平面向量的数量积学案(一轮复习)

平面向量的数量积学案

题型一：平面向量的数量积运算

例1 (1)已知|a |＝2，|b |＝5，若：①a ∥b ； ②a ⊥b ；③a 与b 的夹角为30°， 分别求a ·b .

练习：（1）已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：(a －2b )·(a ＋b )；

（2）若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为________．

例2 (1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →

等于( )

A ．－16

B ．－8

C ．8

D ．16

(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________，DE →·DC →

的最大值为________．

练习：已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝

1

3

，向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝3e 1－e 2，

则

=⋅b a ________．

已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)

题型二：向量的模

例3．（1）设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－1

2，

则|a ＋2b |＝________.

（2）已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝1

3.

若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________．

练习：(1) [2014·全国卷] 若向量,a b 满足：||1a =，

()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）

A ．2 B. 2 C ．1 D.

2

2

(2) 已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x ，6)，且p ∥q ， 则|p ＋q |的值为( )

A. 5

B.13 C ．5 D ．13

（3）已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |的范围是________．

题型三：向量的夹角

例4 (1)a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665

(2)[2014·江西理] 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角

为β，则cos β＝________．

练习（1）已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6， 且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．

（2）已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于( ) A ．150°

B ．90°

C ．60°

D ．30°

(3)[2014·湖北卷] 设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若

(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．

课后作业：

1、【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．

2、[2014·重庆卷] 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )

A ．－92

B ．0

C ．3 D.152

3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5

4．（2013

上海市春季）已知向量

(1 )a k =，,(9 6)b k =-，

.若//a b ,则实数 k = __________

5、[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π

6，则实数m ＝( )

A ．2 3 B.3 C ．0 D ．－ 3

6、若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π

3，|a|＝2，

|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B ．－126 C.112 D ．－112

7、已知两单位向量a ，b 的夹角为60°，则两向量p ＝2a ＋b 与q ＝－3a ＋2b 的夹角为________． 8、【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a |

=

3

|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、

4π B 、2

π

C 、34π

D 、π

9.【2015高考湖北，理11】已知向量OA AB ⊥，

||3OA =，则OA OB ∙= .

10.【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠= ,则BD CD ⋅=（ ） （A ）232a -

（B ）234a - （C ） 234a （D ） 23

2

a 11、(2014·重庆)已知向量a 与

b 的夹角为60°，且

a ＝(－2，－6)，|

b |＝10，则a ·b ＝________.

12

．（

2013

湖

北

卷

）

已知点

()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量

AB 在CD 方向上的投影为（ ）

A

B

C

．

． 13．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →

的夹角为

________．

14．[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

15．（2013年高考新课标1（理））已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____.

16．（2013年高考江西卷）设1e ,2e 为单位向量.且

1e ,2e 的夹角为

3

π

,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________。

17．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量