线性跟踪微分器及其在状态反馈控制中的应用

第19卷　第2期1999年4月北京理工大学学报Jo urnal of Beijing Instit ute o f T echnolog y V o l.19　No.2A pr.1999

线性跟踪微分器及其在状态反馈

控制中的应用

王庆林 姜增如

(北京理工大学自动控制系,北京　100081)　刘喜梅

(青岛化工学院自动控制系,青岛　266042)摘　要　目的　给出线性跟踪微分器的设计方法,并研究将其用于控制系统状态反馈的

效果.方法　利用积分器反馈方法,给出了 阶线性跟踪微分器(可实现对微分信号的 阶静态无差跟踪)及 阶强跟踪微分器(可直接获得待微分信号的1～ 阶微分估值)两种线性跟踪微分器设计方案,并将其用于直接获取状态及进行状态反馈控制的仿真研究.结果

与结论　结果表明只要合理地选择跟踪微分器的类型及参数,无论对线性系统还是非线

性时变系统,这一方法均是有效的.文中还给出了选择线性跟踪微分器的基本原则.

关键词　跟踪微分器;状态估计;状态反馈;逆系统方法;非线性系统

分类号　T P 274

收稿日期:19980409

中国科学院自动化研究所复杂系统工程学开放实验室基金资助项目

文献[1]基于韩京清非线性跟踪微分器思想[2]

,给出了一种线性跟踪微分器的设计方法.本文对其进行了改进,提出了 阶线性跟踪微分器与 阶线性强跟踪微分器的概念. 阶线性跟踪微分器可以实现对微分信号的 阶静态无差跟踪,有效地提高微分信号的质量,同时采用 阶跟踪微分器的串联还可以获得待微分信号的各阶微分的渐近估计. 阶强跟踪微分器则可以直接获得待微分信号的1～ 阶微分估值,并具有相对高的静态无差度.

本文还对利用线性跟踪微分器方法实现控制系统的状态反馈设计问题进行了仿真研究.通过对线性系统及非线性时变系统的仿真表明:只要合理地选择跟踪微分器,这一方法是十分简单和有效的,为控制系统的状态反馈设计提供了极大的便利.1 阶线性跟踪微分器与 阶线性强跟踪微分器简介

阶线性跟踪微分器与 阶线性强跟踪微分器分别如图1a,1b 所示.

图1 阶线性跟踪微分器与 阶线性强跟踪微分器原理图 +-u (t )G (s )

o y (t )s 1(a)

(b)1

s

y (t )o G (s )u (t )-

+

设U ・(s )=L [u (t )],则有U ・(s )=sU (s ).可以求出其闭环传递函数分别为

Y (s )=G B (s )U (s )=G ′ (s )sU (s )=G ′ (s )U ・(s ),(1)

Y (s )=G B (s )U (s )=G ′ (s )s U (s )=G ′ (s )U ( )(s ).

(2)显然若G ′ (s )和G ′ (s )稳定,且具有 阶的静态无差度.则当t →∞时,y (t )将以 阶的静态无差

度跟踪u (t )和u ( )(t ).关于两种微分器的详细理论分析见文献[3].

将若干个 阶线性跟踪微分器串联起来,可得到待微分信号的各阶微分,如图2所示.

¨

・

图2获取输入信号各阶微分的串联方式

…(n )G (s ) u (t )

u (t )u (t )u (t )G (s ) G (s )2　线性跟踪微分器及其在状态反馈设计中的应用

运用跟踪微分器获取系统微分信号的方法,可以实现对系统状态的渐近估计,从而直接用于控制系统的状态反馈设计.下面通过仿真进行研究.

在线性定常系统状态反馈设计中的应用

设被控对象的状态空间表达式为x 1x 2x 3=0　1　0

　0　10-2-3x 1x 2x 3+001

[u ],(3)y =[1　0　0][x 1　x 2　x 3]T ,

(4)此系统不稳定.通常的方法是通过状态观测器获取系统状态的估值来进行状态反馈校正.本例中系统的状态为系统输出及其一、二阶导数,用跟踪微分器来直接获取系统的状态并用于反馈.用极点配置方法可以很容易求出获得希望极点的状态反馈矩阵k =[-10　-10　-4],可使系统稳定,且特征值为 1,2=-1

±j , 3=-5.用状态直接反馈和用一阶跟踪微分器获取系统状态并用于反馈的仿真结果如图3、图4所示.

图3　状态直接反馈的控制效果图4　用跟踪微分器获取状态的反馈控制效果

比较图3、图4可以看出,两者的控制效果基本相同.本例由于跟踪微分器的滤波作用,其控制效果好于状态直接反馈的情况.

204北京理工大学学报第19卷　

在非线性系统状态反馈设计中的应用

图5　校正后非线性时变系统的阶跃响应考虑非线性时变系统

x -sin (0.1t )x 2+x =u ,(5)

用一阶线性跟踪微分器获取状态,并按逆系统方法

实现IT AE 最优阶跃输入响应.按逆系统方法理论,

将式(5)化为二阶伪线性系统的反馈控制律为

u = -sin (0.1t )x 2+x ,(6)

而实现ITAE 最优控制的反馈解为

=r -(x +1.4x ),(7)

设x 可测量,x 通过跟踪微分器得到,x ^=sx /(0.1s +

1).其单位阶跃响应如图5所示,其中e 为二阶I-

TAE 最佳系统输出与系统实际输出之差,其误差最大值为1%.可见采用跟踪微分器方法进

行控制系统的反馈设计是合理和有效的.3　结束语

本文利用线性跟踪微分器方法对实现控制系统的状态反馈问题进行了仿真研究.仿真结果表明,只要合理地选择跟踪微分器,无论对线性系统还是非线性时变系统,这一方法均是有效的.

在实际应用中,选择跟踪微分器应注意如下原则:

跟踪微分器的静态无差度应和被跟踪信号的特性相一致.在实际控制问题中需要跟踪的信号大多是位置信号和速度信号,因此可用一阶跟踪微分器.

应合理选择跟踪微分器的时间常数,使状态估计值尽快收敛于实际值.时间常数的选择原则同状态观测器时间常数的选择原则相同.

参考文献

1　高　龙,郭国晓,李德源.非线性PID 电力系统控制器.见:秦化淑编.94中国控制会议论文集.

北京:中国科学出版社,1994.327～333

2　韩京清,王　伟.非线性跟踪——微分器.系统科学与数学,1994,14(2):177～183

3　王庆林.线性跟踪微分器的设计与研究.见:谭民主编.中国科学院自动化所复杂系统工程学开

放实验室编.复杂系统控制问题研究论文集,1997.72～75

205　第2期王庆林等:线性跟踪微分器及其在状态反馈控制中的应用