(重庆大学高等数学课件)第八章第7节方向导数与梯度

外法向量 法向量
x0 y0 z0 2x0 ⋅ 2 +2 y0 ⋅ 2 +2z0 ⋅ 2 2 ro = ∂u a b c = = grad u M0⋅n M0 x02 y02 z02 ∂n M0 x02 y02 z02 + 4 + 4 4 + 4 + 4 4 a b 14 c a b c
例4. 设函数 (1) 求函数 在点 M ( 1, 1, 1 ) 处 沿曲线 导数; 在该点切线 切线方向的方向导数 在该点切线方向的方向导数; 处的梯度 (1)中 (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度 与(1)中切线方向 的夹角 θ . grad f (1,1,1) = 解(1) grad f = 曲线在点M 曲线在点M (1,1,1) 处 的切向量
y0 P 0
βρ α
cosα =
x0
x − x0
O
x
x
ρ
cos β =
y − y0
ρ
3
r0 定理 设与射线 l 同方向的 单位向量l = (cosα,cos β ) y 若函数 f ( x, y) 在点P 可微 ,则函数 0 Pl r0 ρ ∆y l f ( x, y) 在点 P 沿l 方向的方向导数 0 y0 P ∆x 0 ∂f = fx ( x0 , y0 ) cosα + f y ( x0 , y0 )cos β ∂l ( x0 , y0 ) x0 x O π ∂f ∂f = fx ( x0 , y0 )= 特别: 与 x 轴 在点 P 可微 特别: l f ( x, y) 同向 (α = 0,β = ) , 证明 0 2 ∂x ∂l f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f ( x0 , y0 )= fx ( x0 , y0 )∆x+ f y ( x0 , y0 )∆y+o(ρ) π ∂f ∂f ( ,β y ) , l 与 x 轴反向+α = π α,= + ρ cos β )− f x ( x0 ,y 0)) = − = − f (x , y f ( x0 ρ cos 02 0 0 lim ∂x ∂l + ρ→0 ρ ∂f π ∂f )= = f y ( x0 , y0o(ρ) l f y 轴同向(α = , β = 0) , ∂与 2 ∂y x0 = fx ( x0 , y0 ) cosα + f y (∂ l , y0 )cos β+ π ρ ∂f ∂f ∂l ( x0 , y0 ) l 与 y 轴反向 (α = , β = π ) , = − f y ( x0 , y0 )= − 2 = fx ( x0 , y0 )ρ cosα+ ∂yl( x0 , y0 )ρ cos β+o(ρ∂ y f 4 )
第七节 方向导数 与梯度
一、梯度 二、方向导数
1
一. 梯度 三元函数 f (x, y, z) 在点 P 处的梯度(gradient), 处的梯度 ∂f ∂f ∂f , ) grad = ( , ∂ x ∂ y ∂z 点的一个法 曲面 f (x , y , z)=0 在 P 点的一个法向量 二元函数 在点 P( x, y) 处的梯度 处的梯度
(2,3)
x = x 已知曲线 的参数方程为 y = x2 − 1
r 它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x=2= (1, 4) = l = r0 y 3 l P r0 ⋅l
8
∂z ∴ = o −1 2 x ∂l P
例3.设 n 是曲面 3.设 指向外侧 的法向量,求函数 的法向量, 方向 n 的方向导数. 方向导数. 解: grad
r n = ( fx ( x, y, z), f y ( x, y, z), fz ( x, y, z)) = grad f ( x, y, z)
grad
例如 的梯度 grad 的梯度 grad
2
二、方向导数 x =x0 + ρ cosα 射线 l 的起点为 P ,方向角为α , β , 0 P( x, y)为该射线上一点,| PP |= ρ (ρ ≥ 0) y = y0 + ρ cos β 为该射线上一点, 0
92页 92页.4 求函数
处
的法向量
源自文库
ro ∂u = grad u M0⋅n ∂n M0
M0
10
三、方向导数 梯度的意义 梯度的意义
∂f 方向导数, 函数 f ( x, y) 在点 P 沿l方向 的方向导数, ∂l 变化速度, 表示 f ( x, y) 在点 P 沿l方向 的变化速度, r 设梯度 与 l 的夹角 为 r0 ∂f 则 ⋅l ∂l r ∂f y 同向， 若 l 与梯度 同向， 则 最大 ∂l l 速度最大 即 f ( x, y) 沿梯度方向的增加速度 最大 梯度方向 增加速度 y P 速度最大 f ( x, y) 沿梯度的负方向 的下降速度 最大 梯度的负方向 下降速度
为射线l参数方程, 为射线l参数方程, 设函数 z = f ( x, y) 在 P 的某个邻域内 0 存在, 有定义, 有定义, 若极限 存在, 则此极限 为函数 f ( x, y) 在点 P 0 方向导数, 沿l方向 的方向导数,记为
∂f =limf +(f ( x0 ρ cosα,α0y0 + cos β )−− ( x0 ,0y0 ) ) lim x0 + + ρ cos y, + ρ ρ cos β ) f f ( x , y0 ρρ ρ→0+ 0 ∂l ( x0 , y0 ) ρ→ y y Pl
1 4 3 , , ) l = ±( 26 26 26
0
例6.(填空) 函数 u = ln(x + y +z ) 在点 .(填空 填空)
2 2 2
处的梯度 解:
2 (1, 2, − 2) 9
(92考研 (92考研) 考研)
16
在点A 例7. (填空)函数 u = ln(x + y2 + z2 ) 在点A ( 1 , 0 , 1) (填空 填空) 处沿点A 指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 解:
在点 P(1, 1, 1 )处 )处 在点P 在点P 处沿
grad
(1,1,1)
曲面 在点 P处 指向外侧 的法向量
n =(4x, 6 y, 2z) P = 2(2, 3,1) n r0 n ∂u 12 +24 −1= 11 = 7 ∂n P 14 14
9
在点 的方向导数 导数. 沿过该点 等值面 法线方向 的方向导数. 解: 过点M 过点M0 的等值面
空间射线 空间射线 l 的起点为 P ( x0 , y0 , z0 ), 方向角为 α , β ,γ 0 三元函数 f ( x, y, z) 在点 P 沿l 方向 的方向导数 0 ∂f = lim f ( x0 + ρ cosα, y0 + ρ cos β ,z0 + ρ cosγ ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ρ ρ→0+ P
沿梯度的负方向
O
x
的 速度为零 f ( x, y)沿梯度的垂直方向 变化速度 为零 梯度的垂直方向 变化速度 x 11
作业 91页习题 91页习题8—7 页习题8
2,5,6,8,12,14
12
1. 梯度 三元函数
内容小结
在点 处的梯度 处的梯度为 梯度为
2. 方向导数 三元函数
∂f ∂f ∂f , =( , ) ∂ x ∂ y ∂z
5
方向导数 的算法 1. 求出梯度 grad 求出梯度
= ( fx′ , f y′ , fz′ )
( x0 , y0 , z0 )
r 求出方向 2. 求出方向 l = (a , b, c) r0 1 r = (cosα, cos β , cosγ ) 单位化 l = r l |l | r0 ∂f 代入公式 3. 代入公式 ⋅l ∂l P0 = fx′ cosα + f y′ cos β + fz′cosγ
1 (96考研 (96考研) 2 . 考研)
则
r0 ∂u = grad u A ⋅l ∂l A
1 = 2
17
例8.设 处矢径 r
可导, 可导, 的模, 的模, 试 证
为点
r grad( f (r)) = f ′(r) r 0
x = f ′(r) = f ′(r) 2 证: 2 2 r x + y +z y ∂ f (r) z ∂ f (r) = f ′(r) = f ′(r) , r r ∂z ∂y ∂ f (r) r ∂ f (r) r ∂ f (r) r i+ j+ k ∴ grad( f (r))= ∂x ∂y ∂z z r r P 1 r = f ′(r) ( x i + y j + z k ) r r o r0 1r y = f ′(r) r = f ′(r)r r x 18
= l = ±(1,4t,3t ) t=1 ±(1,4,3) =
2
函数沿 l 的方向导数 r0 3 6 ∂f 1 4 + × 0)= ± 6 = grad f ⋅ l = ±( ×2 + ×1 ∂l 26 ∴ θ 26arccos 26 = r0 26 (2) ∵ grad f ⋅ l r 130 =|grad f | cosθ 6 或 θ =6 − arccos 6 grad f ⋅ l 0 1 15 (± ) =± π ∴ cosθ = = 130 |grad f | 26 5 130
在点
沿方向 l 的方向导数 r0 ∂ f ∂f ∂f ∂f cosγ cosα + cos β + = grad f ⋅l = ∂l ∂x ∂y ∂z r0 其中 l = (cosα ,cos β ,cosγ ) 为l 同方向的 单位向量
13
在椭球面 例5. 求函数 x2 y2 z2 法线方向 + 2 + 2 = 1上点 M0(x0, y0, z0) 处 沿外 法线方向 2 a b c 的方向导数 导数. 的方向导数. 解: 椭球面在点 M0处的
∂l
0
l 定理 设与射线l 同方向的单位向量 设与射线l 同方向的单位向量 r0 •P l = (cosα,cos β ,cosγ ) ρr l0 若函数 f ( x, y, z) 在点 P 可微 0 P 0 沿方向l 则函数 f ( x, y, z)在点 P 沿方向l 的方向导数 0 ∂f = f ( x , y , z ) x 0 0 0 cosα + f y ( x0 , y0 , z0 ) cos β ∂l P0 + fz ( x0 , y0 , z0 )cosγ
x
6
例1. 求函数 的方向导数 . 解:
在点 P(1, 1, 1) 沿向量 的梯度
grad
(1,1,1)
r0 l
r0 ∂u ∴ = ⋅l ∂l P 2 = 2⋅ 14
3 +1⋅ 14
7
在点P 在点P(2, 3) 沿曲线 例2. 求函数 方向导数. 朝 x 增大方向 的方向导数. 解: 的梯度
grad