8-2 系统的状态变量分析

s
0
2
3 1 s 1
F
(s)
1
1/ s /(s
3)
1
(s
2)
0
3
(s
2)(s 1
1)
(s 1)
X X
1 2
(s) (s)
Φ
(
s)
x
(0
)
Φ
(
s)
BF
(s
)
s
1 2
s
1
1
1
s 1
0.7
s
2
1.5 s 1
1
s 1 1
0.2 s 3
s s 1
14
1
A2t 2
1
Akt k
1 Akt k
2!
k!
k0 k!
矩阵指数满足性质:
eA(t ) eAteA , eAte At eA(t t) I 8
一、状态方程的时域求解
d eAt AeAt eAt A dt
由
d (eAt x(t)) d eAt x(t) eAt x(t)
dt
dt
x[0] x1[0] x2[0] xn [0]T
由上式
x[k0 1] Ax[k0 ] Bf [k0 ] x[k0 2] Ax[k0 1] Bf [k0 1]
A2x[k0] ABf[k0 ] Bf [k0 1]
17
一、状态方程的时域求解
x[k0 k] Ax[k0 k 1] Bf [k0 k 1]
0.2e3t 2et
0.5
15
离散时间系统状态方程的求解
x[k 1] Ax[k] Bf [k]
y[k] Cx[k] Df [k] 状态方程的初始状态为
x[0] x1[0] x2[0] xn [0]T
状态方程的求解方法：
➢ 时域求解
➢ 变换域求解
16
一、状态方程的时域求解
x[k 1] Ax[k] Bf [k] 状态方程的初始状态为
eAt Ax(t) eAt x(t)
对原状态方程两边同乘 e At ,并移项可得 e At x(t) e At Ax(t) e At Bf (t)
9
一、状态方程的时域求解
从而
d (e At x(t)) e At Bf (t) dt
从 0 到 t 积分,得
e At x(t) x(0 ) t e A Bf ( )d 0
(t) e At
I
At
1
A2t 2
1
Akt k
1 Akt k
2!
k!
Байду номын сангаас
k0 k!
当x(0-)=0，系统的零状态响应为
y f (t) C(t)B D (t) f (t) h(t) f (t)
其中
h(t) C(t)B D (t)
11
二、状态方程的变换域求解
X (s) Φ(s) x(0 ) Φ(s)BF (s)
系统的状态变量分析
状态方程的普遍形式 连续时间系统状态方程的建立 离散时间系统状态方程的建立 连续时间系统状态方程的求解 离散时间系统状态方程的求解
1
连续时间系统状态方程的建立
由电路建立状态方程 由模拟框图建立状态方程 由微分方程或系统函数建立状态方程 状态方程的规范型实现
2
四、 N阶系统的规范型实现（可控型）
Y (s) CΦ(s)x(0 ) CΦ(s)B DF (s)
其中
Φ(s) (sI A)1
系统函数
H (s) CΦ(s)B D C(sI A)1 B D
12
例：已知某连续系统的状态方程和输出方程为
x1 x2
(t ) (t)
2 0
3 1
x1 x2
(t ) (t)
0 1
1 f1(t)
f
H (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 s n an1s n1 a1s a0
xn s1
xn-1 s1
bm
xm+1 s1
x3 s1 x2
b1
s1 x1
b0
y
an-1
an-2
am
a1
a0
3
四、 N阶系统的规范型实现（可控型）
m = n1
0
•
0
x(t)
0
可得状态方程的一般解为
x(t) eAt x(0 ) t e A( t)Bf ( )d 0
10
一、状态方程的时域求解
x(t) (t) x(0 ) (t)B f (t)
y(t) C(t) x(0 ) C(t)B D (t) f (t)
式中(t)为状态转移矩阵(state transition matrix)
0
f
2
(t
)
y1 (t ) y2 (t)
1 0
1 1
x1 x2
(t ) (t)
1 1
0 f1(t)
0
f
2
(t
)
其初始状态和输入分别为
x1 x2
(0 (0
) )
2 1
f1 (t ) f2 (t)
u(t) e3tu(t
)
求该系统的状态和输出。 13
解：
Φ(s)
(sI
A)
1
a0
A
1
0
0
1
0
0
a1 a2
B
0
0
x(t)
1
an 1
0
0
1
f
(t)
y(t) [b0 b1 bn1] x(t)
C
D=0
4
四、 N阶系统的规范型实现（对角阵）
H (s) k1 k2 kn
(s 1) (s 2 )
(s n )
x S 1
1
•
y1 (t )
k1
f (t) •
解：
1
Y (s) CX (s) DF(s)
s
1
2
0.7 s2
0.5
s 1
0.2 s 3
s 1 s 1
对X(s)，Y(s)进行Laplace变换，得
x1(t)
x2
(t
)
1.7e2t
2et 0.2e3t 1 2et
1.5
y1(t)
y2
(t
)
1.7e2t
x(0 ) x1(0 ) x2 (0 ) xn (0 ) T
状态方程的求解方法：
➢ 时域求解
➢ 变换域求解
7
一、状态方程的时域求解
x(t) Ax(t) Bf (t) 状态方程的初始状态为
x(0 ) x1(0 ) x2 (0 ) xn (0 ) T
为求解,定义矩阵指数
e At
I
At
1
x S 1
2
•
y2 (t)
k2
2
kn
xn
S 1
•
n
yn (t)
5
四、 N阶系统的规范型实现（对角阵）
1 0 0
k1
x (t)
0
2
0
x(t)
k 2
f
(t)
0
0
n
k
n
y(t) 1 1 1x(t)
6
连续时间系统状态方程的求解
x(t) Ax(t) Bf (t) y(t) Cx(t) Df (t) 状态方程的初始状态为
k 1
Ak x[k0 ] Ak 1iBf [k0 i] i0
当初始时刻 k0 0 ,则有
18
一、状态方程的时域求解
x[k]
Ak
x[0]
k 1
Ak1i Bf [i]u[k
1]
i0
y[k] CAk x[0]
k 1
C