矩阵可逆的若干判定及求法(学年论文)

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解 因为|������| = ad − bc = 1 ≠ 0 所以A可逆。 设A的逆矩阵为B = [
������������ + ������������ = ������������ + ������������ = 1 ������ = ������ ay + bw = xb + dy = 0 y = −b { ,解得{ ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = 0 ������ = −������ ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = 1 ������ = ������ 所以������−1 = ������ = [ ������ −������ −������ ]。 ������
Kelly Chen Instructor: Haobo Yang
Abstract: Reversible matrix linear algebra is an important tool. Reversible and irreversible judgment matrix evaluates There are many ways, this article systematically reviewed. Available definition determination method, determinant method, elementary transformation method, the available block matrix inversion, characteristic polynomial. Key word: matrix; inverse matrix; elementary transformation; linear equations; adjoin matrix; block matrix; characteristic polynomial.
摘要 可逆矩阵是线性代数中的一个重要工具。 判定可逆矩阵及可逆矩阵的求有许多方法, 本文对此进 行系统的综述。判定可用定义法、行列式法、初等变换法,求逆可用分块矩阵、特征多项式法 关键词:矩阵;逆矩阵;初等变换;线性方程组;伴随矩阵;分块矩阵;特征多项式。
Some Methods for Judging Invertible Matrix and Solving Method
目录
1 引言 ............................................................................................................................................................. 1 2 概述 ..................................................................................................................................................... 1 2.1 可逆矩阵的定义.............................................................................................................................. 1 2.2 可逆矩阵的基本性质....................................................................................................................... 1 3 判定及求法 ................................................................................................................................................. 2 3.1 判定矩阵可逆方法——定义法 ....................................................................................................... 2 3.2 判定矩阵可逆方法——行列式法 ................................................................................................... 2 3.3 判定矩阵可逆方法——初等变换法 ............................................................................................... 3 3.3.1 矩阵的秩................................................................................................................................ 3 3.3.2 初等变换................................................................................................................................ 3 3.5 判定矩阵可逆方法——分块矩阵 ................................................................................................... 5 3.6 判定矩阵可逆方法——利用特征多项式判别矩阵可逆 ............................................................... 7 4 小结 ............................................................................................................................................................. 8 参考文献: .................................................................................................................................................... 8
������12 ������22 ⋮ ������������2
⋯ ������1������ ⋯ ������2������ ⋯ ⋮ |叫做矩阵������的行列式,记作detA. ⋯ ������������������
1 det ������
������11 ������21 A=[ ⋮ ������������1
������12 ������22 ⋮ ������������2
… ⋯ ⋯ ⋯
������1������ ������2������ ⋮ ] ������������������
2.2 可逆矩阵的基本性质
(1)若A可逆,则������−1 也可逆且(A−1 )−1 = ������; (2)若A可逆,则������������ 也可逆且(������������ )−1 = (������−1 )������ ; (3)若A可逆,数λ ≠ 0,则(������������)也可逆且(������������)−1 = ������−1 ;
������ 1
( 4 )若 A,B 都可逆,则 AB 也可逆且 (������������)−1 = ������−1 ������−1 ,可推广为 ������1 ,������2 , ⋯ ,������������ 均可逆且 (������1 ������2 ⋯ ������������ )−1 = ������������ −1 ������������−1 −1 ⋯ ������1 −1 ; (5)若A可逆,则|������−1 | = |������|−1 ; (6)若A可逆,则������−k = (������−1 )������ ; 注 1:若A, B为同阶的可逆矩阵,则A + B不一定可逆,如A = [
注释: 定义法一般适用于求二级, 三级可逆方阵的逆矩阵, 级数高的可逆矩阵不采取这种方法。 因为矩阵的级数越大,方程组所含的方程越多,解方程就越困难,由此带来的计算量一般是非常大 的。
3.2 判定矩阵可逆方法——行列式法
把 n 阶矩阵
������11 ������21 的唯一的������阶子式| ⋮ ������������1
本科生学年论文
( 2012 级)
论文(设计)题目 作 分院、 班级 指导教师(职称) 字 数 者 专业
矩阵可逆的若干判定及求法 陈凯丽 理工分院数学与应用数学专业 数 学 1201 杨浩波(副教授) 7000 2014 年 11 月
成果完成时间
杭州师范大学钱江学院教学部制
矩阵可逆的判定及求法
数学与应用数学专业 1201 班 陈凯丽 指导教师 杨浩波
1
1 2
1 1 ],B = [ 1 2
Baidu Nhomakorabea
0 ]均可逆,但 1
A+B=[
2 4
1 ]不可逆。 2
|������������| = |������||������| ≠ 0, 注 2: (4) 的逆命题成立。 即若AB可逆, 则A, B也可逆。 这是因为: 由于AB可逆, 有|������| ≠ 0且|������| ≠ 0,所以A, B也可逆。
矩阵可逆的若干判定方法
数学与应用数学 专业 陈凯丽 指导教师 杨浩波
1 引言
矩阵是数学中一个极其重要的、应用广泛的概念,是线性代数和代数学的一个主要研究对象和 重要工具。它广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域,因而也就使矩阵成为代数,特别是线 性代数的一个主要研究对象。它主要讨论的是解线性方程组的理论问题,线性变换的理论,旋转坐 标轴变换公式的矩阵表示,二次曲线一般方程的矩阵表示,国民经济中的调运方案等等问题。可逆 矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位,它犹如有理数中的倒数。那么可逆矩阵的判定就显得非常 重要了。
2 概述 2.1 可逆矩阵的定义
对于n级方阵A, 如果存在n级方阵B, 使得AB = BA = I,则称A是可逆矩阵(可逆的) ,称B为 A的逆矩阵并记为������−1 ,即������−1 = ������ AB BA 注:可逆矩阵A必为方阵,其逆必唯一,且������−1 与A为同阶方阵,即A������−1 = ������−1 ������ = ������ 。
3 判定及求法
3.1 判定矩阵可逆方法——定义法
定义 1:n级方阵A称为是可逆的,如果存在n级方阵B,使得AB = BA = I,且������−1 = B。 这里I是n阶单位矩阵。 利用定义的方法,当求解矩阵方程时,通过矩阵运算规律从矩阵方程中由 AB = I , 从而可得 ������−1 = ������这一方法适用于抽象矩阵求逆。 例 1 设A = [ ������ ������ ������ ] ,ad − bc = 1; 求������−1 。 ������ ������ ������ ������ ],由于AB = BA = I,得 ������
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