24指数与指数函数
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2017年高考专题辅导五 指数与指数函数
1． 根式的性质
(1)(n a )n ＝a .(2)当n 为奇数时n a n ＝a . 当n 为偶数时n
a n ＝{ a (a ≥0)－a (a <0) 2． 有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．
③负整数指数幂：a －
p ＝1a p (a ≠0，p ∈N *)．
④正分数指数幂：a m n ＝n
a m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．
⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1
n a m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．
⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质
①a r a s ＝a r ＋
s (a >0，r 、s ∈Q)；②(a r )s ＝a rs (a >0，r 、s ∈Q)；③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)． 3． 指数函数的图象与性质
y ＝a x
a >1
0 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x >0时，y >1； x <0时，0 (5)当x >0时，0 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 题型一 指数幂的运算 例1 (1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－ 1； (2)已知x 12＋x －1 2＝3，求x 2＋x － 2－2x 32＋x －3 2－3的值． 计算下列各式的值： (1)⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002)－1 2－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)1 5＋2 －(3－1)0－9－45； (3)a 3b 23ab 2 (a 14b 12)4a －13b 13 (a >0，b >0)． 题型二 指数函数的图象、性质的应用 例2 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论 正确的是 ( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00nD ．0 (1)函数y ＝e x ＋e － x e x －e －x 的图象大致为 ( ) (2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________. 题型三 指数函数的综合应用 例3 k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？ A 组 课堂知识过手 一、选择题 1．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2 ＝ ( ) A.94 B.54 C.10 3 D.43 2．函数y ＝a x －a(a>0，且a≠1)的图象可能是 ( ) 3．(2014·武汉模拟)设a ＝(2)1.4 ，b ＝332，c ＝ln 32，则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞b D ．b ＞a ＞c 4．(2014·东北三校联考)函数f(x)＝a x －1 (a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是 ( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2| C ．y ＝2x －1 D ．y ＝log 2(2x) 5．若函数f(x)＝a |2x －4| (a ＞0，a ≠1)，满足f(1)＝1 9 ，则f(x)的单调递减区间是 ( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 6．函数y ＝a x －b(a ＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(0，1) D ．无法确定 7．若关于x 的方程|a x －1|＝2a(a ＞0且a≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是 ( ) A ．(0，1)∪(1，＋∞) B ．(0，1) C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，12 二、填空题 8. a 3 a ·5a 4 (a ＞0)的值是________． 9．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12x ＋1在x∈[－3，2]上的值域是________． 10．已知函数f(x)＝a －x (a ＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a 的取值范围是________． 三、解答题 11．求下列函数的定义域、值域及单调性． (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6＋x －2x 2；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x|. B 组 课后强化训练 一、选择题 1．函数y ＝a |x | (a >1)的图像是( ) 2．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ log 3x ，x >0 2x x ≤0，则f (9)＋f (0)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨ ⎪⎧ a x ，x <0， a －3x ＋4a ，x ≥0， 满足对任意x 1≠x 2，都有 f x 1－f x 2 x 1－x 2 <0成立，则a 的取值范围是________． 4．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．