函数展开成幂级数58878

(RxR).
例1 将函数f(x)ex展开成x的幂级数.
解 显然 f (n)(x)ex(n1, 2, ),
f (n)(0)1(n1, 2, ).
于是得级数
它的收敛半径R.
1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
对于任何有限的数x、 (介于0与x之间), 有
|
Rn(x)|
|
e (n 1)!
所以f (n)(0)顺序循环地取0, 1, 0, 1,
2
(n0, 1, 2, 3,
),
于是得级数
x x3 x5 (1)n1 x2n1 ,
3! 5为R.
对于任何有限的数x、 (介于0与x之间), 有
| Rn (x)|
|
sin[ (n 1)
2 (n 1)!
lim
n
Rn(x)
0
(xU(x0)) .
>>>
❖展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f(x)的麦克劳林级数
一致.
这是因为, 如果f(x)在点x00的某邻域(R, R)内能展开成x的幂级数, 即 f(x)a0a1xa2x2 anxn ,
那么有
❖展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f(x)的麦克劳林级数
一致.
应注意的问题:
如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数. 但是, 如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x). 因此, 如果f(x)在点x00处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这 个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.
Jlin Institute of Chemical Technology
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❖复习
一、泰勒级数
根据泰勒中值定理, 如果函数f(x)在x0的某邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0)(x x0)
f
(x0 2!
)
(x
x0)2
f
(n)(x0) n!
(x
x0)n
a0f(0),
a1f (0),
a2
f
(0) 2!
,
,
an
f
(n)(0) n!
,
.
提示: f (x)a12a2x3a3x24a4x35a5x4 , f (0)a1 . f (x)2!a232a3x43a4x254a5x3 , f (0)2!a2. f (n)(x)n!an(n1)n(n1)2an1x , f (n)(0) n!an.
❖函数展开成幂级数的步二骤 、函数展开成幂级数
•第一步 求出f (x)的各阶导数: f (x), f (x), , f (n)(x), ; •第二步 求函数及其各阶导数在x0 处的值:
f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), ; •第三步 写出幂级数
f
(x0) 2!
(x
x0)2
f
(x0) 3!
(x
x0)3
,
称为函数f(x)的泰勒级数.
❖麦克劳林级数
在泰勒级数中取x00, 得
f (0)
f
(0)x
f
(0) 2!
x2
f
(n)(0) n!
xn
,
此级数称为f(x)的麦克劳林级数.
一、泰勒级数
❖泰勒级数
f (x0)
f (x0)(x x0)
f
]
x n 1 |
| x|n1 (n 1)!
0
(n
).
因此得展开式
sin
x x x3 x5 3! 5!
(1)n1 x2n1 (2n 1)!
(<x<).
例3 将函数f(x)(1x)m (m为任意常数)展开成x的幂级数.
解 f(x)的各阶导数为
f (x)m(1x)m1,
f (x)m(m1)(1x)m2,
f (n)(x)m(m1)(m2) (mn1)(1x)mn,
f (0) f (0)x
f (0) x2 2!
f (n)(0) xn n!
,
并求出收敛半径R;
•第四步 考察在区间(R, R)内时是否Rn(x)0(n). 如果Rn(x)0(n), 则f(x)在(R, R)内有展开式
f (x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
f (n)(0) xn n!
Rn(x)
,
其中 Rn(x)
f (n1)()
(n1)!
(x
x0)n1
(介于
x
与x0
之间).
等式右端的多项式当其项数趋于无穷时, 将成为幂级数, 这个幂级数就称为f(x)的泰 勒级数.
一、泰勒级数
❖泰勒级数
如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则幂级数
f (x0) f (x0)(x x0)
xn1
|
e|x|
| x|n1 (n 1)!
,
而 lim | x|n1 0 n (n1)!
,所以 lim| n
Rn(x)|
0
,从而有展开式
ex 1 x 1 x2 1 xn (<x<).
2!
n!
例2 将函数f(x)sin x展开成x的幂级数.
解解 因为 f (n)(x)sin(xn ) (n1, 2,),
§11.4 函数展开成幂级数
一、泰勒级数
二、函数展开成幂级数
函 数 f(x)是 否 能 在 某 个 区 间 内 “ 展 开 成 幂 级 数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某 区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果 能找到这样的幂级数, 则称函数f(x)在该区间内能展 开成幂级数.
(x0) 2!
(x
x0
)2
f
(x0) 3!
(x
x0)3
.
,
❖麦克劳林级数
f (0)
f (0)x
f (0) 2!
x2
f
(n)(0) n!
xn .,
显然, 当xx0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0).
需回答的问题是: 除了xx0外, f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收 敛于f(x)?
一、泰勒级数
❖泰勒级数
f (x0)
f (x0)(x x0)
f
(x0) 2!
(x
x0
)2
f
(x0) 3!
(x
x0)3
.
,
❖麦克劳林级数
f (0)
f (0)x
f (0) 2!
x2
f
(n)(0) n!
xn .,
❖定理
设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒 级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零, 即