二面角教学课件

归纳利 用平面 角求二 面角大 小的步
骤
启迪思维，归纳提炼
利用平面角求二面角大小的步骤：
（1）作(找)二面角的平面角； （2）证明该角为平面角； （3）归纳到三角形求值。 简记为:“一作(找)，二证，三求解”
课堂练习(一):
已知：在 60 的二面角 l 的一个面 内有
一个点 A，它到另一个面 的距离是 15cm，求
角与二面角的比较
图形
角
顶点 O
A 边
边B
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
构成
边—点—边 （顶点）
表示法
∠AOB
二面角
A 棱a 面
B面
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
面—直线—面 （棱）
二面角—l— 或二面角—AB—
怎样度量二面 角的大小呢?
探索研究二面角大小的第一种方法：
新授课内容(一):

B
平面角
O
A
l

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱
的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
如上图所示，AOB是二面角 l 的一个平面角。
探索研究二面角大小的第一种方法：
观察后，思考以下问题：
1、哪个直观图中的角是二面角的平面角？
2、分小组讨论总结平面角的特点(从顶点 和边来展开)。
演
sin ACB sin 60
练
三求解
反
即，点A到棱的距离为 10 3
馈
一作
C
课堂练习(二)：
知识应用与提升
山坡的倾斜度（坡面与水平面形成的二面角的度数）是 30，在
坡面 内，从坡脚的 A 处出发，沿一条与坡脚的水平线 l 成 60角的
直路前进，行走200m后，升高了多少米？ 解:设行走200m后到达点B.从B作BD⊥α ,
作业：
提示:作出所求二面角的平面角, 通过解三角形求出这个平面角.
P
如图，过正方形ABCD的顶点
A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB、
A
D
试求二面角B-PC-D的大小.
B
C
同，那么这两个角相等。
把二面角的平面角的度数叫做这个二面角的度数。
应用举例:
已知：如图所示锐二面角 l ，A为面 内一点，A到 的距
离为 2 3 ，到 l 的距离为 4. 求二面角 l 的大小.
解： 过分点析A：作要A求B⊥该β二于面B角，的AC大⊥小l，于就C要， 连结BC ，
长方形硬纸对折后张开的直观图：
l
O
探索研究二面角大小的第一种方法：
O
l O1
B B1
A
A1
由等角定理可立即得出， 在二面角的棱上任取不同的点， 得到的平面角是相等的。
如上图所示： AOB A1O1B1
这就是说，平面角等的大角小定是理一定：的如。果由于一这个种角唯一的性两，边使得和二另面角的大小 可以由它的平面角来度一量个。角的两边分别平行，并且方向相
一作
则所求高度为|BD|.在β内,从B作BC⊥l ,
B

垂足为C ,连接CD .由三垂线定理得CD⊥l , 二证
从而∠BCD 是二面角 l 的平面角,
D
因此 BCD 30 . 在直角三角形 ABC 中
AC
分| B析C:|| 此AB例| s是in 一B个A实C 际 2应00用 s题in,60可 先10抽0象3出数 学在模直角型三（角如形图BC所D示中）。 本题要求 “升高了多三少求解 米| B？D”|| B即C是| s求in 点BBC到D水1平00面3 s的in距30离 . 50 3 86.6
二面角的大小
半平面及二面角的定义
1、半平面：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。
2、二面角：从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面。
半
半
平 l平
面
面
面 面 棱l
复 习：二面角的定义

l

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
先找到或作出它的平面角。 则由三垂线定理得 BC⊥ l .
ACB就是二面角 l 的平面角
在RtAC中B， | AB | 2 3,| AC | 4
A
sin ACB
| AB | | AC |
2 3 4

3 2
C
B
l
知识应用与归纳总结
ACB 60 ∴二面角 l的 大 小为60 °.
l
l
l
A
A
ABaidu Nhomakorabea
B
C
B
C
B
C




（1）
（2）
（3）
图形说明：三个直观图中，（2）中的AC与二面角的棱不垂直。
探索研究二面角大小的第一种方法：
新授课内容(二):
l （1）角的顶点在二面角的棱上。
A
B
C （2）角的两边分别在二面角的两个面内。

（3）角的两边都与棱相垂直。
探索研究二面角大小的第一种方法：
l
B
答:沿直路前进200m后，升高了86.6m
60
A
l
1、二面角大小的度量： 利用平面角的大小来度量
2、平面角的特点：
3、求解步骤：
（1）角的顶点在二面角的棱上。 （2）角的两边分别在二面角的两个面内。 （3）角的两边都与棱相垂直。
“一作（找），二证，三求解”
勾股定理、解直角三角形、 正弦定理、余弦定理等等
它到棱 l 的距离。
解: 过点A作 AB⊥α于B， AC⊥ l 于C，连结BC，
二证
则所求距离为| AC | BC为AC在内的射影
由三垂线定理得 BC⊥ l .
A
ACB就是二面角 l 的平面角 l
在 RtA中CB， | AB | 15,ACB 60
B

| AC | | AB | 15 10 3