 x＋(3x－1)0 的定义域是(
从 20 天到 30 天满足递减的一次函数关系， 且过两点(20,6)，(30,5)， 求得的表达式为 P＝－110t＋8， 故 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式为：
P＝15－t＋1102t，＋08≤，t2≤0<2t0≤，3t0∈，Nt∈，N.
(2)由图表，易知 Q 与 t 满足一次函数关系， 即 Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N. (3)由以上两问，可知
是增函数．
(3)原不等式可化为 f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函 数，∴－1<t－1<－t<1，解得 0<t<12.故原不等式的解集为{t0<t<12.
(1)函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研 究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的 “局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
(2)任取 1≤x1<x2≤2，则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋x2x－1x2x1＝(x1 －x2)·ax1＋x2－x11x2.
因此 1≤x1<x2≤2， 所以 x1－x2<0,2<x1＋x2<4,1<x1x2<4. 因为 a∈(1,3)，所以 2<a(x1＋x2)<12，14<x11x2<1， 所以 a(x1＋x2)－x11x2>0， 所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， 故函数 f(x)在[1,2]上单调递增．
[针对训练] 3．已知函数 f(x)＝ax2＋1x，其中 a 为实数． (1)根据 a 的不同取值，判断函数 f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若 a∈(1,3)，判断函数 f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理 由．
[解] (1)当 a＝0 时，f(x)＝1x，显然是奇函数；当 a≠0 时，f(1)＝a ＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)≠－f(－1)，所以此时 f(x)是非奇 非偶函数．
[解] (1)依题意得，当 0≤t≤3 时，s(t)＝－5t(t－13)， ∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150. 即小张家距离景点 150 km， 小张的车在景点逗留时间为 16－8－3＝5(h)． ∴当 3<t≤8 时，s(t)＝150， 小张从景点回家所花时间为16500＝2.5(h)， 故 s(10.5)＝2×150＝300. ∴当 8<t≤10.5 时， s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.
－x－12，x>0，
取值范围是________．
[解析] 由x12≤x＋0， 1≥－1， 得－4≤x≤0；
由x－>0x，－12≥－1， 得 0<x≤2. 综上所述，x 的取值范围是[－4,2]．
[答案] [－4,2]
考点二 函数的单调性与奇偶性 单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的 单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究， 从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求 值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛． 奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数的图象的对称 性可以缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨 论．
【典例 4】 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与
时间 t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；
该股票在 30 天内的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如下
表所示：
第t天
4 10 16 22
Q(万股) 36 30 24 18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格 P(元)与时 间 t(天)所满足的函数关系式；
x2＋mx，x<0.
(1)求实数 m 的值；
(2)画出函数图象；
(3)若函数 f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定 a 的取
值范围．
[解] (1)当 x<0 时，－x>0， f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x， 又因为 f(x)为奇函数， 所以 f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x， 所以 f(x)＝x2＋2x，则 m＝2.
－x2＋2x，x>0， (2)由(1)知 f(x)＝0，x＝0， x2＋2x，x<0. 函数 f(x)的图象如图所示．
(3)由图象可知 f(x)在[－1,1]上单调递增，要使 f(x)在[－1，|a|－2] 上单调递增，只需－1<|a|－2≤1，即 1<|a|≤3，解得，－3≤a<－1 或 1<a≤3.
即 a 的取值范围是[－3，－1)∪(1,3]．
作函数图象的方法 方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． 方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、对称．
[针对训练] 4．对于函数 f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．
解得 t＝129. 所以小张这天途经该加油站的时间分别为 9 点和 17 时 30 分．