魔方与数学
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.3 魔方中的其他数学问题 例如笔者在某一数学杂志上看到如下一道题目：
图3 如图 3 由 27 个方块组成的魔方，当转动中间层 EEIGG,FF, HHI 为 a 个角度后，那么该魔方的表面积最大值是多少？ 要解决这个问题，可以从以下方面入手： 首先，我们观察魔方，这个魔方一共有 27 个立方体，它的 表面积假如是 54，如果将其中间层转动角度 a 后，当 a=45 度 时，那么其多出的面积是最多的，那么由此可发现，多出的部分 正好是一些等腰三角形，并且这些三角形全等，因此我们可以 猜想这时魔方的表面积最大。
此，3 具有阶正方体的魔方同时具备 2 阶、3 阶和 4 阶对称性， 因此，3 阶魔方具有其它几何体所不具备的良好对称性。
1.2 魔方中的排列组合原理 根据排列组合公式中的加法原理和乘法原理，三阶魔方的 状态一共有种8！× 38× 12！× 1212状态。也就是说三阶魔方除过
3×2×2 中心 6 个固定不变的方块外，剩下的 20 个方块中，有 8 个方块 放在 8 个角位置，共有 8！种方法，每个角块有三种方向不同
图2 图 2 所示，图（a）绕旋转轴旋转 90 度、180 度、270 度、360 度后却不改变其坐标，同理图（b）也可以围绕旋转轴转动 180 度、360 度，图（c）可以绕旋转轴旋转 120 度、240 度、360 度，那 么图（a）、图（b）、图（c）则分别称为 4 阶对称轴、2 阶对称轴和 3 阶对称轴。由于正方体中都可以包含上文所说的对称性，因
图4
如果我们从正视图入手，图 4 就为两个中心重合的正方
形，其边长为 4，当将其转动时，则边 AD⊥BC，边 AD= 3 2 2，
DE=
3 2
，因此，AE=3 2
2
3 2
，
因此，可推出△ABC 为等腰直角三角形，则其表面积
S=27
18 4
2，
因此，多出的面积就是 16×S=108-72 2。
所以，魔方的最大表面积为 54 ﹢ 108-72 2=162-72 2。
0 引言 魔方最初是由匈牙利的厄尔诺·鲁比克在 1974 年最初发 明的 ，当时他所发明的魔方是三阶魔方，所谓的三阶魔方也就 是指魔方的每个棱有三个方块组成，中心由六个方块组成，整 个一有魔方一共有 12 个棱，8 个角块。魔方的各个面如图 1 所 示：
假如一个集合体上所有的点是关于某一直线对称的，那么 该几何体便是关于直线对称的，那么这条直线就称为该几何体 的二阶对称轴。假如一个几何体具有二次对称轴，那么该几何 体在旋转后能够与自身重合。由此可以推出，如果几何体围绕 对称轴旋转后能够与自身重合，则我们称该直线为该几何体为 n 阶对称轴。
2016 年 / 第三十四期 / 十二月（上） 29
学科探索
的颜色，因此共有 8!×的 8 次方种排列，那么，12 个棱块就共有 12!×2 的 12 次方种排列。但是魔方由于在 还原的过程中不能 够将其它方块不动的前提下，单独改变某一方块的方向，也不 能之改变某一个棱角的方向，因此，要除去 3×2×2。
关键词 魔方 数学 对称
中图分类号：O152.8
文献标识码：A
DOI:10.16400/j.cnki.kjdks.2016.12.014
Magic and Mathematics
YU Zhiqi
(Wuhan Rayson School, Wuhan, Hubei 430200)
Abstract Mathematical knowledge and mathematical thinking can be penetrated into all aspects of our daily lives, and even the fun and games are bears very advanced mathematics thought, cube is a concrete manifestation of interesting mathematics. In this paper, based on the brief introduction on the focus of one of the cube, the mathematics thought and mathematics knowledge, finally we can learn from the ability of basic mathematical cube are introduced. Keywords magic; mathematics; symmetric
2 从魔方中能学到的数学能力
2.1 空间想象能力
魔方能够增强学生的空间观念，例如我们可以拿到一个魔
所谓点对称和中心对称也是对称中最为主要的一种对称 类型，例如线段 AB 被点 O 平分，那么我们称点 A，B 关于点 O 中心对称，假如一个几何体中所有的点能够被 点 O 平分，那么 我们称该几何体关于点 O 中心对称，O 被称为对称中心。
下面我就魔方中所包含的对称进行分析。
图1 魔方复原的方法已经得到了解决，而且随着魔友越来越 多，解法也层出不穷。那么复原一个魔方最少的步骤（“上帝之 数”）是多少呢？这个问题困扰了科学家几十年，2010 年美国 工程师魔方复原的方法已经得到了解决，其结果为 20，本文讨 论的重点不是上帝魔方复原的方法，而是魔方中所体现的数学 问题，以及学习所需要的数学基本能力。 1 魔方中的数学问题 1.1 魔方中的面对称、直线对称和中心对称 所谓镜面对称就是指如果一个集合体被分为两部分，其中 一部分是另外一部分关于所给平面的镜面映像，则称该集合体 为平面对称，也称为镜面对称。
学科探索
魔方与数学
余智麒
（武汉睿升学校 湖北·武汉 430200）
ห้องสมุดไป่ตู้
摘 要 数学知识和数学思想可以渗透到我们日常生活中的各个方面，甚至是玩乐和游戏中都蕴藏着非常高深的数学
思想，魔方正是趣味数学的一种具体体现。本文对魔方进行简单介绍的基础上，重点分析了其中所包含的数学思想和
数学知识，最后对我们能从魔方中学习到的数学基本能力进行了介绍。
图3 如图 3 由 27 个方块组成的魔方，当转动中间层 EEIGG,FF, HHI 为 a 个角度后，那么该魔方的表面积最大值是多少？ 要解决这个问题，可以从以下方面入手： 首先，我们观察魔方，这个魔方一共有 27 个立方体，它的 表面积假如是 54，如果将其中间层转动角度 a 后，当 a=45 度 时，那么其多出的面积是最多的，那么由此可发现，多出的部分 正好是一些等腰三角形，并且这些三角形全等，因此我们可以 猜想这时魔方的表面积最大。
此，3 具有阶正方体的魔方同时具备 2 阶、3 阶和 4 阶对称性， 因此，3 阶魔方具有其它几何体所不具备的良好对称性。
1.2 魔方中的排列组合原理 根据排列组合公式中的加法原理和乘法原理，三阶魔方的 状态一共有种8！× 38× 12！× 1212状态。也就是说三阶魔方除过
3×2×2 中心 6 个固定不变的方块外，剩下的 20 个方块中，有 8 个方块 放在 8 个角位置，共有 8！种方法，每个角块有三种方向不同
图2 图 2 所示，图（a）绕旋转轴旋转 90 度、180 度、270 度、360 度后却不改变其坐标，同理图（b）也可以围绕旋转轴转动 180 度、360 度，图（c）可以绕旋转轴旋转 120 度、240 度、360 度，那 么图（a）、图（b）、图（c）则分别称为 4 阶对称轴、2 阶对称轴和 3 阶对称轴。由于正方体中都可以包含上文所说的对称性，因
图4
如果我们从正视图入手，图 4 就为两个中心重合的正方
形，其边长为 4，当将其转动时，则边 AD⊥BC，边 AD= 3 2 2，
DE=
3 2
，因此，AE=3 2
2
3 2
，
因此，可推出△ABC 为等腰直角三角形，则其表面积
S=27
18 4
2，
因此，多出的面积就是 16×S=108-72 2。
所以，魔方的最大表面积为 54 ﹢ 108-72 2=162-72 2。
0 引言 魔方最初是由匈牙利的厄尔诺·鲁比克在 1974 年最初发 明的 ，当时他所发明的魔方是三阶魔方，所谓的三阶魔方也就 是指魔方的每个棱有三个方块组成，中心由六个方块组成，整 个一有魔方一共有 12 个棱，8 个角块。魔方的各个面如图 1 所 示：
假如一个集合体上所有的点是关于某一直线对称的，那么 该几何体便是关于直线对称的，那么这条直线就称为该几何体 的二阶对称轴。假如一个几何体具有二次对称轴，那么该几何 体在旋转后能够与自身重合。由此可以推出，如果几何体围绕 对称轴旋转后能够与自身重合，则我们称该直线为该几何体为 n 阶对称轴。
2016 年 / 第三十四期 / 十二月（上） 29
学科探索
的颜色，因此共有 8!×的 8 次方种排列，那么，12 个棱块就共有 12!×2 的 12 次方种排列。但是魔方由于在 还原的过程中不能 够将其它方块不动的前提下，单独改变某一方块的方向，也不 能之改变某一个棱角的方向，因此，要除去 3×2×2。
关键词 魔方 数学 对称
中图分类号：O152.8
文献标识码：A
DOI:10.16400/j.cnki.kjdks.2016.12.014
Magic and Mathematics
YU Zhiqi
(Wuhan Rayson School, Wuhan, Hubei 430200)
Abstract Mathematical knowledge and mathematical thinking can be penetrated into all aspects of our daily lives, and even the fun and games are bears very advanced mathematics thought, cube is a concrete manifestation of interesting mathematics. In this paper, based on the brief introduction on the focus of one of the cube, the mathematics thought and mathematics knowledge, finally we can learn from the ability of basic mathematical cube are introduced. Keywords magic; mathematics; symmetric
2 从魔方中能学到的数学能力
2.1 空间想象能力
魔方能够增强学生的空间观念，例如我们可以拿到一个魔
所谓点对称和中心对称也是对称中最为主要的一种对称 类型，例如线段 AB 被点 O 平分，那么我们称点 A，B 关于点 O 中心对称，假如一个几何体中所有的点能够被 点 O 平分，那么 我们称该几何体关于点 O 中心对称，O 被称为对称中心。
下面我就魔方中所包含的对称进行分析。
图1 魔方复原的方法已经得到了解决，而且随着魔友越来越 多，解法也层出不穷。那么复原一个魔方最少的步骤（“上帝之 数”）是多少呢？这个问题困扰了科学家几十年，2010 年美国 工程师魔方复原的方法已经得到了解决，其结果为 20，本文讨 论的重点不是上帝魔方复原的方法，而是魔方中所体现的数学 问题，以及学习所需要的数学基本能力。 1 魔方中的数学问题 1.1 魔方中的面对称、直线对称和中心对称 所谓镜面对称就是指如果一个集合体被分为两部分，其中 一部分是另外一部分关于所给平面的镜面映像，则称该集合体 为平面对称，也称为镜面对称。
学科探索
魔方与数学
余智麒
（武汉睿升学校 湖北·武汉 430200）
ห้องสมุดไป่ตู้
摘 要 数学知识和数学思想可以渗透到我们日常生活中的各个方面，甚至是玩乐和游戏中都蕴藏着非常高深的数学
思想，魔方正是趣味数学的一种具体体现。本文对魔方进行简单介绍的基础上，重点分析了其中所包含的数学思想和
数学知识，最后对我们能从魔方中学习到的数学基本能力进行了介绍。