分式线性变换及其映射性质

当四点中有一点为,应当将包含此点项用1代替. 如:z1 ,即有
1 1 (, z2 ,z3 ,z4 )= : . z4 z2 z3 z2
定理6.2.2 对于扩充z上任意三个不同的点 z1 , z2 , z3以及扩充w平面上任意三个不同的点w1 , w2 , w3 ,
存在唯一的分式线性函数, 把z1 ,z2 ,z3分别映射成 w1 , w2 , w3 .
~~~~~~~~
P'
x

~~~~~~~~~~~~~~~~~
规定无穷远点的对称点为圆心o
T
设给定圆C :| z z0 | R(0 R )，如果两个有限点 z1与z2在过点z0的同一条射线上, 且 |z1 z0 | | z2 z0 | R 2 . 则称z1与z2为关于圆C的对称点.
w w1 w3 w1 z z1 z3 z1 : : . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2 w w1 z z1 z3 z1 : . w w2 z z2 z3 z2
(6.2.4) (6.2.5)
上两式左右两边分别称为w1 , w2 , w3及z1 ,z2 ,z3的交比, 记作( w1 , w2 , w3 , w)及( z1 , z2 , z3 , z ).
z0
z1
z2
引理6.2.1 不同两点z1与z2是关于C的对称点 通过z1与z2的任何圆与圆C直交. 证 如果C是直线或者C是半径为有限的圆, 而且 z1与z2之中有一个是无穷远点,引理显然成立.
现在考虑C :| z z0 | R(0 R ), 且 z1与z2是有限点的情形.
必要性() 设z1与z2是关于C的对称,
P'
P
1 1 反演映射w . 令w1 , 则w w1. z z 1 1 i 1 i i 则有 w e , w w1 e , 设 z re , 1 z r r
从而 w1 z 1.
故z与w1是关于单位园周 z 1 的对称点.
z
关于单位圆对称
w1 w1 .
z2
L
z0
z1
充分性()
过z1与z2作一半径为有限的圆,
与圆C交于一点z ' . 由于圆与圆C直交,
圆在点z '的切线通过圆C的中心z0 .
显然z1与z2在这切线的同一侧. 又过z1与z2作直线L. 由于直线L与圆C直交, 它通过圆心z0 .
于是z1与z2在通过z0的射线上. 从而
| z1 z0 | | z2 z0 | R .
系6.2.1 在分式线性函数所确定的映射中, 交比不变,即 (w1 , w2 , w3 , w) ( z1 , z2 , z3 , z ).
例1 试求将点z 1,1, i分别影射成w 0,1, 的
分式线性变换, 并计算该变换在点z0 2i处的 旋转角和伸缩率.
解 将点z 1,1, i分别影射成w 0,1, 的
它为w平面上的圆, (d 0表示直线).
2. 保交比性
定义 扩充复平面上有顺序的四个相异点z1 , z2 , z3 ,z4
构成下面的量,称为它们的交比,记为( z1 , z2 ,z3 ,z4 ) :
z4 z1 z3 z1 ( z1 , z2 ,z3 ,z4 )= : . z4 z2 z3 z2
'
'
则该变换在点z0 2i处的旋转角为 arg w (2i) 0,
'
则该变换在点z0 2i处的伸缩率为 w' (2i) 1.
*3. 保对称性 定义 若 在 半 直 线 上 有 两 点 p, p'
y
r
o
P
满 足op op' r , 则 称p与p' 关
2
于 圆 周z r对 称.
.z
关于实轴对称
o
. w
w
二、分式线性函数的映射性质
1. 保圆性 所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为 圆周的性质. 特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.
定理6.2.1
在扩充z上,分式线性函数
把圆映射成圆.
证 已知分式线性映射所确定的映射,是平移,
1 旋转,相似映射以及反演映射w 的复合. z 显然,平移,旋转,相似映射将圆映射成圆. 1 下证反演映射w 将圆映射成圆. z 在圆方程
2
z
'

z2
L
即z1与z2关于圆C对称.
z0
z1
定理6.2.3 如果分式线性函数将z平面上的圆C 映为w平面上的圆C ' , 那么它把关于C的对称点z1与z2 ,
映为关于圆C '的对称点w1与w2 .
证 过w1与w2的任何圆是由过z1与z2的圆映射得来的.
由引理6.2.1知过z1与z2的任何圆与圆C直交，
于是,整个z平面映射成w平面上的一点.
z 2. 0, w 称为整线性映射. z z w 3. 由w z , z w
即分式线性映射的逆映射也是分式线性映射. z 4. 将w 的定义域及值域推广到扩充复平面C . z z 当 0, w 将z 映射成w ; z z 当 0, w 将z 及z 映射成 z
证 先考虑各点为有限的情况.
z 设所求的分式线性函数为w ,则 z zk wk (k 1, 2,3). zk
算出w w1 , w w2 , w3 w1 , w3 w2 , 并计算消去
, , , ,得到
w w1 w3 w1 z z1 z3 z1 : : . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
第二节 分式线性变换及其映射性质
• 一、分式线性函数 • 二、分式线性函数的映射性质
一、分式线性函数
1. 分式线性函数的定义
分式线性函数指如下形式的函数:
z w , z
其中 , , 及 是复常数, 且 0.
说明: 1. 0, 保证了映射的保角性. dw 否则,由于 0, 有w 常数. 2 dz ( z )
w 及w ;
z 5. 0, w z ,
z 0, w , z 2 z
(1) w z (为常数) (平移);
一般的分式线性方程由下面四种简单的函数复合可得：
(2) w ei z(为实数) (旋转);
(3) w z( 为正实数) (相似映射);
1 (4) w (反演映射). z
2. 四种简单的分式线性映射 (为方便起见, 令w平面与z平面重合)
(1) w z (为常数) (平移);
在此映射下, z沿向量 (即复数 所表示的向量)
C 的内部; 若 z0的象在 C 外部, 则 C的内部就映
为 C 的外部.
方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
则 C的内部就映为 C 的内部.
C
. z3
w3 .
C
.w 2 . w1
那么通过z1与z2的直线显然与圆C直交.
作过z1与z2的任何半径为有限的圆(如图).
过z0作圆的切线, 切点为z' . 于是,
|z ' z0 |2 | z1 z0 | | z2 z0 | R2 .
从而|z ' z0 | R. 即z ' C. 因此与C直交.
z
'

y
定义 若 在 半 直 线 上 有 两 点 p, p'
r
o
P
满 足op op' r , 则 称p与p' 关
2
于 圆 周z r对 称.
~~~~~~~~
P'
x

~~~~~~~~~~~~~~~~~
规定无穷远点的对称点为圆心o
T
o
如何由 p找到关于圆周 z r的对称点 p'呢?
设p在 圆 外 , 从p作 圆 周 的 切 线pT , 连 接op,由T作op 的垂线 Tp' , 与op交 于p' , 那 么p与p'即 互 为 对 称 点 .
z1 , z2为C内任意两点
假设 : z1 z2 圆弧 w1w2 , 且w1在C 外部, w2在C 内部.
结论: 在分式线性映射下, C的内部不是映射成
C 的内部便映射成 C 的外部.
判别方法: 方法1 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取
一点 z0 ,若 z0的象在 C 内部, 则 C的内部就映为
某点z 0映射成w 0，另一方面把 Im z 0映射成 圆盘 | w | ＝ 1. 由于分式线性函数把关于实轴 Im z 0的对称点
映射成关于 | w | ＝ 1的对称点,
所求函数不仅把z0映射成w 0,而且把z0映射成.
因此,所求线性函数的形式为 z z0 w , z z0 其中是复常数.源自z1 .. z 2
在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向: z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
若绕向相反, 则C 的内部就映射为 C 的外部.
C
. z3
w3 .
C
.w1 . w2
z1 .
. z 2
例2 试求把上半平面 Im z 0保形映射成圆盘 | w | 1的分式线性函数. 解 所求分式线性函数一方面把上半平面 Im z 0内
(6.2.4)即可推出.
(6.2.4)
1 z 1 满足条件, 下证唯一性. 若另一函数为w 1 z 1
类似地可得到(6.2.4). 所以该变换是唯一的.
其次,若已给出点除w3＝外, 其它点都是有限点.
z 那么所求函数有下列形式w . ( z z3 )
zk 并且wk ( zk z3 )
从而由分式线性函数的保形性,
过w1与w2的任何圆与圆C '直交.
又由引理6.2.1知过w1与w2关于圆C '对称.
4. 几个特殊的分式线性函数 问题: 圆域内部被映射成什么区域?
C
. z1
. z2
.
.
C
z1 z2上某点 Q C上某点 Q . w2 . 与一一对应性 . w1 相矛盾.
a ( x 2 y 2 ) bx cy d 0, (如果a 0, 表示一条直线)中,
代换 zz zz x y z z, x ,y , 2 2i
2 2
则得到圆方程的复数形式 az z z z d 0, 1 其中a, b, c, d为实常数, (b ic)为复常数. 2 1 函数w 将上式映射为 z dww w w a 0,
分式线性变换满足保交比性,即
(1,1, i, z) (0,1, , w)
z (1) i (1) w 0 1 所以 : : . z 1 i 1 w 1 1
z 1 解得w . (1 i)( z i)
z 1 1 而w , 2 ( z i) (1 i )( z i )
(k 1, 2).
算出w w1 , w w2 , 并计算消去 , , , ,得到
w w1 z z1 z3 z1 : . w w2 z z2 z3 z2 (6.2.5)
(6.2.5)可推出所求函数为分式线性函数.
(6.2.5)可看作(6.2.4)中令w3 得到. z1,z2 ,z3及w1 , w2 , w3中其它点为的情形可类似证.
的方向平移一段距离 后, 就得到w.
(z) (w)
w

o
z
(2) w e z(为实数) (旋转);
i
(z) (w)
把z旋转一个角度 得到w.
w

z
o
(3) w z( 为正实数) (相似映射);
把|z|伸长 倍后得到w.
(z) (w)
z
w
o
1 (4) w (反演映射). z