换元法及其应用

换元法及其应用

高一（2）班（C3）张宇绪论：目的在于总结数学解题方法，灵活运用换元法解题。

（一）选题引入

【例一】

其中(>1),则的值域是_______。

【分析】

一般得求出的值域比较容易，但当的自变量也是一个函数的时候求其值域相对比较困难，这时候换元法就大派用场了。

【解】

求的值域，首先要求出的表达式。

函数一般我们习惯还是用来表示，所以要把换成。

【例二】

解不等式：。

【分析】

这是包含对数函数的不等式，一般地对数函数或指数函数写起来都比较麻烦，当在一个等式或不等式中对数或指数出现次数很多的时候，一般可以考虑用换元法，把对数或指数换掉，这样可以简化计算的中间过程，减少因为写错写漏而引起的错误。【解】

原不等式可以化为：

即，以2为底的对数函数是增函数。

，以2为底的指数函数是增函数。

变量代换的一个共同的特点是：尽可能让外表结构简单明白，尽可能将新鲜的问题转化到熟悉的老问题中去。换元法关键的一步是变量代换，如何选择，如何代换直接影响计算的复杂度，甚至影响到能否解决问题。

（二） 选题概述

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

（三） 选题分类

1、局部换元

又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

2、三角换元

应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝√1-X^2值域时，若x ∈[-1,1]，设x ＝sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcosθ、y ＝rsinθ化为三角问题。

3、均值换元

如遇到x ＋y ＝2S 形式时，设x ＝ S ＋t ，y ＝ S －t 等等。

（四） 换元法典型题归纳

1、整体换元

求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值.

解：设•t x x •y x x t .2

1cos sin ),22(cos sin 2-=∙≤≤-+=则 •t t t y .1)1(2

12122-+=+-=故 当.221,2max +==•y •t 时 2、三角换元 求函数25x x y -+=的值域.

解：令•••x ],2

,2[,sin 5ππθθ-∈= ).4sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5π

θθθθθ+=+=+∙=y 则

因为22πθπ≤≤-

， 所以.4

344ππθπ

≤+≤- 所以1)4

sin(22≤+≤-πθ，得10)4sin(105≤+≤-πθ 所以函数的值域为[10,5•-].

3、比值换元

已知x ，y ，z 满足x -1=

3221-=+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最小值？

解：由比例可以设t z y x =-=+=-3

22111，则 222z y x ++22)12()1(-++=t t +.61014)23(22++=+t t t 当14

5-=t 时，即149=x ，712-=y ，222,14

13z y •x z ++=时达到最小值. ○

4、不等量换元 求证：4

7)1(1131211122322<++++++n n . 证明：对通项公式进行变形

)1

111(21)1)(1(111122+--∙=+-=-

1(1131211122322<+-+-++<++++++n n n n （五） 分析结论

换元法贯穿于数学学习的始终，用这种方法可以让解题更具条理性；对于学生来说，可以使思路更清晰，提高正确率；还有对于一些难题来说，换元法不失为一种捷径。

（六） 研究体会

数学虽为一门理科，但解题中的反复、归纳、积累是不可或缺的，生活中不经意的好习惯也许会成为你将来成功的筹码与阶梯。