3.1 赋范线性空间和Banach空间

第3章 赋范线性空间

3.1 赋范线性空间和Banach 空间

3.1.1 赋范线性空间

定义3.1.1 (范数，赋范线性空间) 设X 为是实（或：复）数域F 的线性空间，若对x X ∀∈，存在一个实数x 于之对应，且满足下列条件：

(1) 0≥x ; 且0=x ⇔=0x ； （非负性 (non-negativity)）

(2) αα=x x ，α∈F ； （正齐（次）性 (positive homogeneity)） (3) +≤+x y x y ，,X ∈x y ； （三角不等式(triangle inequality)） 则称x 为x 的范数(norm)，称(,)X ∙

（或：X ）为赋范线性空间(normed linear space)，

简称赋范空间(normed space).

例3.1.1 空间[,]C a b 是闭区间[,]a b 上的连续函数全体所成的线性空间。对[,]f C a b ∀∈，规定

[,]

max ()t a b f f t ∈=, (3.1.1)

易证f 是f 的范数，则[,]C a b 按上述范数成为赋范线性空间。

例 3.1.2 设[,]a b L 是闭区间[,]a b 上的Lebesgue 可积函数全体所成的线性空间。对

[,]f a b ∀∈L ，规定

()d b

a

f f t t =⎰, (3.1.2)

若将在[,]a b 上满足()()f t g t ∙=的两个函数,f g 视为同一个函数，即将在[,]a b 上满足

()0f t ∙

=的函数f 视为恒等于零的函数，即0f =，则在[,]a b L 上，f 是f 的范数，从而

[,]a b L 按上述范数成为赋范线性空间。

例 3.1.3 在n 维实向量空间n R 或n 维复向量空间（称为酉空间）n C 中，对

12(,,,)n n x x x x ∀=∈R （或n C ），令

12

21n

i i x x =⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑， (3.1.3)

或

11

n

i i x x ==∑ 或 21m a x i i n

x x ≤≤=,

它们都是x 的范数，称(3.1.3)中的范数为Euclidean 范数，n R 按范数(3.1.3)所得到的赋范线性空间称为Euclidean 空间。

例3.1.4（空间()[,]k C a b ） ()[,]k C a b 是闭区间[,]a b 上连续，在[,]a b 中处处k 次连续可微的函数全体所成的线性空间。对()[,]k f C a b ∀∈，令

{}

()[,]

max (),(),,()k t a b f f t f t f t ∈'= ， (3.1.4)

则f 是f 的范数，()[,]k C a b 按上述范数成为赋范线性空间。 定义3.1.2 设(,)X 是赋范线性空间，对,x y X ∀∈，令

(,)x y x y ρ=-， (3.1.5)

则称(,)x y ρ为由范数

∙

决定的度量。

注1 易验证(,)x y x y ρ=-满足度量的3个条件。

注2 我们今后对每个赋范线性空间总是按照(3.1.5)引入度量，使之成为度量空间。这样我们就可以在赋范线性空间中引入极限的概念。

定理3.1.1 设(,)X ρ是线性的度量空间（即：(,)X ρ既是线性空间，又是度量空间），若度量ρ是由某个范数

∙

决定的，则ρ满足：对,x y X ∀∈，α是数，有

(,)(,0)x y x y ρρ=-，(,0)(,0)x x ρααρ=. (3.1.6)

反之，若ρ满足(3.1.6)，则(,0)x x ρ=就是x 的范数。

也就是说：(3.1.6)是线性的度量空间成为赋范线性空间（指范数与度量满足(3.1.5)）的充分必要条件。

证 设度量ρ是由某个范数

∙

决定的，即

(,)x y x y ρ=-，

则对,x y X ∀∈，α是数，有

(,)()0(,0);x y x y x y x y ρρ=-=--=-

(,0)00(,0)x x x x x x ρααααααρ=-===-=.

反之，若度量ρ满足(3.1.6)，定义

(,0)x x ρ=.

(1) 若(,0)00x x x ρ==⇔=；(由度量的定义立得。) (2) (,0)(,0)x x x x αρααρα===. (由(3.1.6)得) (3) (,0)((),0)(,)x y x y x y x y ρρρ+=+=--=-

(,0)(,0)1x y x y x y x y ρρ≤+-=+-=+-=+.

证毕！

注 并不是所有的度量都是由某个范数所决定的。

例如,在数列空间11123{(,,,)

()}i s x x x x ==∈R C 或x 中，度量为

1

1(,)21i i

i

i i i

x y x y ρ∞

=-=+-∑

x y ， 若令

11(,)21i

i

i i

x x ρ∞

===+∑x x 0， 则对常数0α≠，显然它不满足正齐（次）性条件αα=x x .

又如离散度量空间。设X 为任一非空集，1:X X R ρ⨯→定义如下：

对(,)x y X X ∀∈⨯， 0,,

(,)1,.x y x y x y ρ=⎧=⎨

≠⎩

若令

0,0,

(,0)1,0,

x x x x ρ=⎧==⎨

≠⎩， 则对常数0,1α≠，显然它也不满足正齐（次）性条件x x αα=.

(0,0

(,0)(,0)(,0)1,0

x x x x x x x αραραρα=⎧===≠=⎨

≠⎩

.)

由此可知：由范数所决定的度量主要是针对线性空间定义的度量，它除了满足一般度量的3个条件，还必须满足正齐（次）性，这是一般度量所不具备的。

另外，范数是向量长度的推广，因此向量αx 的长度αx 当然要满足：αα=x x ，而一般度量（距离）却没有这样的要求。 例3.1.5（空间p

l ）