第八章 影响线及其应用-河海大学

算问题。
影响线定义：
当定向单位集中移动荷载Fp =1在结构上移动时，结构上某指定位 置的指定量值（如支座反力、内力、位移等）随之而变化的图线，称 为该量值的影响线。
如何绘制影响线
静力法—静力平衡条件 影响线绘制方法 机动法—虚位移原理
返回
§8-2 用静力法绘制简支梁的影响线
用静力法绘制简支梁影响线的基础是静力平衡条件
1 1 右 Z FQC FP - FP - 4 2 1 1 1 l 1 1 l FP q - 4 2 2 2 2 2 2
思考：为何ＦQＣ左、 ＦQＣ右不等？ 计算中应注意什么？
返回
§8-7
l l l l 1 FP FP FP q l 8 4 8 2 4 1 ql 2 FP l 2 8
左 Z FQC Fpi yi qAAB
1 1 FP - FP 2 4 1 1 1 l 1 1 l FP q - 4 2 2 2 2 2 2
3.点绘作图： FRA影响线如图（b）
（二）FRB影响线 由 M A 0，得FRB FRB 影响线如图（c） x 0 x l l
二、内力影响线
现绘制任意截面C的内力（弯矩Mc和剪力FQC）的影响线。
1.建立坐标系如图（a） Fp=1在C左移动（0≤x≤a） Fp=1在C右移动（a≤x≤l）
1.坐标系同上：
2.列影响线方程：
当 - d x a时
M c FRB b
bx l
FQC FRB
x l
当a x l a时
M c FRA a
a(l x) l
FQC FRA 1
x l
3.影响线如图：
思考题： 上例中悬臂部分某截面内力影响线如何作？
四、举例 求：图示多跨静定梁支座反力FRA、FRD及弯矩MH，剪力FQE左、 FQE右 影响线
四、举例 求：图示多跨静定梁支座反力FRA、FRD及弯矩MH，剪力FQE左、 FQE右 影响线
返回
§8-6
影响量的计算
影响量：实际荷载作用在结构上某一位置时，对指定 处所的指定量值所产生影响的数值，称为该 处所该量值的影响量。
最不利荷载位置的确定
最不利荷载位置：结构上指定截面指定量值产生最大或最小影 响量的荷载位置称为该量值的最不利荷载位置。
一、集中移动荷载相当于三角形影响线的最不利荷载位置
1.一个集中荷载时
影响量：Z=FP.y 显然，当FP移至影响线顶点 位置时影响量最大， Zmax=FP.c 这一位置即为最不利位置。
第八章 影响线及其应用
§ 8-1
§ 8-2
概述
用静力法绘制简支梁的影响线
§ 8-3
§ 8-4 § 8-5 § 8-6 § 8-7 § 8-8 § 8-9
给点传递荷载下主梁的影响线
静定桁架影响线 用机动法作静定梁的影响线 影响量的计算 最不利荷载位置的确定 包络图 简支梁最危险截面及绝对最大弯矩
§8-1 概述
因此：ym、yn可通过求FP=1
直接作用在主梁上时主梁的影响
线得到。
d x x y FRm y m FRn y n ym yn d d (0 x d )
可见，在结点m、n间，影响线为直线。
2.结பைடு நூலகம்：
结点传递荷载下主梁的影响线，与直接荷载下主梁影响线在结点
临界荷载判断准则：考察Fpi（作用在影响线顶点）
当荷载移动dx时： dz Fpn Fp i 1 Fpi tan Fpi -1 Fp 2 Fp1 tan dx dz 当Fpi在顶点以左时， 0 即 FR左 Fpi tan FR左 tan 0 dx dz 当Fpi 在顶点以右时， 0 即FR左 tan Fpi FR右 tan 0 dx
一、几个集中荷载作用
求图示集中力系作用下，截面D剪力的影响量（即FQD） 由叠加原理，截面的剪力为：
Z FP1 y1 FP 2 y2 FPi yi FPn yn FPi yi
i 1
n
注意： FPi与FP 1方向一致则取正号，否则取负号。
2.列影响线方程
M c 0 M c FRB b F
y
0 FQC FRB
bx l x l
M c FRA a FQC FRA
3.Mc、FQC影响线
a (l x ) l lx l
三、小结
1.简支梁支座反力、内力影响线由直线段组成，其它的静定结构也 是。
二、均布荷载作用
由叠加原理，均布荷载作用时，截面 的剪力： Z qydx q ydx qAmn
m m n n
其中Amn为m与n之间影响线的面积。
注意： q与单位力ＦＰ＝１的方向一致时取 正号，否则取负号。 思考： 如q为任意分布的荷载，则影响量 计算公式怎样？
例 求图示荷载下的FRA,MC,FQC左、 FQC右。
返回
§8-5
用机动法作静定梁的影响线
机动法作静定梁影响线 的理论依据是虚位移原理。 以简支梁为例：
一、反力FRB的影响线
（1）解除B点约束代之以约束反力；
(2) 令B点沿FRB正向发生单位虚位移 =1 (3)列虚位移方程： FRB 1 FP ( y) 0 FRB y
可见FRB影响线即为梁的虚位移图。
（2）荷载移动至结构上什么位置时，结构上该截面的 内力或支座反力最大或最小？（荷载的最不利位置） 为此，引进影响线的概念。
二、影响线概念
各种移动荷载中都包含一个最简单、最基本的共同因素—移动的单位 集中荷载FP=1。
只要确定单位集中移动荷载作用下，结构内力和支座反力的变化规
律，便可以利用叠加原理确定各种活荷载作用下的内力和支座反力的计
当Fp=1在C‘E’之间移动时， 取左边为脱离体。
M
c
0 2d FRA h
- FNBC h FRA 2d 0 FNBC
3.斜杆内力FNB‘C影响线
当Fp=1在A’B’之间移动时， 取右边为脱离体。
F
y
0 1 FRE sin
FNBC sin FRE 0 FNBC
（2）标出结点处的纵距）
（3）用渡引线修正。（即红色）
返回
§8-4
图示桁架：
静定桁架影响线
设各杆内力都假定为拉力，用截面 法和结点法列出影响线方程。 1.下弦杆内力FNBC影响线 当Fp=1在截面1-1所在的结 间以左时，去右边部分为隔 离体，考虑其平衡。
M
B
0 3d FRE h
FNBC h FRE 3d FNBC
2.要注意弄清楚影响线与内力图的区别（荷载、纵坐标、量纲等）。
四、例题 作图示外伸梁的支座反力及C截面内力影响线。
解： （一）反力影响线
1.建立坐标系：
2.列影响线方程：
M A 0 FRB
x l x l
M B 0 FRA 1
3.影响线如图
（二） C截面的弯矩剪力影响线
（横梁）m，n处有相同的纵距；在结点m，n之间，为一直线。
3.步骤：
（1）绘制主梁直接承受单位移动荷载时的影响线； （2）定出结点处影响线的纵距； （3）结点之间分段连以直线。 （渡引线、修正线）
4.例
作图示结构主梁上FRA的影响线。
解： （1）画出主梁直接承受 荷载Fp=1时的影响线； （即粉色）
当Fp=1在C’E’之间移 动时， 取左边为脱离体。
F
y
0 1 FRA sin
FNBC sin FRA 0 FNBC
当Fp=1在B’C’之间 移动 为直线（修正实线）
4.竖杆内力FNB’B影响线
采用结点法，取结点B 为隔离体。
F
y
0
FNBB FNAB sin
返回
§8-3
结点传递荷载下主梁的影响线
结点、结间梁： 结点传递荷载
问题： 移动荷载Fp=1作用在结间梁上，如何作主梁影响线？
1.分析
当FP=1作用在结点m或n时，相当于荷载直接作用在m、n 处的主梁上;当FP=1作用在结间梁上任意位置x处，荷载通过
FRm dx d
x d
和
FRn
作用在主梁。
内力影响线 1.MC影响线
（1）解除截面C与弯矩相应的约束， 代之以MC； （2）令梁沿MC正向发 生单位虚位移 α+β=1
（3）由虚位移方程
M C M C - Fp y 0 MC Fp

y y
影响线即为梁的虚位移图
2.FQC影响线
（1）解除截面C与剪力相应的约束， 代之以FQC
当Fp=1在截面1-1所在的结 间以右时，取左边部分为隔 离体，考虑其平衡。 M B 0 FNBC h FRAd
FNBC d FRA h
2.上弦杆内力FNB,C’
当Fp=1在A‘B’之间移动时， 取右边为脱离体。
M
c
0 2d FRE h
FNBC h FRE 2d 0 FNBC




将tan c/，tan c/代入上式即得临界荷载 判别式：
FR左 FPcr FR右 a b FR左 FR右 FPcr a b
2.两个集中力时
影响量：Z=FP1.y1+FP2.y2 计算FP1在影响线顶点及FP2在影响线顶点两个位 置时的影响量：Z 2 Fp1 c b s Fp 2 c
b Z1 Fp1 c Fp 2 c a s a
比较Z1、Z2，最大影响量对应的荷载位置即为最 不利荷载位置。
3.多个集中力时 n
i
Z Fpi yi 影响量：
方法一：将n个集中力依次放在影响线顶点，分别计算影响量，
其中最大、最小影响量对应的荷载位置就是最不利荷载位置。
方法二：也可以根据Z在其极值点前后，导致 应该变符号的特性，找出满足这一特性的荷载
dz dx
临界荷载位置，在从荷载的临界位置中找出荷载 的最不利位置。 临界荷载：使Z达到极值的荷载位置。
三、一段均布移动移动荷载的最不利位置
图示荷载的影响量为：Z=qAmn
当荷载向右移动dx时，影响量改变为
dz q yn ym dx
解：首先做出简支梁FRA、MC、FQC影响线，如图
Z FRA Fpi yi qAAB 3 1 1 1 FP FP FP q 1 l 4 2 4 2 3 ql FP 2 2 Z M C Fpi yi qAAB
一、工程中提出的问题
永久荷载（固定荷载） 1 荷载 活荷载 定位荷载（短期荷载） -荷载位置可任意布置，时有时无。 移动荷载—荷载大小指向不变，位 置缓缓改变。
2.在移动荷载作用下 结构的内力（反力） 随荷载位置的变化而变化。
移动荷载作用下要回答的问题： （1）荷载移动至结构上某一位置时，结构上某个截面 的内力或支座反力如何计算？ （影响量的计算）
用静力法绘制简支梁影响线要点：
（一）选择坐标系
（二）列影响线方程 （三）点绘作图
一、支座反力影响线
（一）FRA影响线 1.建立坐标系，x表示Fp=1 的位置。 2.列影响线方程： 由梁的平衡条件： M B 0 得 F l 1 (l x) 0
RA
FRA
lx x 1 (0 x l ) l l
（2）令梁沿FQC正向发生单位 虚位移 c’+c”=1；
（3）由虚位移方程
FQC c FQC c Fp ( y) 0 FQC Fp c c y y
影响线即为梁的虚位移图。
三、小结
机动法作影响线步骤： 1、解除相应于结构内指定处所指定量 值的约束，代之以约束力； 2、沿其正向发生单位虚位移； 3、由此得到的沿荷载方向的位移图即 为该量值的影响线。