基于动态PREISACH算子的压电陶瓷动态迟滞智能建模

Abstract: The classic Preisach model is hard to be used to describe the dynamics of the hysteresis depending on the input change-rate. Moreover, the weighting function of the Preisach model is rather difficult to be determined so that it is impossible to adapt the change of the environmental conditions. A modified Preisach model, namely the dynamic Preisach operator, was proposed, wherein, the parameters are dependent on the change-rate of the input to describe the basic feathers of the dynamics of the hysteresis caused by the input change-rate. With the introduction of the dynamic Preisach operator into the input space, the multi-valued mapping of the hysteresis is transformed into the one-to-one mapping so the neural networks can be utilized for the identification of the rate-dependent hysteresis. The proposed model has a simple architecture that simplifies identification procedure for hysteresis and can adapt to different operating conditions. Finally, experimental results are illustrated to show the effectiveness of the proposed approach. Key words: Preisach model; dynamic hysteresis; neural networks; dynamic Preisach operator; one-to-one mapping
(2)
图1
输入变化率对迟滞输出特性的影响Baidu Nhomakorabea
3
动态 Preisach 算子
基于以上关于迟滞动态特性的分析， 我们给出与输入变
其中， H[u](t)， u(t)分别为迟滞在 t 时刻的输出和输入， γα,β[u](t) 是 Preisach 模型的迟滞单元，α, β 分别为迟滞单元的上、下 切换值，ξ∈{-1, +1}；umin，umax 为输入信号在区间(− ∞, t]上 的最小和最大值；µ(·)为权重函数。S = {(α, β)|umin ≤ β ≤ α ≤ umax}是迟滞平面上的积分区域，积分边界线将积分区域分 为：S+1={(α, β)| γα,β [u](t) = +1}和 S−1= {(α, β)| γα,β [u](t) = −1}。因此(1)式可进一步改写为：
⎛
u − u pi ⎞ u )⎟ ρ ⎠ u pi u pj − u ⎞ u pj )⎟ ρ ⎠ u
(4)
输入单调下降减小时，
1 − exp(− ∫∫ µ (α , β , ρ )dα d β = ( u − u ) ⎜ ⎝
pj
(3)
⎛
(5)
S j−
经典 Preisach 模型有两个特性： 记忆擦除特性和次环全 等性。 记忆擦除特性是指当输入信号在某时刻超越了信号历 史极值(即大于极大值或小于极小值)时，该历史极值不再影 响该时刻以后的 Preisach 模型的输出。 次环是指当输入信号 在极大与极小值之间变化时， 在输入输出平面上所形成的封 闭轨迹。次环全等是指：输入信号在不同的时间段内具有相 同的极值时，Preisach 模型将形成依附于主环，形状全等的 次环。 Preisach 模型的权重函数 µ(·)往往通过大量的实验来确 定，在实际应用中存在较大的困难，且 Preisach 模型本身是 一种静态模型，不能反映迟滞特性的动态特性，本文中基于 Preisach 模型，构造动态 Preisach 算子，将输入变化率对迟 滞的影响综合到算子的参数中， 给出了上述 Preisach 模型积 分形式的一种实现，避免了直接求取权重函数的困难。
Intelligent Modeling of Rate-dependent Hysteresis in Piezoelectric Actuators Based on Dynamic Preisach Operator
ZHANG Xin-liang1, TAN Yong-hong2
(1. Department of Automation, School of Electronic, Information and Electrical Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China; 2.College of Information, Mechanical and Electronic Engineering, Shanghai Normal University, Shanghai, 201418, China)
收稿日期： 2007-09-12 修回日期： 2007-10-13 基金项目：上海师范大学重点学科项目 (DZL811), 上海市教委科技创新 重点项目(09ZZ141)，上海师范大学前瞻性科研项目(DYL200809)，国家 自然科学基金(60572055). 作者简介： 张新良 (1978-), 男, 山东潍坊人, 博士生, 研究方向为非线性 系统的建模与控制， 智能控制等； 谭永红 (1958-), 男, 广西桂林人, 壮族, 博士, 教授, 博导, 研究方向为智能控制， 非线性系统建模与控制， 故障 诊断等。
第 21 卷第 9 期 2009 年 5 月
系 统 仿 真 学 报© Journal of System Simulation
Vol. 21 No. 9 May, 2009
基于动态PREISACH算子的压电陶瓷动态迟滞智能建模
张新良 1, 谭永红 2
(1.上海交通大学电子信息与电气工程学院自动化系，上海 200240； 2.上海师范大学信息与机电工程学院，上海 201418)
引
言1
存在于智能材料中的迟滞是一种非平滑、 不可微的非线
需要通过大量的实验来确定， 模型难以适应外部环境条件的 变化，缺乏适应性。同时，经典的 Preisach 模型是一种静态 模型，不能反映迟滞非线性受输入变化率的影响，无法描述 迟滞非线性的动态特征。 近年来， 一些学者开始尝试将神经网络应用到迟滞非线 性的辨识中[3-6]。[3]在设计迟滞的变结构控制时，使用两个 结构相同的神经网络分别建立单环迟滞上下半环的逆模型， 但这种方法不能推广到多环的迟滞建模中。 [4]证明了神经网 络不能直接用于迟滞这种具有记忆特性的多值映射的辨识 中。为解决迟滞输入、输出之间的一一映射问题，[5]利用一 个边界转换算子来提取 Preisach 模型边界线的信息， 从而将 迟滞输出与边界线的一一影射转换为迟滞输出与转换算子 输出之间的一一影射。 [6]提出了一个与迟滞输出具有相似特 征的迟滞算子， 利用算子的输出和迟滞的输入构造了新的输 入空间，迟滞的输出可以在这个新的输入空间上被唯一确 定。然而，这些模型都是基于经典的 Preisach 模型构造，不 可避免的存在静态建模的一些缺点， 如不能反映迟滞的动态 特性，在输入变化率很大时模型精度大大降低。 实际的智能材料中存在的迟滞受到输入信号变化特征
压电陶瓷执行器(额定输入电压范围 0 ~100V， 额定输出位移 范围为 0 ~25µm)。如图 1 所示，压电陶瓷中迟滞因输入信 号变化率变化所体现出的变化特征与因输入信号频率变化 特征类似，即随着输入变化率绝对值的逐渐增加，其形成的 迟滞环的宽度逐渐增大，高度逐渐减小。
9 8 Displacement /µm 7 6 5 4 3 0 10 20 30 Input voltage /volt. 40 50 change-rate: 0.05V/0.01s 0.50V/0.01s 2.00V/0.01s
摘 要： 针对经典 Preisach 模型存在的不能反映迟滞依赖于输入变化率的动态特性且其权重函数难 以确定的缺点，给出了 Preisach 模型中积分项的一种实现形式，动态 Preisach 算子，其参数是输 入变化率的函数，该 Preisach 算子反映了迟滞依赖输入变化率而体现的动态特性的基本特征。通 过引入动态 Preisach 算子，将存在于迟滞非线性中的多值映射转化为连续的一一映射，从而将神 经网络等智能辨识工具应用到迟滞非线性的建模中。该方法简化了迟滞非线性的建模过程，结构 简单，且能实现在线更新，具有实际的应用价值，实验结果验证了所得模型的有效性。 关键词：Preisach 模型；动态迟滞；神经网络；动态 Preisach 算子；一一映射 中图分类号：TP391.9 文献标识码：A 文章编号：1004-731X (2009) 09-2682-05
1
Preisach 模型
经典 Preisach 模型认为迟滞非线性是简单迟滞单元加权
叠加的结果即：
H [u ](t ) = ∫∫ µ (α , β )γ α , β [u ](t ) dα d β
S
(1)
γ α , β [u ](t ) = ⎨ ξ
u (t ) > α β ≤ u (t ) ≤ α ⎪ −1 u (t ) < β ⎩ ⎧ +1 ⎪
性，在相同的输入信号下，可能产生不同的输出，即具有多 值影射的特点。 同时， 迟滞的输出还与输入的历史极值有关， 表现出其记忆性的特征。迟滞的存在，使得智能材料等在作 为执行器使用时，精度大大降低，甚至会导致控制系统不稳 定[1]。因此有必要对迟滞特性建模，并基于所获得的模型， 在设计控制器时对其补偿，提高控制系统的精度和性能。 不少文献提出了用于描述迟滞非线性的数学模型， 其中 Preisach 模型描述 Preisach 模型[2]是使用最广泛的一种模型。 了迟滞的基本特征，如次环全等性，记忆擦除特性等。但 Preisach 模型的缺点是其实现形式比较复杂，权重函数往往
H [u ](t ) = ∫∫ µ (α , β )dα d β − ∫∫ µ (α , β )dα d β
S +1 S− 1
化率相关的迟滞输出变化量的实现形式如下： 输入单调上升增加时，
1 − exp( − ∫∫ µ (α , β , ρ )dα d β = ( u − u ) ⎜ ⎝
pi Si +
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第 21 卷第 9 期 2009 年 5 月
张新良， 等： 基于动态 Preisach 算子的压电陶瓷动态迟滞智能建模
Vol. 21 No. 9 May, 2009
的影响而表现出很强的动态特性[7]，本文对迟滞输入变化率 对存在于压电执行器中的迟滞的影响进行了实验研究， 针对 Preisach 模型的权重函数难以确定的不足，给出了 Preisach 模型积分的一种实现， 并将输入变化率对迟滞的影响反映到 所得模型的参数中， 得到了一种改进的基于 Preisach 模型的 Preisach 算子。通过引入该动态 Preisach 算子，将存在于迟 滞中的多值映射转化为一一映射， 从而将神经网络应用到了 迟滞动态特性的建模中。