指数幂及运算

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[导入新知]
分数指数幂的意义
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
an＝
n am
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：
1
_m
a n＝
1
m
＝
n am
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
an
(3)0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 无意义 ．
2 3
b

1 4
)＝
2 3a
1 3
+3－2 3
b
43－2－
_
1 4

2 =3a
8 3
b

5 2
注意符号不能弄错．
答案：A
返回
3．若 10x＝3,10y＝4，则 102x－y＝________.
解析：∵10x＝3，∴102x＝9，
∴102x－y＝11002yx＝94. 答案：94
4．化简3 a a的结果是________．
返回
根式与分数指数幂的互化
[例1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
1
A．－ x＝(－x) 2 (x>0)
B.6
1
y2＝y 3
(y<0)
C．x

3 4
＝
4
1x3(x>0)
D．x－13 ＝－3 x(x≠0)
返回
(2)用分数指数幂的形式表示下列各式．
①a2· a(a>0)；
② a a(a>0)；
所以原式＝a－2＋3－a＝1.
答案：C
返回
2．(－2a
1 3
b

3 4
·(－a
1 2
b

1 3
)6÷(－3a
2 3
b

1 4
)等于
()
A．23a
8 3
b

5 2
B．－23a
8 3
C．－23a
1 6
b

5 6
D．23a
1 6
b

5 2
解析：原式＝(－2)×(－1)6÷(－3)·(a
1 3
b

3 4
)·(a3·b－2)÷(a

6＋34
6＝
21＋141 6.
返回
4.含附加条件的幂的求值问题
[典例] (12 分)已知 x＋y＝12，xy＝9，且 x<y，求：
1
1
(1)x 2 ＋y 2 ；
1
1
(2)x 2 －y 2 ；
(3)x－y.
返回
[解题流程]
1
1
1
1
求 x 2 ＋y 2 ，x 2 －y 2 ，x－y 的值，应建立
其与 x＋y 及 xy 的关系后求解
0.1－2a3b－3 2
返回
[解]
(1)原式＝1＋14×49
1 2
－1100
1 2
＝1＋16－110＝1165.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2176.
13
(3)原式＝4120·402
·a
3 2
－3
·a 2
－3
·b 2
·b
3 2
2
－ y 2




2
2

1
1 1 1
＝ x ＋y x -y 2


2 2 2


(10 分)
易忽视条件x<y， 得出错误答案.
1
1
1
＝3 2×(－ 6)＝－3×2 2 ×2 2 ×3 2
＝－6 3.(12 分)
此处巧妙利用了12 结论使问题得以解决.
a 2 －b 2
－2
解：(1)原式＝(22) 2＋1·23－2 2·(26) 3
＝22 2＋2·23－2 2·2－4 ＝22 2＋2＋3－2 2－4＝21＝2.
“课时达标检测”见“课时 跟踪检测（十三）”
1
11
1
1
1
(2)原式＝a
2
＋b
1
2
a
2
－b
1
2
－a
2 －b
1
2 2
1
a 2 ＋b 2
(1)
5
a10＝5
10
a25＝a2＝a 5 (a>0)；
(2)3
a12＝3
12
a43＝a4＝a 3 (a>0)．
提示：正确．
返回
问题 2：能否把4 a3，3 b2，4 c5 写成下列形式：
3
4 a3＝a 4 (a>0)；
2
3 b2＝b 3 (b>0)；
5
4 c5＝c 4 (c>0)．
提示：能．
＝b
1 9
.
④法一：从外向里化为分数指数幂．
y2 x
x3 3 y
xy63＝yx2
x3 3
y6
1 2
y x3
返回
＝yx2xy3 3
y6 x3
1 1 22

＝yx2xy3xy63
1 1 1 322

＝yx2
＝245a0b0＝245.
返回
[类题通法] 利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式 为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方 数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的 形式表示．
2.1
2.1.1
第
二
第二
章
课时
指数幂 及运算
1 理解教 材新知
2 突破常 考题型
3 跨越高 分障碍 4 应用落 实体验
知识点一 知识点二 题型一 题型二
随堂即时演练 课时达标检测
返回
2.1
指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算 第二课时 指数幂及运算
返回
分数指数幂的意义
[提出问题]
问题 1：判断下列运算是否正确．
1
1
1
(x－y＝x 2 2－y 2 2＝x 2 ＋y 2 2＝
1
11
1
x 2 ＋y 2 x 2 －y 2
返回
[规范解答]
[名师批注]

(1)x
1 2
＋y
1 2
2＝x＋y＋2

1
1
xy＝18，(2 分) 由x与x 2 ，y与y 2 都具有平方
1
1
∴x 2 ＋y 2 ＝3 2.(4 分)
返回
[活学活用]
计算下列各式的值：
－1
(1)0.027 3
－－17－2＋279
1 2
－
2－10；
8 －1 (2)125 3
－－350＋160.75＋0.25
1 2
；
(3)14－2＋
3＋ 3－
22－1.030×－ 263.
返回
[活学活用]
已知 a＋a－1＝5，求下列各式的值；
(1)a2＋a－2；
(2)a
1 2
－a

1 2
.
解：(1)法一：由 a＋a－1＝5 两边平方得：
a2＋2aa－1＋a－2＝25，
即：a2＋a－2＝23；
返回
法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23；
yx2x2·y
1 2
＝yx2·xy
1 2

1 2
＝y
5 4
.
返回
[类题通法]
根式与分数指数幂的互化技巧
(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式
与分数指数幂的转化式子：a
m n
＝
n
am和
a

m n
＝
1
m
＝
1
，其中字
a n n am
母 a 要使式子有意义．
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一
返回
解：(1)原式＝1
27 －1 000 3
－17－2＋295
1 2
－1＝130－49＋53－1＝－45.
(2)原式＝52－1＋16
3 4
＋0.5＝52－1＋8＋0.5＝10.
(3)原式＝42＋
33＋－222－1×－32
1 2
3＝16＋5＋2
4 －a中的 a，则需要 a≤0.
返回
有理指数幂的运算性质 [导入新知]
有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ ar·br (a>0，b>0，r∈Q)．
返回
[化解疑难] 有理指数幂的运算性质的理解与巧记 (1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性 质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘， 底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘； ③积的幂等于幂的积． (2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循： 乘相加，除相减，幂相乘．
解析：
3 a
a＝a
a ＝ a·a ＝ a ＝a . 1 3

11 31
2

3

2

3


1 2
1
答案：a 2
返回
5．计算(或化简)下列各式：
－2
(1)4 2＋1·23－2 2·64 3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a12
·b
2
.
a 2 ＋b 2
1 2
x3
· y

1 4
y6 ·x3
1 12
31
33
＝
y
1
x4 ·1
y2 ·1
＝x
4 3
·y 2
1
＝y
5 4
.
x 2 y 4 x 4 x 4 ·y 4
返回
法二：从里向外化为分数指数幂．
y2 x
x3 3 y
xy63＝
y2 x
x3y6 1 y x3 3
＝
y2 x
xy3·yx2＝
＝
3
1x(x≠0)．
[答案] C
返回
1
1
5
(2)[解] ①a2· a＝a2·a 2 ＝a2＋ 2 ＝a 2 .
② a a＝
1
a·a 2 ＝
3 31
3
a
2
＝a
2

2
＝a
4
.
③原式＝b

2 3

1 4


2 3
＝b

2 3
14

2 3

③4
b

2 3


2 3
(b>0)；
④
y2 x
x3 3 y
xy63(x>0，y>0)．
返回
1
(1)[解析] － x＝－x 2 (x>0)；
6
1
y2＝[(y)2] 6
1
＝－y 3
(y<0)；
x

3 4
＝(x－3)
1 4
＝
4
1x3(x>0)；
x

1 3
＝1x
1 3
(2)∵(a
1 2
－a

1 2
)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
∴|a
1 2
－a

1 2
|＝
3.∴a
1 2
－a

1 2
＝±
3.
返回
[随堂即时演练] 1．若 2<a<3，化简 2－a2＋4 3－a4的结果是 ( )
A．5－2a
B．2a－5
C．1
D．－1
解析：由于 2<a<3，
所以 2－a<0,3－a>0，

关系，故可先求x
1 2
＋y
1 2
， 2

1
1

(2)x
1 2
－y
1 2
2＝x＋y－2

xy＝6，(6 分)
然后求 x 2 ＋y 2 的值，解题 时常因找不到此关系而使
1
1
又 x<y，∴x 2 －y 2 ＝－ 6.(8 分)
问题不能得以正确求解.
返回
1 1
(3)x－y＝x
1
1
1
1
1将 x 2 ＋y 2 ，x 2 －y 2 平方后即可建立其与
x＋y 及 xy 的关系；
2可利用平方差公式将 x－y 分解成
1返回
1
1
x 2 ＋y 2 2＝x＋y＋2 xy
↓
1
1
x 2 －y 2 2＝x＋y－2 xy
↓
1
是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．
返回
[活学活用] 将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)
1 a
1a(a>0)；
(2)
1 (x>0)；
3
x·5 x22
(3) ab3 ab5(a>0，b>0)．
返回
解：(1)原式＝
11 aa
1 2
＝
1 a
3 2
＝1a
a 2 －b 2
1
1 1
1
＝a
2
－b
2
－a
2
－b
2
＝0.

返回
1 2
3 11
＝a 4 b 4 .
返回
指数幂的运算
[例 2] 计算下列各式：
(1)2350＋2－2×214

1 2
－0.010.5；
(2)0.064

1 3
－－780＋[(－2)3]

4 3
＋16－0.75；
1 (3)4
1 2·
4ab－13 1 (a>0，b>0)．
返回
[化解疑难]
对分数指数幂的理解
(1)指数幂
a
m n
不可以理解为
m n
个
a
相乘，它是根式的一种新
写法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，
只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数
幂与根式可以相互转化；
1
(2)通常规定分数指数幂的底数 a>0，但要注意在像(－a) 4 ＝
3 4
＝a

3 4
.
(2)原式＝ 1 ＝ 1 ＝ 1
3
2 2
x· 5
x
34 x·x 5
39 x5
＝
1
9
1
＝
1
3
＝x

3 5
.
x x

5