“圆”中常见定理及常见辅助线

2016年8月

微专题:“圆”中常见定理及常见辅助线

筅江苏江阴市青阳第二中学孙海峰

近期，阅读《中学数学》(下)刊发的系列“一题一课”

的文章，受益匪浅，恰逢笔者所在学校大力推行中考复 习课“微专题”设计，笔者结合读刊心得和自己的教学实 践设计的“圆中常见定理及常见辅助线”受到验收组专 家的一致好评，现成文简单介绍，并对“微专题”的设计 思路给出两点思考，不当之处，还请各位专家和同行批 评指正.

“圆”是中考的必考内容，也是中学阶段几何学习的 核心知识.由于教育部2013年审定的《义务教育教科书•数学》和《义务教育数学课程标准(2011年版)》删掉了 “圆”中的部分内容，只保留了最“母体”的知识和定理：比如垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论、切线的 性质定理和判定定理、切线长定理等，导致部分一线教 师对“圆”这一章内容的教学有所淡化，这是极其严重的 错误；当然也出现了一个更为极端的现象，有的教师把 已经删掉的内容又搬回了课堂.对于上述两种极端，在 教学中应该引起一线教师的足够重视.

一、原题呈现

如图1，半圆O的直径10cm，弦AC=6cm，AD平分 乙BAC，则AD的长为（）.

A.4姨5c m

B.3姨5c m

C.5姨5c m

D.4cm

说明:所选试题为2013年四川省内江市的一道中考 选择题，题目的题干叙述简洁，清晰明了，图形也比较简 单，但是所考查的知识却几乎涵盖与“圆”相关的所有知 识，比如垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论，是一 个不错的题目，符合“好的题目”(章建跃语)的特点，重 要的是符合“微专题”的“微”这一典型特点.

A O

B A O

图1图2

68十教，？初中版

二、解法探究

解法1:连接BD，连接OD和BC交于点£(如图2).

因为AB是直径，所以AD丄BD.

因为AD平分乙BAC，所以点D是弧BC的中点.

根据垂径定理可得:E为BC的中点，且OD丄BC.

因为AB是直径，所以A C丄BC.又因为AB=10cm，AC=6cm，所以BC=8cm，进而 B£=丄B C=4cm.

2

在Rt△OEB中，OB=丄AB=5cm，B£=4cm，所以 O£=

2

3cm，进而 D E=2cm.

在RtADEB中，BD=2姨T cm，所以在RtAADB中，AD=4 姨5c m.

总结：通过上述求解过程可以看出，整个求解过程 共添加了三条辅助线:连接BD和BC，都是因为AB是直 径(直径所对的圆周角为90°)，连接OD，是因为D是弧BC 的中点，是为了构造垂径定理的基本图形.

解法2:连接OD，过点D作DE丄AB，垂足为E，过点O 作OF丄AC，垂足为f(如图 3)，则 AAFOgAOED(AAS).

根据垂径定理可得:AF=i A C=3cm.

2

在 R t A A FO中，AO=丄A B=5cm，进而 O F=4cm.

2

所以 O£=AF=3cm，D£=OF=4cm.

在 Rt AAED中，A£=AO+O£=8cm，D£=4cm，所以 AD=4 姨5c m.

总结：可以看出，不管是方法1还是方法2,都是把 AD放在直角三角形中，借助勾股定理的逆定理进行求 解的.解法2也添加了三条辅助线，其中OF也是为了构造 垂径定理的基本图形，OD是为了构造一条半径，而DE

是

2016年8月解法探究为了构造直角三角形和全等三角形而添加的.

C C

A O~

B A O B

图3 图4

解法3:需要用到角平分线的性质，在此略去求解过程，只给出添加辅助线后的图形(如图4).

添加的两条辅助线（由于用到了其他知识，所以辅助线的条数少了)在解法1中已经说明.

解法4:我们还可以利用高中所学知识（二倍角公式)来解决上述问题，在此略去.

下面对上述四种解法，特别是解法1和解法2进行简 单的总结，同时也对这个微专题给出一个小结：

圆中常见的定理圆中常见的辅助线

垂径定理及其推论连接圆心和弦的中点

圆周角定理及其推论构造直径所对的圆周角

说明:对于现行教材中与“圆”相关的另外两个重要定理(切线的判定定理和性质定理）,在下一个微专题复 习.

下面给出一个对应课堂练习：

如图5,〇O是AABC的外接圆，乙B=60。，〇O的半 径为4,则AC的长等于（）.

a.4姨r

图5

下面只给出该题添加辅助线的方式(如图6和图7)，其中图6对应着圆周角定理及其推论;图7对应着垂径定 理及其推论.

下面再给出两个对应的课下练习，主要是为了引出 下一个“微专题一切线的判定定理及性质定理”，做到 课堂教学的“承前启后

题1:如图8，AB是©O的直径，且经过弦CD的中点 H，过CD延长线上的一点E作O O的切线，切点为F.若 ZACF=65。，则 _______.

题2:如图9，AB是OO的直径，O D垂直于弦AC于点 E,且交OO于点D,F是BA延长线上一点.若乙CDB= 乙BFD，求证:FD是O O的一条切线.

三、 两点思考

1. “微专题”要“微”

从上述题目的选择(一道选择题)就可以看出“微”是其一个显著特点，切记长篇大论，更不要选择一个连 读完题干都要花很长时间的题目.本题整个题干仅有十 余字，读来简洁易懂，不会产生歧义.

其中，另外一个“微”体现在“一题一课”上，避免了 课堂教学的“满堂灌”，一节课下来，老师讲了很多题，不 要说理解题意，更不用说会做了，一节课下来读完题干 都困难.“一题一课”“微专题”是一个很好的纠偏方法，应该大力提倡.

最后，“微专题”应该要做到课堂教学时间的把控，最好不要超过15分钟，时间过长就违背了“微专题”设计 的初衷.

2. “微专题”要“专”

“微专题”设计的另外一个显著特点就是一定要 “专”.比如本专题定位于“圆”中重要的定理和常见的辅 助线，没有夹杂过多的教学目标，仅仅涉及与“圆”相关 的两个重要定理(垂径定理及其推论、圆周角定理及其 推论），显得很“单纯”，符合“追求简洁”的课堂教学的理 念.

此外，“微专题”的“专”还体现在选题的专业上，所 选题目应该考查该问题的核心知识点，重点突出，所选 题目应该具有典型性、代表性，同时具有一定的推广性，能够起到举一反三、触类旁通的教学效果，使学生再遇 到类似问题的时候，可以顺利求解，起到借鉴的作用.

四、 结语

微信、微博到现在席卷教育界的微课，这都体现了 信息技术对我们的生活方式和学习方式的改变.作为一 线教师，在课堂教学中，也应该做到与时俱进，不断将新 的技术融人到我们的课堂教学中，开发出适合当下的校 本课程.

我们为“微专题”所作的研究还处于起步阶段，欢迎 更多的老师参与进来，设计出更多、更好的典型案例.E

初中版十教，？6

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