统计基础试题——概率与概率分布

第六章概率与概率分布
一、填空题
1．随机变量按其取值情况可以分为和两类。

2．任一离散型随机变量的分布都必须满足以下两个条件：条件一是，条件是。

3．某种考试有10道判断题，若有一个对题目毫无所知的人，对10道题任意猜测，猜对的题目数为X，则X服从分布，其猜对6题的概率是，及格（猜对6题以上）的概率是。

4．正态分布的概率密度函数曲线的图形是一个曲线，它是关于直线
对称的。

5．大数定律也称。

其中最著名的是大数定律和大数定律。

6．中心极限定理是指在一定条件下，大量相互独立的随机变量的分布是以为极限的一系列定理的总称。

最常用的中心极限定理有中心极限定理和中心极限定理。

二、单项选择题
1．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，反之，如果已知P（A）=1，P（B）=0，则（）A．A为必然事件，B为不可能事件B．A为必然事件，B不必为不可能事件
C．A不必为必然事件，B为不可能事件D．都不一定
2．设X～N（μ，σ2），Y=aX+b，则Y服从（）。

A．N（aμ+b，σ2）B．N（aμ，aσ2）
C．N（aμ+b，a2σ2）D．N（aμ，bσ2）
3．一张考卷上有5道选择题，每道题有4个备选答案，其中有一个答案是正确的，若有一个对题目毫无所知的学生，对5道题任意猜测，则其至少猜对4道题的概率为（）。

A．1/64 B．1/62 C．1/66 D．1/68
4．已知一批计算机元件的正品率为80%，现随机抽取n个样本单位，其中χ为正品数，则χ的分布服从（）。

A．正态分布B．二项分布C．泊松分布D．超几何分布
5．某工厂生产的零件出厂时每200个装一盒，这种零件分为合格和不合格两类，合格率为约为99%。

设每盒中的不合格数为X，则X通常服从（）。

A．正态分布B．二项分布C．泊松分布D．超几何分布
6．甲、乙两人在同样条件下各生产100天，在一天中出现废品的概率分布分别如下：
如果以废品数的多少作为衡量技术高低的标准,试评定两人技术的高低（）。

A．甲好B．乙好C．一样好D．无法确定
二、多项选择题
1．概率的统计定义中，有f（A）=m/n，其中m为事件A出现的次数，n为试验总次数，当n很大时，m/n接近于P，则定义P（A）=P，问对某一固定的n，P与m/n之间的关系为（）
A．m/n可能与P相等B．m/n可能大于P
C．m/n可能小于P D．当n很大时，m/n会相差很大
E．m/n与P的关系不大
2．下列各P（X=x）能成为一个概率分布的是（）。

A．P（X=x）=1/2，x=1，2；B．P（X=x）=1/3，x=0，1，2，3；
C．P（X=x）=x/5，x=0，2，3；D．P（X=x）=（x-5）/10，x=0，5，10，15；
E．P（X=x）=x2/10，x=-1，0，3；
3．二项分布B（n，p）的数学期望和方差分别为（）。

A．P B．np C．pq D．npq E．1-p
4．设甲、乙两个人的收入服从正态分布，甲的收入服从N（100，4），乙的收入服从N（200，40000），则下面说法正确的是（）。

A．甲平均收入低于乙的平均收入B．甲的生活水平不如乙的生活水平稳定
C．甲平均收入高于乙的平均收入D．甲的生活水平比乙的生活水平稳定
E．上述都不对
5．若某事件出现的概率为1/6，当试验6次时，该事件出现的次数为（）。

A．K可能是1次B．可能大于1次
C．可能小于1次D．一定是2次
E．上述结果均有可能
四、判断题
1．对任一事件A，有0≤P（A）≤1。

（）
2．对于任意两个随机事件之和，P（AUB）=P（A）+P（B）。

（）
3．随机变量的数学期望反映了随机变量所有可能取值的平均结果。

（）
4．不能用泊松分布代替二项分布进行近似计算，因为这样误差会很大。

（）
5．设连续随机变量的概率密度函数为f（x），则分布函数F（x）的大小即为曲线f（x）在（-∞，x）上的面积。

（）
6．任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。

（）
7．二项分布B（n，p），当n很大，p和q都不太小时，不能用泊松分布近似计算。

理论研究表明，当n很大，而0＜p＜1是一个定值时，二项分布的随机变量近似地服从正态分布N（np，npq）。

（）8．正态分布密度函数曲线的陡缓程度完全由σ决定，σ越小，曲线越平缓，σ越大，曲线越陡峭。

（）五、计算题
1．一张考卷中有15道单项选择题，每题4个备选答案，只有1个正确答案。

试求：（1）答对5至10题的概率；（2）至少答对9题的概率；（3）答对的期望值。

2．已知某厂某产品中2 %有缺陷。

现随机抽查100件，试以泊松分布求：（1）恰好4件产品有缺陷的概率；（2）至少5件产品有缺陷的概率。

3．某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工。

设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01。

试求：（1）若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；（2）若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高。

4．某电冰箱厂生产某种型号的电冰箱，其电冰箱压缩机使用寿命服从均值为10年，标准差为2年的正态分布。

（1）求整批电冰箱压缩机的寿命大于9年的概率（比重）；（2）求整批电冰箱压缩机寿介于9～11年的概率（比重）；（3）如果该厂为了提高产品竞争力，提出其电冰箱压缩机在保险期限年遇有故障可免费换新，该厂预计免费换新的比重为1%，试确定该厂电冰箱压缩机免费换新
的保用年限。

4． 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。

（1）写出X 的概率分布；（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不小于14户且不多于30户的概率近似值。

第六章 概率与概率分布
一、填空题
1．离散型随机变量 连续型随机变量两类
2．0≤
k
p ≤1 （k=1，2，3，… ）
1
1
=∑∞
=k k
p
3．二项分布
6
1066
10
5
.05.0-⨯C
∑=-⨯10
7
1010
5.05.0X x x x
C
4．单峰钟型对称 μ=x 5．大数法则 切贝雪夫 贝努里 6．正态分布 辛钦 莫佛——拉普拉斯
二、单项选择题
1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 三、多项选择题
1．A B C 2．A C E 3．B D 4．A D 5．A B C 四、判断题
1．√ 2．× 3．√ 4．× 5．√ 6．√ 7．√ 8．× 五、计算分析题
1．符合二项分布，P=1/4=0.25 n=15
P （5≤x ≤10）=3134.015
5
1515
=∑=-X x
x x
q P C
0042.0)9(15
9
1515
==
≥∑=-X x x x
q P x P C
E （X ）=np=15×0.25=3.75
2．符合泊松分布，n=100 ， p=0.02 ，λ=np=2
（1）0902
.0!42!)4(2
4====--e e k x P k λλ
（2）0527
.0!21)4(1)5(4
02
=-=≤-=≥∑=-k k e k x P x P
3．（1）设χ为发生故障的台数，χ服从n=20， p=0.01的二项分布，用泊松分布近似，其参数λ=np=0.2，故
0175
.0!2.01)1(1)2(1
02
.0=-=≤-=≥∑=-k k e k x P x P
（2）设χ为发生故障的台数，χ服从n=80， p=0.01的二项分布，用泊松分布近似，其参数λ=np=0.8，故
0090
.0!8.01)3(1)4(3
08
.0=-=≤-=≥∑=-k k e k x P x P
4．（1）X ～N （10，22），则
[]6915.0)5.0()5.0(11)5.0(2109210)9(==--=-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=ϕϕφφφZ P x P x P
（2）
3830.01)5.0(2)5.05.0(210112102109)119(=-=≤≤-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤-≤-=≤≤ϕZ P x P x P （3）
设保险年限为χ，则
%1)210(1210)(=---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤=≤x x Z P X x P ϕ 即 %99)210(=--x ϕ，查表得：
33.2210
=--
x 故χ=5.34年。

即该电冰箱压缩机免费换新的保用年限约为5年。

5．（1）由题意可知，X 服从二项分布，即X ～b （100，0.2），其概率分布函数为：
k
k k
C k X P -⨯⨯==1001008.02.0)( k=0，1，2，……，100
（2）927.0)993.01(994.0)5.1()5.2(8.02.01002.0100148.02.01002.010030)3014(=--=--=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯-≈≤≤ϕϕϕϕx P。