陕西省延安中学2015届高三第五次月考数学理试题 Word版含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(陕西卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。
2015年陕西省高考模拟考试数学(理)试卷(含答案解析)
2015年陕西省高考模拟考试数学（理）试卷（含答案解析）注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大 题共10小题，每小题5分，共50分）．1. 全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，则()U C A B ⋂=（ ）A. {}1-B. {}1,2-C.{}12x x -<<D.{}12x x -≤≤ 2．12+12ππcoslog sin log 22的值为 （ ）A ．4B ．－4C ．2D ．－23．已知等差数列{}n a 中，121,2a a =-=，则45a a +=（ ）A3B ．8C ．14D ．194.函数()tan (0)f x x ωω=>的图象的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是 （ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．4π 5．已知12,5||,3||=⋅==b a b a 且，则向量a 在向量b 上的投影为（ ）A ．512 B ．3 C ．4 D ．56．为了得到函数13sin 2cos 222y x x =-的图像，可以将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向右平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位7．若关于x 的不等式m m x x 29222+<++有实数解，则实数m 的取值范围是( ).A ),2()4,(+∞⋃--∞ .B (][)+∞⋃-∞-,24, .C )2,4(- .D (][)+∞⋃-∞-,42,8. 函y=||x xa x(0<a<1)的图象的大致形状是（ ）9．已知函数m m x f xx624)(-+=恰有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ） .A {}0,24- .B {}24- .C {}),0(24+∞⋃- .D ),0()24,(+∞⋃--∞10．已知点P 为△ABC 所在平面上的一点，且13AP AB t AC =+,其中t 为实数，若点P 落在△ABC 的内部，则t 的取值范围是A ．104t <<B ．103t << C. 102t << D ．203t <<Ⅱ卷（非选第择题 共100分）二、填空题：把答案填在答题卷题号后对应的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知0,2sin 2sin ,cos(2)2παπααα<<=-则= .12．已知数列12211,5,,()n n n a a a a a n N *++===-∈，则2011a 的值是______ . 13．设p ：|43|1x -≤；q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤．若p q ⌝⌝是的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围为________．14.已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=，若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y+的最小值是 .15．下面三个试题选做一题，并把答案填在答题卷题号后对应的横线上 :A ．曲线cos (1sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数）与曲线22cos 0ρρθ-=的交点个数为 . B ．设函数()|1||2|f x x x a =++--，若函数()f x 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 .C ．如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AC=6， 圆O 的半径为3，圆心O 到AC 的距离为5，则AD= .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题， 共75分）．16．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 中，（1）若231=a ，312a =，15-=n S ，求n 及12a ； （2）若10100S =，求74a a +17. （本小题满分12分） 已知向量()c o s s i n ,s i n a x xxωωω→=-，()cos sin ,23cos b x x x ωωω→=--，设函数()()f x a b x R λ→→=+∈的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()y f x =的图象经过点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数()y f x =在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的 取范值围18．（本小题满分12分）设函数L n x xbax x f +-=2)(若1()1,2f x x x ==在处取得极值,（1）求a 、b 的值；（2）存在，]2,41[0∈x 使得不等式0)(0≤-c x f 成立，求c 的最小值；19．（本小题满分12分） 如图，在某港口A 处获悉，其正东方向20海里B 处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西030据港口10海里的C 处，救援船接到救援命令立即从C 处沿直线前往B 处营救渔船. (1) 求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（2）试问救援船在C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？（已知72141sin 49cos 00==）20．（本小题满分13分） 数列}{n a 的前n 项和记为n S ，t a =1，121()n n a S n ++=+∈N ．（1）当t 为何值时，数列}{n a 是等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，且153=T ，又11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n T ．21 （本小题满分14分）设函数()()()212ln 1f x x x =+-+（1）若关于x 的不等式()0f x m -≥在[]0,1e -有实数解，求实数m 的取值范围； （2）设()()21g x f x x =--，若关于x 的方程()g x p =至少有一个解，求p 的最小值.（3）证明不等式：()()*111ln 1123n n N n+<++++∈30°1020北CBA2012-2013学年度第一学期高三年级第二次模拟考试数学（理科）试题参考答案注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大 题共10小题，每小题5分，共50分）．1—5 ADDAA 6—10 CADCDⅡ卷（非选第择题 共100分）二、填空题：把答案填在答题卷题号后对应的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 81512. 1 13. ［0 ， 21 ］ 14. 1815. A 2个 B a ≤3 C 32三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题， 共75分）．16.【解析】（Ⅰ）15)21(2)1(23-=--+⋅=n n n S n ，整理得06072=--n n ， 解之得12=n ，或5-=n （舍去），4)21()112(2312-=-⨯-+=a ---------6分（2）由1002)(1010110=+=a a S ，得20101=+a a ，2010174=+=+a a a a ---------------------12分17.（1）因为22()sin cos 23sin cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos23sin 2x x ωωλ=-++π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ． ≤又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5. ------------------------6分（2）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 26264λ=-⨯-=-=-，即2λ=-.故5π()2sin()236f x x =--，由3π05x ≤≤，有π5π5π6366x -≤-≤，所以15πsin()1236x -≤-≤，得5π122sin()22236x --≤--≤-，故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12,22]---.------- 12分18．解析（1）()21bf x ax nx x=-+，定义域为),0(+∞ 21'()2b f x a x x∴=++1()1,2f x x x ==在处取得极值， 1'(1)0,'()02f f ∴==即12103242013a a b a b b ⎧=-⎪++=⎧⎪⎨⎨++=⎩⎪=-⎪⎩解得 1,3a b ∴-1所求、的值分别为-3 …6分 （2）在1[,2],4o x 存在使得不等式min ()0[()]o f x c c f x -≤≥成立，只需，由2211'()33f x x x x =--+222313x x x -+=-2(21)(1)3x x x --=-， 11[,]'()0,42x f x ∴∈<当时，故1(),]2f x 1在[是单调递减4；当1[,1]'()02x f x ∈>时，，故1()[,1]2f x 在是单调递增;[1,2]'()0x f x ∈<当时，，故()[1,2]f x 在是单调递减;11()()[,2]24f f x ∴是在上的极小值．而1111()1122323f n n =+=-，7(2)126f n =-+，且3213()(2)14114,22f f n ne n -=-=- 又332160,1140e ne n ->∴->min [()](2)f x f ∴=， []2ln 67)(min +-=≥∴x f c -------12分19解：(1) 由题意得：ABC ∆中，CAB AC AB AC AB CB ∠⋅-+=∴cos 2222 即,700120cos 1020210200222=⨯⨯-+=CB 710=BC ，所以接到救援 命令时救援船据渔船的距离为710海里. ……………6 （2）ABC ∆中, ,20=AB 710=BC ,0120=∠CAB ,由正弦定理得C A BBCACB AB ∠=∠sin sin 即120sin 710sin 20∠=∠ACB 721sin =∠∴ACB 72141sin 49cos 00==，041=∠∴ACB ，故沿北偏东071的方向救援. --------------12分20. 解：（1）由121+=+n n S a ，可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即， ∴当2≥n 时，}{n a 是等比数列， 要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需31212=+=tt a a ，从而1=t ．----6分 （2）设}{n b 的公差为d ，由153=T 得15321=++b b b ，于是52=b ， 故可设d b d b +=-=5,531，又9,3,1321===a a a ，由题意可得2)35()95)(15(+=+++-d d ，解得10,221-==d d ， ∵等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，∴10,0-=<d d ∴2520)10(2)1(15n n n n n T n -=-⨯-+=． --------------13分 21.（1）依题意得m x f m ≥ax )(,[0,1]x e ?()12212)1(2)(++=+-+='x x x x x x f ，而函数)(x f 的定义域为),1(∞+- )(x f 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数，则)(x f 在]1,0[-e 上为增函数2)1()(2max -=-=∴e e f x f即实数m 的取值范围为22-≤e m ----------------- 4分（2）1)()(g 2--=x x f x )]1ln(x [2)1ln(22x x x +-=+-= 则函数)(g x 的最小值为0)0(g =所以，要使方程p x =)(g 至少有一个解，则0≥p ，即p 的最小值为0 ---9分 （3）由（2）可知： 0)]1ln(x [2)(g ≥+-=x x 在),1(∞+-上恒成立 所以 x x ≤+)1l n (，当且仅当x=0时等号成立令)(1x *N n n ∈=，则)1,0(∈x 代入上面不等式得：n n 1)11ln(<+ 即n n n 11ln <+， 即 nn n 1ln )1ln(<-+ 所以，11ln 2ln <-，212ln 3ln <-，313ln 4ln <-，…，nn n 1ln )1ln(<-+将以上n 个等式相加即可得到：nn 131211)1ln(++++<+ -----------------14分。
陕西省延安市数学高三上学期理数12月月考试卷
陕西省延安市数学高三上学期理数12月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·新宁模拟) 已知集合A={1，2}，B={2，7），则AUB=（）A . {1，2}B . {2，7}C . {1，7}D . {1，2，7}2. （2分）下列命题中是假命题的是（）A .B . ,C .D . ，3. （2分） (2017高一上·安庆期末) 已知锐角α终边上一点A的坐标为（2sin3，﹣2cos3），则角α的弧度数为（）A . 3B . π﹣3C . 3﹣D . ﹣34. （2分）已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=，则cos(a2+a8)的值为（）A .B .C .D .5. （2分）圆与直线没有公共点的充分不必要条件是（）A .B .C .D .6. （2分）(2020·随县模拟) 函数的部分图象大致为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·南宁月考) 已知椭圆C：，的上、下顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·瓦房店月考) 一个圆锥的母线长为，圆锥的母线与底面的夹角为，则圆锥的内切球的表面积为（）A .B .C .D .9. （2分）对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋6＝0与圆C：x2＋y2＋2x＝b2－1(b>0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为（）A . ( ，)B . (0， )C . (0， )D . ( ，)∪( ，＋∞)10. （2分）正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2则（）A . S1＝2S2B . S1＝3S2C . S1＝4S2D . S1＝2S211. （2分）已知点在椭圆上，则的最大值为（）A . -2B . -1C . 2D . 712. （2分）(2016·新课标Ⅰ卷文) 函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A . 4B . 5C . 6D . 7二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·慈溪期中) 在平面直角坐标系xOy中，直线l:mx-y-2m-1=0(m∈R)过定点________，以点(1，0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.14. （1分）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，则下列说法正确的序号是________①2a﹣3b+1＞0②a≠0时，有最小值，无最大值③且a≠1,,的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（）④存在正实数M，使恒成立．15. （1分）(2017·金山模拟) 方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是________（结果化为普通方程）16. （1分） (2019高三上·牡丹江月考) 如图正方体的棱长为，、、，分别为、、的中点.则下列命题：①直线与平面平行；②直线与直线垂直；③平面截正方体所得的截面面积为；④点与点到平面的距离相等；⑤平面截正方体所得两个几何体的体积比为 .其中正确命题的序号为________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）(2020·汨罗模拟) 已知等差数列的前n项和为，公差d为整数，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前n项和 .18. （5分） (2016高一下·湖北期中) △ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，1+ = ．（1）求A的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，求函数y=2sin2B﹣2cosBcosC的取值范围；（3）现在给出下列三个条件：①a=1；②2c﹣（ +1）b=0；③B=45°，试从中再选择两个条件，以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．19. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD 的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．20. （15分） (2019高一下·嘉定月考) 已知都是锐角，且当取得最大值时，求的值.21. （10分）(2020·秦淮模拟) 已知函数g（x）＝ex﹣ax2﹣ax，h（x）＝ex﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．①讨论f（x）的单调性；②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：．22. （10分）在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．23. （10分）(2017·绵阳模拟) 已知函数f（x）=|3x﹣a|+|3x﹣6|，g（x）=|x﹣2|+1．（Ⅰ）a=1时，解不等式f（x）≥8；（Ⅱ）若对任意x1∈R都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、。
2015年全国各地高考数学试题陕西理
2015年全国各地高考数学试题（陕西卷）理一、选择题1.设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M N =A.[]0,1B.(0,1]C.[0,1)D.(,1]-∞ 【答案】A【解析】因为{0,1},{01}M N x x ==<≤,所以[0,1]M N =.2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 （ ）.A.93B.123C.137D.167【答案】C【解析】根据扇形统计图知,该校女教师的人数为11070%15040%137⨯+⨯=. 3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++.据此函数可知,这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）. A.5 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】由图知,当1)6sin(-=+ϕπx 时,函数取得最小值2,即2)1(3=+-⨯k ,所以5=k .因此,函数的最大值是8513=+⨯.故水深的最大值为8m.4.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15,则n =（ ）. A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B【解析】二项式的展开式的通项公式为),0(1+-+∈≤≤=N r n r x C T rn r n r ,依题意⎩⎨⎧==-,15,2rn C r n 解得⎩⎨⎧==.4,6r n 5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）.A.3πB.4πC.24π+D.34π+【答案】D【解析】根据三视图可以确定该几何体是一个底面半径为1,高为2的半圆柱,其表面积是4322122+=⨯+⨯+⨯πππ.6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 A解析：Z k k ∈+=⇔=⇔=,41tan cos sin ππαααα,而cos 20,42k k Z ππαα=⇔=+∈,后者真包含于前者,所以前者是后者的充分不必要条件.. 7.对任意向量,a b ,下列关系式中不恒成立．．．．的是（ ）. A.||||||a b a b ∙≤ B.||||||a b a b -≤- C.22()||a b a b +=+ D.22()()a b a b a b +-=-【答案】B【解析】由向量数量积的性质易知（C ）（D ）都正确；对于（A ）（B ）,取)0,1(=a ,)0,1(-=b ,1==,0a b =2=,所以（A ）正确,（B ）不正确,故选（B ）.8.根据右边框图,当输入x 为2006时,输出的y =（ ）. A.2 B.4 C.10 D.28【答案】C【解析】x 从2006开始依次少2,所以0<x 时取的第一个为-2,此时1013)2(=+=--y ,故输出的值为10.9.设()ln ,0f x x a b =<<,若p f =,()2a b q f +=,1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是（ ）.A.q r p =<B.p r q =<C.q r p =>D.p r q => 【答案】B【解析】因为x x f ln )(=,所以r b a ab p =+==)ln (ln 21ln .又0>>a b ,所以ab b a >+2.所以p ab ba q =>+=ln 2ln .故q r p <=. 10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为（ ）.【答案】D【解析】设生产甲、乙产品分别为y x ,吨,每天获利z 万元,则⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,821223y x y x y x ,y x z 43+=. 作出可行域,如图1四边形OABC 所示.平移直线043=+y x 知,y x z 43+=在点B （2,3）处取得最大值,即183423max =⨯+⨯=z （万元）.11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈,若||1z ≤,则y x ≥的概率为（ ）. A.3142π+ B.112π+ C.112π- D.1142π- 【答案】D 【解析】由1)1(22≤+-=y x z ,得1)1(22≤+-y x ,即点),(y x 所在的区域是以（1,0）为圆心,1为半径的圆盘,则满足x y ≥为如图2阴影部分（弓形OA ）,故x y ≥的概率22211111142142P πππ⨯-⨯==-⨯. 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整．数．）,四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是（ ）. A.-1是()f x 的零点 B.1是()f x 的极值点C.3是()f x 的极值D.点(2,8)在曲线()y f x =上【答案】A【解析】由题意可知四个选项中,必有3个同时正确.假设（B ）,（C ）,（D ）正确,由（B ）,（C ）正确,可设()()213f x a x =-+,将点(2,8)代入函数得5a =,符合题意,即假设正确,所以结论（A ）必错. 二、填空题13.中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为 . 【答案】5【解析】设该数列为{}n a ,首、末项为n a a ,1,当n 为奇数12+k 时,有11212++=+k k a a a 10102⨯=,得51=a ；当n 为偶数k2时,有121++=+k k k a a a a 10102⨯=,得51=a .14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点,则p = . 【答案】 22【解析】因为双曲线122=-y x 中,122==b a ,所以2=c .依题意,直线2p x -=经过点)0,2(-,所以22-=-p,得22=p . 15.设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 【答案】（1,1）【解析】 由x e y =',得曲线xe y =在点（0,1）处的切线斜率等于10=e .又对xy 1=求导,得21x y -=,设)0)(1,(>m m m P ,则112-=-m,解得1=m ,于是)1,1(P . 16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示）,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .【答案】65【解析】由高及腰与水平面夹角等于045,知等腰梯形的下底边长为62210=⨯-,所以梯形的面积⨯+=)610(211S 2=16.以下底边中点为原点,向右为x 轴正方向建立直角坐标系,则抛物线方程为2252x y =)55(≤≤-x ,那么有泥沙时水流量的面积340]25252[2522=-⨯=⎰dx x S .故原始最大流量与当前最大流量的比值为5621=S S . 三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为a ,b ,c .向量(),3m a b =与()cos ,sin n A B =平行.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2b =,求ABC ∆的面积.解：（Ⅰ）因为m ∥n ,所以sin cos 0a B A =,由正弦定理,得sin sin cos 0A B B A =,又sin 0B ≠,从而tan A =由于0A π<<,所以3A π=. （Ⅱ）解法一 由余弦定理,得2222cos a b c bc A =+-,而a =2b =,3A π=,得2742c c =+-,即2230c c --=, 因为0c >,所以3c =.故ABC ∆的面积为1sin 2bc A =.解法二 由正弦定理,2sin sin 3B =,从而sin B =又由a b >,知A B >,所以cos 7B =.故sin sin()sin()sin coscos sin333C A B B B B πππ=+=+=+=.所以ABC ∆的面积为1sin 2ab C =. 18.（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中,//AD BC ,2BAD π∠=,1AB BC ==,2AD =,E 是AD的中点,O 是AC 与BE 的交点.将ABE ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置,如图2.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1AOC ； （Ⅱ）若平面1A BE ⊥平面BCDE ,求平面1A BC 与平面1ACD 夹角的余弦值. 解：（Ⅰ）在图1中,因为1AB BC ==,2AD =,E 是AD 的中点,2BAD π∠=,所以BE AC ⊥.即在图2中,1,,BE OA BE OC ⊥⊥从而1BE AOC ⊥平面, 又//CD BE ,所以CD ⊥平面1AOC . （Ⅱ）由已知平面1A BE ⊥平面BCDE ,又由（Ⅰ）知,1,,BE OA BE OC ⊥⊥ 所以1AOC ∠为二面角1A BE C --的平面角,所以12AOC π∠=. 如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为111A B A E BC ED ====,//BC ED ,所以1,,0,0,,0,,2222B E A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得()12222,,0,0,,,2,0,0.2222BC AC CD BE ⎛⎫⎛⎫=-=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 设平面1A BC 的法向量()1111,,n x y z =,平面1ACD 的法向量()2222,,n x y z =,平面1A BC 与平面1ACD 夹角为θ,则1110,0,n BC n A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩11110,0,x yy z -+=⎧⎨-=⎩得取()11,1,1n = ； 2210,0,n CD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩2220,0,x y z =⎧⎨-=⎩得取()20,1,1n = , 从而12cos cos ,n n θ=<>==, 即平面1A BC 与平面1ACD夹角的余弦值为319.（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 解：（Ⅰ）由统计结果可得T（分钟）.（Ⅱ）设12,T T 分别表示往、返所需时间,12,T T 的取值相互独立,且与T 的分布列相同. 设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一 121212()(70)(25,45)(30,40)P A P T T P T T P T T =+≤==≤+=≤1212(35,35)(40,30)P T T P T T +=≤+=≤ 0.210.310.40.90.10.50.91.=⨯+⨯+⨯+⨯=解法二 121212()(70)(35,40)(40,35)P A P T T P T T P T T =+>===+==12(40,40)P T T +==0.40.10.10.40.10.10.09.=⨯+⨯+⨯=故()1()0.91P A P A =-=.20.（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ,原点O 到经过两点(),0c ,()0,b 的直线的距离为12c .（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图,AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径,若椭圆E 经过,A B 两点,求椭圆E 的方程.解：（Ⅰ）过点(),0c ,()0,b 的直线方程为0bx cy bc +-= , 则原点O到该直线的距离bcd a==, 由 12d c =,得2a b ==解得离心率2c a =. （Ⅱ）解法一 由（Ⅰ）知,椭圆E 的方程为22244.x y b +=①依题意,圆心(2,1)M -是线段AB 的中点,且AB =易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为(2)1y k x =++,代入①得2222(14)8(21)4(21)40.k x k k x k b +++++-=设1122(,),(,)A x y B x y ,则221212228(21)4(21)4,1414k k k b x x x x k k++-+=-=++. 由124x x +=-,得28(21)414k k k +-=-+,解得1.2k = 从而21282.x x b =-于是12AB x =-==由AB=解得23b =.故椭圆E 的方程为221.123x y += 解法二 由（Ⅰ）知,椭圆E 的方程为22244.x y b += ②依题意,点,A B 关于圆心(2,1)M -对称,且AB = 设1122(,),(,)A x y B x y ,则222222112244,44,x y b x y b +=+=两式相减并结合124x x +=-,122y y +=,得12124()8()0.x x y y --+-=易知AB 与x 轴不垂直,则12x x ≠, 所以AB 的斜率12121.2AB y yk x x -==-因此直线AB 的方程为1(2)12y x =++,代入②得224820.x x b ++-= 所以124x x +=-,21282.x x b =-于是12AB x =-==由AB=解得23b =.故椭圆E 的方程为221.123x y += 21.（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1,x ,2x ,⋅⋅⋅,n x 的各项和,其中0x >,n ∈N ,2n ≥.（Ⅰ）证明：函数()()2n n F x f x =-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ）,且11122n n n x x +=+； （Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为()n g x ,比较()n f x 和()n g x 的大小,并加以证明. 解：（Ⅰ）()()2212,n n n F x f x x x x =-=++++-则()110,n F n =->12111111121220,12222212n nn n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点. 又()/1120,n n F x x nx -=+++>故()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增,所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x . 因为n x 是()n F x 的零点,所以()0n n F x =,即11201n n n x x +--=-,故11122n n n x x +=+.（Ⅱ）解法一 由题设,()(1)(1)2n n n x g x ++=.设()()2(1)(1)()1,02n nn n n x h x f x g x x x x x ++=-=++++->. 当1x =时,()()n n f x g x =.当1x ≠时,()1/1(1)122n n n n x hx x nx--+=+++-.若01,x <<()11/1111(1)(1)(1)20222n n n n n n n n x n n n n x h x x x nx x ------+++>+++-=-=.若()11/1111(1)(1)(1)1,20222n n n n n n n n x n n n n x x h x x x nx x ------+++><+++-=-=. 所以()h x 在()0,1上递增,在()1,+∞上递减,所以()()10h x h <=,即()()n n f x g x <.综上所述,当1x =时,()()n n f x g x =；当1x ≠时,()()n n f x g x <. 解法二 由题设,2()1,nn f x x x x =++++()(1)(1),0.2n n n x g x x ++=> 当1x =时,()()n n f x g x =.当1x ≠时,用数学归纳法证明()()n n f x g x <.① 当2n =时,()()2221()102f xg x x -=--<,所以()22()f x g x <成立. ② 假设(2)n k k =≥时,不等式成立,即()()k k f x g x <. 那么,当1n k =+时,()()11111(1)(1)2(1)1()22k k k k k k k k k k x x k x k f x f x x g x x x +++++++++++=+<+=+=.又1112(1)1(1)1()22k k k k k x k x k kx k x g x +++++++-++-=,令()1(1)1(0)k kk h x kx k x x +=-++>,则()/11(1)(1)(1)(1)k k k kh x k k x k k x k k x x --=+-+=+-.所以当01x <<时,()/0k h x <,()k h x 在()0,1上递减；当1x >时,()/0k h x >,()k h x 在()1,+∞上递增.所以()()10k k h x h >=,从而112(1)1()2k k k x k x k g x ++++++>.故11()()k k f x g x ++<,即1n k =+时不等式也成立.由①和②知,对一切2n ≥的整数,都有()()n n f x g x <. 解法三 由已知,记等差数列为{}k a ,等比数列为{},1,2,, 1.k b k n =+则11111,nn n a b a b x ++====,所以111(1)(2),(2)n k k k x a k k n b x k n n--=+-≤≤=≤≤, 令1(1)(1)()1,0(2)n k k k k k x m x a b x x k n n---=-=+->≤≤, 当1x =时,k k a b =,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时,/12211()(1)(1)(1)n k k n k k k m x nx k x k x x n----+-=--=--. 而2k n ≤≤,所以10,11k n k ->-+≥.若1/01,1,()0n k k x xm x -+<<<<；若1/1,1,()0n k k x x m x -+>>>,从而()k m x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增, 所以()()10k k m x m >=,所以当0x >且1x ≠时,(2),k k a b k n >≤≤ 又1111,,n n a b a b ++== 故()()n n f x g x <.综上所述,当1x =时,()()n n f x g x =；当1x ≠时,()()n n f x g x <.请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,AB 切O 于点B ,直线AO 交O 于,D E 两点,BC DE ⊥,垂足为C .（Ⅰ）证明：CBD DBA ∠=∠；（Ⅱ）若3AD DC =,BC =,求O 的直径. 解：（Ⅰ）因为DE 为O 直径, 则090,BED EDB ∠+∠=又BC DE ⊥,所以090CBD EDB ∠+∠=,从而CBD BED ∠=∠. 又AB 切O 于点B ,得DBA BED ∠=∠, 所以CBD DBA ∠=∠.（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分CBA ∠, 则3BA ADBC CD==,又BC从而AB =所以4AC ==,所以3AD =.由切割线定理得2AB AD AE =,即26AB AE AD==,故3DE AE AD =-=,即O 的直径为3.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中,直线l的参数方程为13,22x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为ρθ=. （Ⅰ）写出C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解：（Ⅰ）由ρθ=,得2sin ρθ=,从而有22x y +=,所以22(3x y +=.（Ⅱ）设132P t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭,又(C ,则PC ==故当0t =时,PC 取得最小值,此时,P 点的直角坐标为()3,0.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<. （Ⅰ）求实数a ,b 的值；的最大值.解：（Ⅰ）由x a b +<,得b a x b a --<<- 则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3,1a b =-=.=4==,=即1t =时等号成立,故max 4=.。
【陕西版】2015届高三上学期月考(2)数学理 Word版含答案
2015届上学期高三一轮复习第二次月考数学（理）试题【陕西版】一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于（）．A．1 B．C．2 D．33．已知sin＝13，则cos（π＋2α）的值为（）．A．－13B．－79C．13D．794．设f（x）＝若f[f（1）]＝1，则a＝（）．A．－1 B．0 C．1 D．25．已知|a|＝1，|b|＝6，a·（b－a）＝2，则向量a与向量b的夹角是（）．A． 30°B． 45°C．60°D．90°6．将函数y＝sin 2x的图象向上平移1个单位长度，再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（）．A．y＝2cos2x B．y＝2sin2x C．y＝1＋sin D．y＝1＋sin 7．已知为等比数列，，，则（）8．若函数f（x）＝（k－1）a x－a－x（a>0，且a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g （x）＝log a（x＋k）的图象是（）．9．设a，b，c均为正数，且，，，则（）．A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c10．函数f（x）＝－x3－ax2＋2bx（a，b∈R）在区间[－1,2]上单调递增，则的取值范围是（）．A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，－1）D．（－1,2）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置上．）11．已知向量夹角为，且；则12．已知数列{a n}的通项a n与前n项和S n之间满足关系S n＝2－3a n，则a n＝________．13．已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（0）=14．若函数f（x）＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．15．设函数f（x）＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，y＝f（x）是奇函数；②b＝0，c>0时，方程f（x）＝0只有一个实数根；③y＝f（x）的图象关于点（0，c）对称；④方程f（x）＝0最多有两个实根．其中正确的命题是________（写出序号）．三、解答题：（共75分）16．（12分）设向量（I）若（II）设函数，17．（12分）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．18．（12分）已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的极值．19．（12分）如图，为了计算河岸边两景点B 与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点．现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离（假设A，B，C，D在同一平面内）．20．（13分）已知向量且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角。
15年高考真题——理科数学(陕西卷)-推荐下载
（A）0,1 （B） 0,1 （C）0,1 （D） ,1
2．某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教
师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )
（A）167
（B）137
3．如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近
似满足函数
y
3sin
时间水深（单位： m ）的最大值为( )
1 2 ,1内有且仅有一个零点（记为 xn ），且
xn
1 2
1 2
n1
xn
；⑵设有一个与上述等比数列的首项、末
项、项数分别相同的等差数列，其各项
和为 gn x，比较 fn x与 gn x的大 A
小，并加以证明。
请在 22、23、24 三题中任选一题作答，
如果多做，则按所做的第一题计分。作 B
答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的 题号后的方框涂黑。
22．（本小题满分 10 分）如图， AB 切 A O 于点 B ，直线 AD 交 A O 于 D, E 两点，
BC DE ，垂足为 C 。
⑴证明： CBD DBA ；⑵若 AD 3DC ， BC 2 ，求 A O 的直径。
（A）充分不必要条件
（C）充分必要条件
（C）8
（C）6
（C） 2 4
（B）必要不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
7．对任意向量 a, b ，下列关系式中不恒成立的是( )
（A）| a b || a || b |
（C）
（A）8
q
）
1/7
a b
2
|
a
2015年高考理科数学陕西卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共32页） 数学试卷 第2页（共32页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学注意事项:1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（共60分）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求（本大题共12小题,每小题5分,共60分）. 1.设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M N = ( )A .[0,1]B .(0,1]C .[0,1)D .(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 ( ) A .93 B .123 C .137D .1673.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数π3sin()6y x k ϕ=++,据此函数可知,这段时间水深（单位:m ）的最大值为 ( )A .5B .6C .8D .104.二项式*(1)()nx n +∈Ν的展开式中2x 的系数为15,则n =( )A .7B .6C .5D .45.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 ( ) A .3π B .4π C .2π+4D .3π+46.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是( )A .|a b |≤|a ||b |B .|a -b |≤||a |-|b ||C .(a +b )2=|a +b |2D .(a +b )(a -b )=a 2-b 28.根据如图所示的程序框图,当输入x 为2 006时,输出的y =( )A .2B .4C .10D .289.设()ln f x x =,0a b <<,若p f =,()2a bq f +=,1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是( )A .q r p =<B .p r q =<C .q r p =>D .p r q =>10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1 吨甲、乙产品可获利润分别为3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A .12 万元B .16 万元C .17 万元D .18 万元 11.设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ,若||1z ≤,则y x ≥的概率为( )A .3142π+ B .112π+ 姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共32页） 数学试卷 第4页（共32页）C .112π- D .1142π- 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数）,四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A .1-是()f x 的零点B .1是()f x 的极值点C .3是()f x 的极值D .点(2,8)在曲线()y f x =上第二部分（共90分）二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题,每小题5分,共20分）. 13.中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 .14.若抛物线22(0)y p xp =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点,则p = .15.设曲线xy e =在点(0,1)处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 .16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示）,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题,共70分）. 17.（本小题满分12分）ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量m ()a =与n (cos ,sin )A B =平行. （Ⅰ）求A ;（Ⅱ）若a =2b =,求ABC △的面积.18.（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,π2BAD ∠=,1AB BC ==,2AD =,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点．将ABE △沿BE 折起到1A BE △的位置,如图2.（Ⅰ）证明:CD ⊥平面1A OC ;（Ⅱ）若平面1A BE ⊥平面BCDE ,求平面1A BC 与平面1A CD 夹角的余弦值.19.（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100（Ⅰ）求T （Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ,原点O 到经过两点(,0)c ,(0,)b 的直线的距离为12c .（Ⅰ）求椭圆E 的离心率;（Ⅱ）如图,AB 是圆M :225(2)(1)2x y ++-=的一条直径,若椭圆E 经过A ,B 两点,求椭圆E 的方程.21.（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列,x ,2x ,⋅⋅⋅,n x 的各项和,其中0x >,n ∈Ν,2n ≥.（Ⅰ）证明:内有且仅有一个零点（记为n x ）,且,其各项和为()n g x ,比较()n f x 与()n g x 的大小,并加以证明.考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,AB 切O 于点B ,直线AO 交O 于D , E 两点,BC DE ⊥,垂足为C . （Ⅰ）证明:CBD DBA ∠=∠;（Ⅱ）若3AD DC=,BC =求O 的直径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为13,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点,数学试卷 第5页（共32页） 数学试卷 第6页（共32页）x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C 的极坐标方程为ρθ=. （Ⅰ）写出C 的直角坐标方程;（Ⅱ）P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知关于x 的不等式||b x a +<的解集为{|24}x x <<. .数学试卷 第7页（共32页）数学试卷 第8页（共32页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析第一部分一、选择题 1.【答案】A【解析】由2{|}{0,1},M x x x M ==⇒=N {|lg 0}N {|01}x x x x =≤⇒=<≤所以[0,1]MN =．【提示】求解一元二次方程化简M ，求解对数不等式化简N ，然后利用并集运算得答案 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】初中部女教师的人数为11070%77⨯=；高中部女教师的人数为40150%60⨯=，∴该校女教师的人数为7760137+=，【提示】利用百分比，可得该校女教师的人数． 【考点】收集数据的方法．4.【答案】B【解析】二项式(1)n x +的展开式的通项是1r rr n T C x +=，令2r =得2x 的系数是2n C ，因为2x 的系数为15，所以215n C =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-， 因为n N +∈，所以6n =5 / 16【提示】由题意可得215nC =，解关于n 的方程可得． 【考点】二项式定理的应用． 5.【答案】D【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为2π1π1222V =+⨯⨯+⨯g 几何体3π4=+【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积． 【考点】由三视图求面积，体积 6.【答案】A【解析】22cos20cos sin 0ααα=⇒-=(cos sin )(cos sin )0αααα⇒-+=所以sin cos sin =cos αααα=-或【提示】由22cos2cos sin ααα=-，即可判断出． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 7.【答案】B【解析】因为||||cos ,||||a b a b a b a b =<>≤r r r r r r r rg ，所以选项A 正确；当a r 与b r 方向相反时，||||||a b a b -≤-r r r r不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；22(a b)(a b)a b +-=-r r r r r r 所以选项D 正确【提示】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． 【考点】平面向量数量积的运算 8.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得 20062004x x ==，满足条件02002x x ≥=， 满足条件02000x x ≥=， ……满足条件00x x ≥=，数学试卷 第11页（共32页）数学试卷 第12页（共32页）满足条件0x ≥， 不满足条件010x y ≥=， 输出y 的值为10【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 的值，当2x =-时不满足条件0x≥，计算并输出y 的值为10. 【考点】程序框图 9.【答案】B【解析】p f ==ln22a b a b q f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()11()()ln 22r f a f b ab =+==函数()ln f x x =在(0,)+∞上单调递增，因为2a b+2a b f f +⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以q p r >=即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元7 / 16【提示】设每天生产甲乙两种产品分别为x ，y 顿，利润为z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值． 【考点】简单线性规划的应用4242π12.【答案】A【解析】假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+， 因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨=⎩，203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得23b a c a=-⎧⎨=+⎩，因为点(2,8)在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=， 解得：5a =，所以10b =-，8c =， 所以2()5108f x x x =-+因为()215(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠， 所以1-不是()f x 的零点，所以假设成立，选A【提示】可采取排除法．分别考虑A ，B ，C ，D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断是否为非零整数，数学试卷 第15页（共32页）数学试卷 第16页（共32页）即可得到结论．【考点】二次函数的性质．第二部分二、填空题 13.【答案】5【解析】解：设该等差数列的首项为a ，由题意和等差数列的性质可得201510102a +=⨯ 解得5a =【提示】由题意可得首项的方程，解方程可得． 【考点】等差数列 14.【答案】【解析】抛物线22(0)y pxp =>的准线方程是2p x =-， 双曲线221x y -=的一个焦点1(F ， 因为抛物线22(0)y px p =>的准线 经过双曲线221x y -=的一个焦点， 所以p-=p =9 / 16∴点()1,1P【提示】利用x y e =在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程17.【答案】（Ⅰ）π3A = 2sin sin 3B =，从而sin B =，数学试卷 第19页（共32页）数学试卷 第20页（共32页）又由a b >，知A B >，所以cos B =故sin sin()C A B =+πsin 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33B B =+ 所以ABC ∆的面积为1sinbc A =18.【答案】（Ⅰ）见解析 ，取1)1(0n =，，，11 / 16332ET =（分钟）（Ⅱ）0.91数学试卷 第23页（共32页）数学试卷 第24页（共32页）（Ⅱ）221x y +=【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，曲线与方程13 / 1622.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求O的直径．数学试卷第27页（共32页）数学试卷第28页（共32页）15 / 1623.【答案】（Ⅰ）22(3x y +=（Ⅱ）()3,0P24.【答案】（Ⅰ）31a b =-⎧⎨=⎩数学试卷第31页（共32页）数学试卷第32页（共32页）。
陕西省延安中学2015届高三数学上学期第五次月考试卷理(含解析)
陕西省延安中学2015届高三上学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的（每小题5分，共60分）1．已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，若A⊆B，则a的值为( )A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：本题的关键是集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，若A⊆B，根据集合元素的互异性与唯一性，求出a的值解答：解：∵A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，且A⊆B∴a+2=1∴a=﹣1故选：B点评：题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．2．命题“若x＞﹣3，则x＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个考点：四种命题间的逆否关系；命题的真假判断与应用．专题：规律型．分析：根据四种命题的关系以及互为逆否命题的等价性进行判断即可．解答：解：根据互为逆否命题的等价性只需判断原命题和逆命题的真假性即可．原命题：若x＞﹣3，x＞﹣6成立，∴原命题正确，逆否命题也正确．逆命题：若x＞﹣6，则x＞﹣3，不成立，∴逆命题错误，否命题也错误．故四个命题中，真命题的个数为2．故选：B．点评：本题主要考查四种命题之间的关系以及命题真假的判断，利用互为逆否命题的等价性是解决本题的捷径．3．已知等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，记S n=a1+a2+…+a n，则S13的值为( )A．260 B．168 C．156 D．130考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用a5+a9﹣a7=10求出a7的值，把S13的13项中项数相加为14的项结合在一起，根据等差数列的性质化简后，将a7的值代入即可求出值．解答：解：根据等差数列的性质可知a5+a9=2a7，根据a5+a9﹣a7=10，得到a7=10，而S13=a1+a2+…+a13=（a1+a13）+（a2+a12）+（a3+a11）+（a4+a10）+（a5+a9）+（a6+a8）+a7=13a7=130 故选D点评：考查学生灵活运用等差数列性质的能力．本题的突破点是项数相加为14的结合在一起．4．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为( )A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：函数的性质及应用．分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．5．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则( )A．ω=1，φ=B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ=D．ω=2，φ=﹣考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；综合题．分析：通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，1）确定φ，推出选项．解答：解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，所以2×+φ=，φ=﹣．故选D．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力．6．若函数f（x）=x3﹣bx，（b∈R）在区间（1，2）上有零点，则b的取值范围是( ) A．（4，+∞）B．（1，4）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣∞，1）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由根的存在性定理，令f（1）•f（2）＜0，解不等式，求出b的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=x3﹣bx在区间（1，2）上有零点，∴f（1）•f（2）＜0，即（1﹣b）（8﹣2b）＜0；∴（b﹣1）（b﹣4）＜0，解得1＜b＜4，∴b的取值范围是（1，4）．故选：B．点评：本题考查了函数零点的应用问题，解题的关键是由根的存在性定理列出不等式，是基础题目．7．设O为坐标原点，点M的坐标为（1，1），若点N（x，y）的坐标满足，则的最大值为( )A．B．2 C．3 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据向量的数量积关系结合线性规划的内容进行求解即可．解答：解：∵M的坐标为（1，1），∴•=x+y，设z=x+y，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（3，0）或B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=x+y得z=3+0=3．即的最大值为3．故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用平面向量的数量积结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强．8．若f（x）为奇函数且在（0，+∞）上递增，又f（2）=0，则的解集是( )A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，2）∪（0，2） C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）考点：奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f（2）=0，得到当0＜x＜2时，f （x）＜0；当x≥2时，f（x）≥0．再结合函数为奇函数证出：当x≤﹣2时，f（x）≤0且﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，最后利用这个结论，将原不等式变形，讨论可得所求解集．解答：解：∵f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f（2）=0，∴当0＜x＜2时，f（x）＜0；当x≥2时，f（x）≥0又∵f（x）是奇函数∴当x≤﹣2时，﹣x≥2，可得f（﹣x）≥0，从而f（x）=﹣f（﹣x）＜0．即x≤﹣2时f （x）≤0；同理，可得当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0．不等式可化为：，即∴或，解之可得x＞2或x＜﹣2所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：D．点评：本题以抽象函数为例，在已知f（x）的单调性和奇偶性的基础之上求解关于x的不等式，着重考查了函数的单调性与奇偶性的知识点，属于中档题．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，分别求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，其底面面积S=2×2=4，高h=2×=，故该几何体的体积V=Sh=×4×=，故选：D点评：根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是2015届高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．10．已知双曲线和椭圆的离心率之积大于1，那么以a，b，m为边的三角形是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形考点：圆锥曲线的共同特征；三角形的形状判断．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线、椭圆的离心率之积大于1，建立不等式，结合余弦定理，即可求得结论．解答：解：由题意，∴﹣a2b2+b2m2﹣b4＞0∴a2+b2﹣m2＜0∴∴m所对的角为钝角∴以a，b，m为边的三角形是钝角三角形故选B．点评：本题考查双曲线、椭圆的离心率，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．11．△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则sinB+sinC的最大值为( )A．0 B．1 C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，进而确定出A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入原式中利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出sinB+sinC的最大值即可．解答：解：把2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，利用正弦定理化简得：2a2=b（2b+c）+c（2c+b），整理得：b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，∴A=120°，即B+C=60°，∴C=60°﹣B，∴sinB+sinC=sinB+sin（60°﹣B）=sinB+cosB﹣sinB=sinB+cosB=sin（B+60°），∵0＜B＜60°，∴60°＜B+60°＜120°，∴＜sin（B+60°）≤1，即＜sinB+sinC≤1，则sinB+sinC的最大值为1，故选：B．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．12．若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是( )A．4 B．2C．2 D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，求出切线方程根据直线和圆相切得到a，b的关系式，利用换元法即可得到结论．解答：解：函数的f（x）的导数f′（x）=，在x=0处的切线斜率k=f′（0）=，∵f（0）=﹣，∴切点坐标为（0，﹣），则在x=0处的切线方程为y+=x，即切线方程为ax+by+1=0，∵切线与圆x2+y2=1相切，∴圆心到切线的距离d=，即a2+b2=1，∵a＞0，b＞0，∴设a=sinx，则b=cosx，0＜x＜，则a+b=sinx+cosx=sin（x），∵0＜x＜，∴＜x＜，即当x=时，a+b取得最大值为，故选：D点评：本题主要考查导数的几何意义，以及直线和圆的位置关系，综合考查了换元法的应用，综合性较强．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．已知|AF|=2，则到准线的距离也为2，根据图形AFKA1是正方形．则易得AB⊥x轴，即可得答案．解答：解：由抛物线的定义．抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．已知|AF|=2，则到准线的距离也为2．根据图形AFKA1，是正方形．可知|AF|=|AA1|=|KF|=2∴AB⊥x轴故|AF|=|BF|=2．故填|BF|=2．点评：活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法．到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化到准线的距离求解．14．已知点A（a，1）和曲线C：x2+y2﹣x﹣y=0，若过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点，则实数a的取值范围是[0，1]．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：求出圆的圆心，利用直线和圆的位置关系进行判断．解答：解：∵圆的标准方程为（x﹣）2+（y﹣）2=，∴圆心坐标为（，），半径r=．当y=1时，方程x2+y2﹣x﹣y=0为x2+1﹣x﹣1=0，即x2﹣x=0，解得：x=0或x=1，要使过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点，则点A应该在圆上或者在圆内，则a满足0≤a≤1，故答案为：[0，1]．点评：本题主要考查直线和圆位置关系的判断，根据条件判断出点A在圆上或者在圆内是解决本题的关键．15．设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为3．考点：基本不等式；二次函数的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：先判断a、c是正数，且ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．解答：解：∵二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），∴a＞0，△=16﹣4ac=0，∴ac=4，则c＞0，∴≥2=2=3，当且仅当，=时取到等号，∴的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查函数的值域及基本不等式的应用，求解的关键就是求出a与c的关系，属于基础题．16．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有24种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：根据题意，首先分析甲，易得甲可以放在B、C班，有2种情况，再分两种情况讨论其他三名同学，即①A、B、C每班一人，②、B、C中一个班1人，另一个班2人，分别求出其情况数目，由加法原理可得其他三人的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．解答：解：甲同学不能分配到A班，则甲可以放在B、C班，有A21种方法，另外三个同学有2种情况，①、三人中，有1个人与A共同分配一个班，即A、B、C每班一人，即在三个班级全排列A33，②三人中，没有人与甲共同参加一个班，这三人都被分配到甲没有分配的2个班，则这三中一个班1人，另一个班2人，可以从3人中选2个为一组，与另一人对应2个班，进行全排列，有C32A22种情况，另外三个同学有A33+C32A22种安排方法，∴不同的分配方案有A21（A33+C32A22）=24，故答案为24．点评：本题考查计数原理的应用，解题注意优先分析排约束条件多的元素，即先分析甲，再分析其他三人．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共5小题，共70分）17．已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若cosθ=，θ∈（0，），求f（2θ﹣）．考点：正弦函数的图象；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由已知及正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．（Ⅱ）由已知即可求得sinθ，sin2θ，cos2θ的值，代入=即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为所以函数f（x）的值域为[﹣2，2]（Ⅱ）因为所以，所以，所以=====点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．考点：等比数列的通项公式；数列的求和．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由{a n}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{a n}的通项公式（Ⅱ）由{b n}是首项为1，公差为2的等差数列可求得b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{a n+b n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）∵设{a n}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q=2∴{a n}的通项公式为a n=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{b n}是首项为1，公差为2的等差数列∴b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{a n+b n}的前n项和S n=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明，即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直，即可证明线面垂直．（2）建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．解答：解：（I）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3∴AB2=AC2+BC2∴BC⊥AC∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ACFE（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1）∴设为平面MAB的一个法向量，由得取x=1，则，∵是平面FCB的一个法向量∴∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，当时，cosθ有最大值．∴．点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便于找到线面之间的平行、垂直关系，并且对建立坐标系也有一定的帮助，利用向量法解决空间角空间距离是最好的方法．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．解答：解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．所以椭圆C的标准方程是．（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若||=||成立，即||2=||2，等价于．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•，化简得7m2=12+12k2．将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，从而，解得或．所以实数m的取值范围是．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．21．已知向量=（lnx，1﹣alnx），=（x，f（x）），∥，f′（x）为函数f（x）的导函数（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的最小值；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[e，e2]，使得f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的运算；平行向量与共线向量．专题：导数的综合应用；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）由∥得f（x）=﹣ax，然后求导数，再由函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，可得f′（x）=≤0对x＞1恒成立，转化为求最值，（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）﹣a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f （x）min≤f′（x）max﹣a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想能求出实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵向量=（lnx，1﹣alnx），=（x，f（x）），∥，∴lnx•f（x）=x（1﹣alnx）（x＞0），∴f（x）==﹣ax，∴f′（x）=，∵函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴f′（x）=≤0对x＞1恒成立，即a≥对x＞1恒成立，令g（x）==﹣，令=t，x＞1，lnx＞0，t∈（0，+∞），g（t）=﹣t2+t，为二次函数，图象开口向下，对称轴为t=，则t=时，g（t）取得最大值，所以a≥，∴实数a的最小值为，（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，f′（x）═﹣﹣a=﹣（﹣）2+﹣a≤﹣a，f′（x）max+a=，则问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，①当a≤﹣时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=﹣ae2≤，∴a≥﹣，与a≤﹣矛盾，②a＞﹣时，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]，∵f′（x）=，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=﹣ax0，要使f（x）min≤，∴a≥﹣＜﹣=，∴此时a≥，综上，实数a的取值范围为[，+∞）．点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，则按所做的第一题计分．选修1-4：几何证明选讲22．已知：如图，在Rt△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接EA交⊙O于点F．求证：（Ⅰ）DE是⊙O的切线；（Ⅱ）BE•CE=EF•EA．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：推理和证明．分析：（Ⅰ）连结OD，由已知得∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠C，从而∠ODA=∠C，进而DO∥BC，由此能证明DE是⊙O的切线．（Ⅱ）连接BD，由已知得∠BDA=90°，∠BDC=90°，DE2=BE•CE，由此利用切割线定理能证明BE•CE=EF•BA．解答：证明：（Ⅰ）连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，又∵AB=BC，∴∠OAD=∠C，∴∠ODA=∠C，∴DO∥BC，又∵DE⊥BC，∴DO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（Ⅱ）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°，∴∠BDC=90°，∵DE⊥BC，∴DE2=BE•CE，又∵DE切⊙O于点D，EFA是⊙O的割线．∴DE2=EF•BA，∴BE•CE=EF•BA．点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、三角形相似、弦切角定理、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程．解答：解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为 x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．点评：本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．考点：不等式的证明；绝对值不等式的解法．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3，即可求m的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b+c=3，再由三元柯西不等式即可得证．解答：（Ⅰ）解：因为|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，所以f（x）的最小值等于3，即m=3（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a+b+c=3，又a，b，c是正实数，所以（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=9，所以a2+b2+c2≥3点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查柯西不等式的运用：证明不等式，属于中档题．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,含解析)
故 ABC 的面积为 1 bcsinA = 3 3 .
2
2
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.
18．（本小题满分 12 分）如图1 ，在直角梯形 CD 中， D// C， D ， 2
C 1， D 2 ， 是 D 的中点， 是 C 与 的交点．将 沿 折起到 1 的
因为 A1B=A1E=BC=ED=1, BC ED
所以 B( 2 ,0,0), E(2
2 2
,
0,
0),
A1
(0,
0,
2 ),C(0, 2
2 ,0), 2
得 BC(-
2 , 2 ,0), 22
A1C(0,
2 ,2
2 ) ， CD = BE = (2
2,0,0) .
设平面 A1BC 的法向量 n1 = (x1, y1, z1) ，平面 A1CD 的法向量 n2 = (x2, y2, z2 ) ，平面 A1BC 与
又 sin 0 ，从而 tan A = 3 ， 由于 0 A ，所以 A
3 (II)解法一：由余弦定理，得 a2 = b2 +c2 - 2bc cos A 而 a = 7 b = 2,
3 得 7 = 4 +c2 - 2c ，即 c2 - 2c - 3 = 0 因为 c > 0 ，所以 c = 3 .
13.中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为
．
【答案】 5
【解析】
试题分析：设数列的首项为 a1 ，则 a1 2015 2 1010 2020 ，所以 a1 5 ，故该数列的 首项为 5 ，所以答案应填： 5 ．
考点：等差中项．
陕西省数学高三理数第五次月考试卷A卷
陕西省数学高三理数第五次月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）设集合则（）A . [1,2)B . [1,2]C . (2,3]D . [2,3]2. （2分）复数数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（）A . ﹣2﹣2iB . ﹣2+2iC . 2﹣2iD . 2+2i3. （2分） (2017高二上·晋中期末) 命题“∃x＞0，使2x＞3x”的否定是（）A . ∀x＞0，使2x≤3xB . ∃x＞0，使2x≤3xC . ∀x≤0，使2x≤3xD . ∃x≤0，使2x≤3x4. （2分）已知幂函数y=f（x），f（8）=2，则y=f（x）一定经过的点是（）A . （2，1）B . （2，4）C . （4，2）D . （0，1）5. （2分）(2017·成都模拟) 已知M为不等式组，表示的平面区域，直线l：y=2x+a，当a从﹣2连续变化到0时．则区域M被直线l扫过的面积为（）A .B . 2C .D .6. （2分） (2016高二下·咸阳期末) 观察下列各式：=2• ， =3 ，=4•，…，若=9• ，则m=（）A . 80B . 81C . 728D . 7297. （2分）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）A .B . 8C .D .8. （2分）函数的值域是（）A .B .C .D .9. （2分）函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图，则ω，φ可以取的一组值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)10. （1分）若直角三角形的三条边的长成等差数列，则三边从小到大之比为________11. （1分） (2018高一上·寻乌期末) 圆在点处的切线方程为________．12. （1分）(2017·襄阳模拟) 半径为1的球O内有一个内接正三棱柱，当正三棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是________．13. （1分） (2016高一上·青浦期中) 已知x，y∈R+ ，且x+4y=1，则x•y的最大值为________．三、解答题 (共7题；共60分)14. （5分）在△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b=， c=1，cosB=．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．15. （10分） (2017高二下·营口会考) 已知{an}是等比数列，a1=2，且a1 ， a3+1，a4成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=log2an，求数列{bn}的前n项和Sn．16. （5分） (2017高二上·右玉期末) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．17. （10分）(2019·广州模拟) 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点，，Q 为平面上的动点，且，线段的中垂线与线段交于点P ．（1）求的值，并求动点P的轨迹E的方程；（2）若直线l与曲线E相交于A，B两点，且存在点其中A，B，D不共线，使得，证明：直线l过定点．18. （15分）(2019·扬州模拟) 已知函数，（是自然对数的底数，）．（1）求函数的极值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上既存在极大值又存在极小值，并且函数的极大值小于整数，求的最小值．19. （5分） (2017·佛山模拟) 在极坐标系中，射线l：θ= 与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求• 的取值范围．20. （10分）(2019·厦门模拟) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共4题；共4分)10-1、11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共7题；共60分)14-1、15-1、15-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、第11 页共11 页。
2015届高三5月适应性考试数学【理】试题及答案
2015届高三年级5月适应性考试数学（理科）试题本试题卷共4页，共22题，共中15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{, }A a b =，集合{}23, log (3)B a =+，若{0}A B =, 则A B 等于A ．{}1,0,3-B ．{}2,0,3-C ．{}0,3,4D ．{}1,0,32．下列说法中不正确．．．的是 A ．随机变量2(3,)N ξσ，若(6)0.3P ξ>=，则(03)0.2P ξ<<=．B ．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变．C ．对命题p ：0x ∃∈R ，使得20010x x -+<，则p ⌝：R ∈∀x ，有210x x -+>．D ．命题“在ABC ∆中，若sin sin A B =，则ABC ∆为等腰三角形”的逆否命题为真命题． 3．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列{}n a ，已知212a a =，且样本容量为300，则对应小长方形面积最小的一组的频数为A ．20B ．40C ．30D ．无法确定4．把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为 A ．96 B ．240 C ．48D ．40 5．一个几何体的三视图如图所示，其主（正）视图是一个等边三角 形，则这个几何体的体积为A．BC．3 D ．6．如图，正方形OABC 的边长为1，记曲线2y x =和直线14y =，1,0x x ==所围成的图形（阴影部分）为Ω，若向正方形OABC 内任意投一点M ，则点M 落在区域Ω内的概率为A ．14 B ．13C ．23D ．257．已知a ，b 是平面内夹角为90︒的两个单位向量，若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=，则||c 的最大值为A ．1BCD ．28．设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围为 A ．[1,2]- B ．[2,1]- C ．[3,2]-- D ．[3,1]-9．已知双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线22y px =(0)p >的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2，ABO ∆p 的值为AB． C ．2D10．已知函数()11f x mx x x =--+，则关于函数()y f x =的零点情况，下列说法中正确的是 A．当13m -<≤-+()y f x =有且仅有一个零点．B．当3m =-+1m ≤-或1m ≥或0m =时，函数()y f x =有两个零点． C．当30m -+<<或01m <<时，()y f x =有三个零点． D ．函数()y f x =最多可能有四个零点．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。
陕西省 高三数学第五次月考 理
高三第五次月考数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷、第Ⅱ卷共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知复数(1)z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．2B ．1C ．0,1D ．1-2. 设集合{}03M x x =<≤，{}01N x x =<≤，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知直线02)1(:1=-++y x a l 与直线01)22(:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数a 的值为（ ）A ．－1或2B ．1或2C ． －1或－2D ．1或－24. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．//,m n m n αα⊥⇒⊥ B ． //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ C ．,//m m n n αα⊥⊥⇒ D ． ,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒5. 已知a c bx ax x f )0()(2>++=，若x 1≠x 2，则)2(21x x f m +=与2)()(21x f x f n += 的大小关系是 ( )A ．m 与n 大小关系和,,a b c 的取值有关B ．m n <C ．m n >D ．m n = 6．若),0(πθ∈，且25242sin -=θ， 则cos -sin θθ=（ ） A ．15 B ．15- C ．75D ．－757. 定义两种运算：a b ⊕=a b ⊗2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为 ( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又为偶函数D.非奇函数且非偶函数8. 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12e =，右焦点为(,0)F c 关于x 的方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （ ）A. 必在圆222x y +=内B. 必在圆222x y +=上C. 必在圆222x y +=外D. 以上三种情形都有可能9. 在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是( )A ．10- B ．10 C ．5- D ．510.设a ＞0，a ≠1，b ＞0，下列哪些可能是y ＝xa b +与y ＝log a x b -的图形？A ．． D ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分. 把答案填在题中横线上. 11. 某高三学生希望报名参加6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是 （用数字作答）12. 命题“000,x x ex ∃∈>R ”的否定是13. 执行如图所示的程序框图,输出的T = ．14. 已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：则[(1)]f g 的值 ；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值15.三选一题（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A （几何证明选讲）如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 相交于圆内一点P ，若PA PB =，2,8,4PC PD OP ===，则该圆的半径长为 ．频率组距B （坐标系与参数方程）曲线1C ：⎩⎨⎧=+=)(,sin ,cos 1为参数θθθy x 上的点到曲线2C ： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=,t y ,t x 21121221222(112x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）上的点的最短离为 ． C （不等式选讲）不等式0212<---x x 的解集为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分。
【陕西版】2015届高三上学期月考(3)数学(文) Word版含答案
2015届上学期高三一轮复习第三次月考数学（文）试题【陕西版】注意：本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题。
（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，共10个小题，每小题5分，共50分）1、设集合{}}{）（则 ,)1ln(|,0 2|=-==<==N M x y x N x y y M x A 、（1，∞+） B 、（0，1） C 、（∞-，1） D 、（0，1）），（∞+1 2、计算：）的值是（ 5.22cos 5.22sin 0404- A 、21 B 、22 C 、-22 D 、2 3、) (300cos 0= A 、21 C 、-23 C 、-21 D 、23 4、下列有关命题的说法正确的是（ ）A 、命题“若1,12==x x 则”的否命题是”则“若1,12≠=x x B 、”的必要不充分条件”是““06512=---=x x x C 、命题”的逆否命题是真命题则“若y x y x sin sin ,== D 、”均有的否定是：“使得命题“01,0122<++∈∀<++∈∃x x R x x x R x5、）的值为（ 5lg 38lg +A 、-3B 、-1C 、1D 、36、已知：命题p:“"022,:,0],2,1[22=-++∈∃≥-∈∀a ax x R x q a x x 使“命题若命题“p 且q”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A 、{}212|≤≤-≤a a a 或B 、}{1|≥a aC 、{}12|=-≤a a a 或D 、{}12|≤≤-a a7、函数）处的切线方程为（，点（ ))2(2)(2f x x f =A 、44-=x yB 、44+=x yC 、24+=x yD 、4=y8、设变量y x ,满足约束条件）的最大值为（则 ,10702x y x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+- A 、6 B 、3 C 、59 D 、1 9、设函数），则（ )(x xe x f =A 、的极大值点为)(1x f x =B 、的极小值点为)(1-x f x =C 、的极大值点为)(1-x f x =D 、的极小值点为)(1x f x =10、已知函数）的取值范围是（恰有一个零点，则实数 624)(m m m x f xx -⋅+=A 、｛-24，0｝B 、｛-24｝C 、｛-24｝），（∞+0D 、），（），（∞+∞024--第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
延安中学2015届第五次月考试题数 学（理科）（本卷满分150分，时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的（每小题5分，共60分） 1.已知集合{}0,1A =,{}1,0,2B a =-+,若A B ⊆，则a 的值为( )A ．-2B ．-1C ．0D ．12. 命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43. 已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9－a 7＝10，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13的值为( )A ．260B ．156C ．168D ．130 4. 由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.112 B.14 C.13D.7125. 已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π66. 若函数3(),()f x x bx b R =-∈在区间(1,2)上有零点，则b 的取值范围是（ ）A ．(4,)+∞B ．(1,4)C ．(4,1)--D ．(,1)-∞7.设O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1)，若点N (x ，y )的坐标满足3200x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则OM ON 的最大值为 ( )A ． 2B ．2C ．3D ．23 8.若()f x 为奇函数且在(0,)+∞上递增，又(2)0f =，则()()0f x f x x-->的解集是（ ）A ．(2,0)(0,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,0)(2,)-+∞ D ．(,0)(0,2-∞ 9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）A．BCD10.若双曲线22221x y a b -=与椭圆22221x y m b+=(0,0)a m b >>>的离心率之积大于1，则以,,a b m 为边长的三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．上选项都有可能 11.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，则sin sin B C +的最大值为 ( )A ．2B ．1 C.1212.若函数1()(0,0)axf x e a b b=->>图像在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（ ）A ．4B ．2 2C.2D.2第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝______． 14.已知点(),1A a 和曲线C:220x y x y +--=，若过点A 的任意直线都与曲线C 至少有一个公共点，则实数a 的取值范围是 ．15.已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则ac 91+的最小值为 .16.将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案种数是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共70分）17 ．（本题满分12分） 已知函数()2sin(),12f x x x R π=-∈（Ⅰ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）若4cos ,(0,)52πθθ=∈，求(2)6f πθ-.18 ．（本题满分12分）设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，.4,2231+==a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S 。
19 ．（本题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，1AD DC CB ===，060ABC ∠=，四边形ACFE为矩形，1CF =，平面ACFE ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 的夹角为θ，试求cos θ的取值范围.20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知向量m (ln ,1ln )x a x =-，n (,())x f x =，m ‖n ，()f x '为函数()f x 的导函数. （Ⅰ）若函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，求实数a 的最小值；（Ⅱ）若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得12()()f x f x a '≤+，求实数a 的取值范围.请考生从第22、23、24题中任选一题做答，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修1—4：几何证明选讲 已知：如图，在Rt △ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接EA 交⊙O 于点F.求证：(I)DE 是⊙O 的切线；(II)BE ·CE=EF ·EA .23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程将圆221x y +=每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C ． （Ⅰ）写出Ｃ的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与Ｃ的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以线段12PP 为直径的圆的极坐标方程． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为m ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若c b a ,,是正实数，且满足m c b a =++，求证：3222≥++c b a ．延安中学2015届第五次月考试题答案数 学（理科）一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BBDADBCBDCBD二、填空题:13. 2 13.01a ≤≤ 15. 3 16. 24 三、解答题：17.解：（Ⅰ）因为()2sin(),12f x x x R π=-∈所以函数()f x 的值域为[]2,2-（Ⅱ）因为4cos ,(0,)52πθθ=∈所以3sin 5θ=， 所以24sin 22sin cos 25θθθ==，227cos 2cos sin 25θθθ=-= 所以(2)6f πθ-=2sin(2)612ππθ--2sin(2)4πθ=- 2sin 2cos cos 2sin 44ππθ-θ⎛⎫= ⎪⎝⎭)sin2cos2θ-θ==18.解：（Ⅰ）设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．（Ⅱ）2222)1(121)21(221-+=⨯-+⨯+--=+nnnnS nnn.19．解：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD,1,AD DC CB===60ABC︒∠=,∴2AB=,∴2222cos603AC AB BC AB BC︒=+-⋅⋅=,∴222AB AC BC=+,∴BC AC⊥,∴平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE平面ABCD AC=,BC⊂平面ABCD, ∴BC⊥平面ACFE.（Ⅱ）由（I）可建立分别以直线,,CA CB CF为轴轴轴，zyx,的如图所示空间直角坐标系，令)30(≤≤=λλFM，则)0,0,3(),0,0,0(AC，()()1,0,,0,1,0λMB,∴()()1,1,,0,1,3-=-=λBMAB.设()z yxn,,1=为平面MAB的一个法向量，由⎩⎨⎧=⋅=⋅11BMnABn，得⎩⎨⎧=+-=+-3zyxyxλ,取1=x，则()λ-=3,3,11n，∵()0,0,12=n是平面FCB的一个法向量,∴1212||cos||||n nn nθ⋅===⋅.∵0λ≤≤∴当0λ=时，θcos，当λ=时，θcos 有最大值12,∴1cos 2θ⎤∈⎥⎦.20.解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=(0)a b >>，半焦距为c由题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=。
解得2,1a c ==。
所以2223b a c =-=所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=。
（Ⅱ）存在直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立。
理由如下：由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(43)84120k x kmx m +++-=222(8)4(43)(412)0kmx k m =-+->，化简得2243k m +>设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+ 若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++= 221212(1)()0k x x km x x m ++++=222224128(1)04343m kmk km m k k -+-+=++ 化简得2271212m k =+ 将227112k m =-代入2243k m +>中，22734(1)12m m +->解得234m >又22)7121212m k =+≥，2127m ≥所以m ≥或m ≤所以实数m 的取值范围是221(,,)⎡-∞+∞⎢⎦⎣。
21．解：(Ⅰ)由题意得ln ()(1ln )x f x a x x ⋅=-⋅()(1)ln xf x ax x x∴=-≠． ()f x 在(1,)+∞上是减函数， ∴等价于2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立max2ln 1()(ln )x a x -⇔≥． 222ln 1111111()()(ln )ln ln ln 244x x x x x -=-+=--+≤， 当且仅当11ln 2x =即2x e =时取到最大值． ∴1=4a ． （Ⅱ）题意等价于min max 1()(())4f x f x a '≤+=．由(Ⅰ)知2111()()ln 24f x a x '=--+-．2e x e ≤≤，∴1112ln x≤≤．∴()f x '在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，且()f x '的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 1 当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，min 1()()4f x f e e ae ==-≤11-04a e⇒≥>与前提矛盾，无解． 2 当14a ≥时，()0f x '≤，()f x 在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减， 222min1()()24e f x f e ae ==-≤2111244a e ⇒≥->．∴21124a e≥-．3 当104a <<时， ()y f x '=存在唯一零点20(,)x e e ∈，且 []0,x e x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，(20,x x e ⎤∈⎦时，()0f x '>，()f x 单调递增，0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ∴==-≤0011ln 4a x x ⇒≥-． 设211()()ln 4h x e x e x x =-<<，2111()()(ln )4h x x x x'∴=--， 211(,1)(ln )4x ∈，2111(,)444x e e ∈211()0()(ln )4h x h x x x'>∴<∴单调递减． 222111111111()ln 4ln 424244h x x x e e e ∴=->-=->-=． 00111ln 44a x x ⇒≥->与前提矛盾，无解． 综上所述，实数a 的取值范围是211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．22. (Ⅰ)连接ODOD OA = ODA OAD ∴∠=∠又AB BC = OAD C ∴∠=∠ODA C ∴∠=∠ D O B C∴ 又DE BC ⊥ DO DE ∴⊥ 所以DE 是o 的切线。