001弹性力学第一章

xz
x
y
切应力互等定理：
xz zx
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的切 应力是互等的（数值相等、正负号也相同）
总应力分量的个数为9个；独立应力分量为6个
形变→应变——线应变 形变:形状的改变，长度和角度的变化。
可以通过一点的沿坐标正向微分线段的单位长度的伸缩 以及线段间直角的改变表示。
y
dy
线应变 沿x方向



dx dx
dy
dx
沿y方向
y
dy dy
x
z
dz
沿z方向

z
dz dz
dz
dx 线应变符号规定：伸长为正缩短为负
(与正应力的正负号规定相对应）
应变——切应变 切应变:线段间直角的改变（弧度），与材料力学中相同
dx与dy之间 dy与dz之间 dz与dx之间
Chapter 1of 9
弹性力学
徐芝纶 《弹性力学简明教程（第四版）》
第一章 绪论 弹性力学的研究内容
弹性力学中的几个基本概念
弹性力学中的基本假定
相关基本概念及名词回顾
弹性力学的研究内容——任务
弹性力学：是固体力学的一个分支，研究弹性体由于受外 力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变 和位移。
概念名词回顾——量纲
将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示 出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲 它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达 的式子。 在国际单位制(SI: International System of Units )中 ，七个基本物理量
长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、 发 光强度 量纲符号分别是是L、M、T、I、Q、N和J。
O( z ) 弹力与材力相比 ，
x
xy 正应力符号，相同 f x 切应力符号，不同
y
xy
x
fy
fx
fx
O( z )
x
x
x
y
xy
材力：以拉为正
y
材力：顺时针向为正
切应力互等定理


z
y

yz zy
yx
z

xy
M 0
yz zy xy yx
x

zx
概念名词回顾——弹性、塑性、弹性变形、塑性变形
弹性
材料不产生塑性变形情况下所能承受的最大应力
塑性
材料在荷载作用下产生塑性变形而不被破坏的能力
弹性变形
材料在受到外力作用时产生变形或者尺寸的变化，而且 全部变形在除去应力后能够恢复的变形叫做弹性变形。
塑性变形
材料在受到外力作用时产生变形或者尺寸的变化，引起 材料发生变形的应力消除后, 不可恢复的永久变形。
概念名词回顾——超静定、自由度、约束
完全确定物体在空间位置所需的独立变量的个数称为它的 自由度； 在研究的平衡问题中，如果未知量的个数等于独立的平衡 方程的个数，这时所有的未知量可用平衡方程求出，这类 问题——静定问题；静定结构：无多余约束（或联系）的 几何不变的承载结构。 如果未知量的个数多于独立的平衡方程的个数，这时未知 量不能或不能全部用平衡方程求出唯一解，这类问题—— 超静定问题；超静定结构：在静定结构基础上附加上多余 约束而形成的，凡是用静力平衡方程无法确定全部约束力 和内力的结构。 对质点系各质点的位置和速度预先施加的几何学或运动学 的限制——约束。只限制系统位置的约束称几何约束；若 还限制运动速度，而且这个限制不能化为位置的有限形式 ，则称为运动约束或微分约束。约束的数学表达式称为约 束方程。
平衡微分方程 几何方程 物理方程 应力边界条件 位移边界条件
基 本 方 程
边 界 条 件
解 方 程 组 求 解
弹性力学中的基本假定——意义与作用 为什么要提出基本假定？
任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因
素，抓住主要因素 基本假定。 a.简化平衡条件： 考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变 形后的尺寸。 b.简化几何方程： 在几何方程中，由于 ( , ) ( , ) 2 ( , )3 , 可略 去 ( , ) 2 等项,使几何方程成为线性方程。 建立计算模型 归纳为学科的
弹性力学的研究内容——本节思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对 象有什么区别？
2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方 法有什么区别？
3. 试考虑在土木、岩土工程中有哪些非 杆件和杆系的结构？
弹性力学中的几个基本概念:
1. 外力
(定义)连续分布在物体内部各质点上的力
体力
(表示)单位体积内所受的力，体力集度
ML T . σ x x(或称yz面，yoz 面) ─ 面上沿 向正应力 x ─ 面上沿 向切应力 xy x(或称yz面，yoz面) (符号)应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向、 y负面负向为正。
(量纲) (表示)
应力与面力、正负号规定差异
面力是分布在“面”上的力，物体表面 应力是包含P点的截面 在正面上，两者正方向一致；在负面上，正方向相反
z
y
v
u
x
w
位移的符号规定：沿坐标轴正向为正,负向为负
弹性力学中的已知量和待求量
形状、尺寸 体力、面力 约束情况 材料物理常数
应力（6个）: x , y , z , xy , yz , zx 应变（6个）: x ,ｙ,ｚ, xy , yz , zx 位移（3个）: u , v, w
杆件系统 非杆状结构
－ 隔离体 － 基本假定 微单元体 复杂
相同点： 弹性力学与结构力学的综合应用，使这两门学科紧密结合 都有静力、几何、物理方程 , 就是弹性力学与结构 。有限单元法 (Finite Element method) 都有能量法（变分问题）而且基本假设相同。 力学结合应用的成果 .
弹性力学的研究内容——学习目的与意义
弹性力学的地位
其它固体力学分支学科的基础 工程结构分析的重要手段
工科学生学习弹力的目的
理解和掌握弹力的基本理论 能阅读、理解和应用弹性文献 能用弹力近似解法解决工程实际问题 为进一步学习其它课程打下基础
学习弹性力学的意义
材料力学的局限性 非杆状结构层次的应力、形变和位移研究 进一步学习、深造的需要
标量只有一个元素，它可以看作是零级张量。 看一个物理量是标量、矢量还是张量，主要还不是看它具 有的分量的个数，而是要看它从一个直角坐标系变换到另 一个直角坐标系中去时，遵循怎样的规律。
过多假定带来的误差
q

I Qs ; I zb
z


M
y
My y y q (4 h I h
—————————— 力学中形成较早、理论性较强、应用 较广的一个分支，主要研究可变形固 体在外界因素作用下，其内部各个质 点所产生的位移、运动、应力、应变 以及破坏等的规律
固体力学
固体力学的分支
————————— 材料力学、结构力学、弹 性力学、塑性力学、 稳 定性理论、振动理论、断 裂力学、复合材料力学
基本假定——材料性质
连续性
假定物体是连续的 各物理量可用连续函数表示
假定外力取消时变形恢复，无残余变形(完全弹性); 完全弹性 应力与应变成正比(线性弹性) 可用胡克定律
均匀性
假定物体由同一种材料组成 E、μ等与位置无关。
假定物体的弹性在所有各个方向上都相同弹性 各向同性 参数不随方向而变 弹性参数为常数 理想弹性体
弹性力学中基本假定——小结
上述假定确定了弹性力学问题为线性问题 ，可以应用叠加原理 确定了弹力的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
(自然状态假设)：
物体在外力作用前，没有初应力 本章作业： 1－3，1－7，1－8
概念名词回顾——连续函数
连续函数（continuous function），函数y＝f（x） 当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化 也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很 小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位 移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化 也是很小的， 对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变 化的，可用极限给出严格描述：设函数y＝f（x） 在x0点附近有定义，如果，则称函数f在x0点连续 。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续 ，则说f在I上连续，此时，它在直角坐标系中的图 像是一条没有断裂的连续曲线。
内力的平均集度 （平均应力）
F A
应力
应力分量:正面、负面 x F y 所在面的外法线方向 2 p lim (N / m ) y A 0 A
应力分量的方向
1 2


z
y

yz zy
yx
z

xy
x

zx


xz
x
z
x
y
(定义)截面上某一点处，单位截面面积上的内力值
弹性力学的任务 分析在外部因素（外力改变、边界约束、温度变化）作 用下的各种结构物或其构件弹性阶段的应力和位移 校核它们是否具有所需的强度和刚度 并寻求或改进它们的计算方法
弹性力学的研究内容——材力、结力与弹力的比较 材料力学 结构力学 弹性力学
研究 对象 研究 方法
杆状构件
采用假设 假定、近似 取分离体 部分杆段 数学推导 简单
面力
(量纲)
ML1T 2 .
(符号)坐标轴正向为正
由牛顿第二运动定律，质量1kg的物体产生1m/s*s加速度的力，叫做1N
外力——例：表示体力和面力
O( z )
fx
fx
fy
x
O( z )
fy fx
fy
x
fy
fx
y
y
2. 内力
假想用平面切开物体，截面两边物体本身的不同部 分之间互相作用的力，称为内力。
弹性力学中的几个基本概念——本节思考题
1. 试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。 2. 在 d x d y d z的六面体上，试问x面和y面 上切应力的合力是否相等？
弹性力学中的基本假定——研究方法
微分体的平衡条件 微分线段上形变与位移关系 应力与形变的物理关系 给定的面力边界微分体平衡 给定的约束边界上约束条件

xy
yz
dy

切应变

dx
zx

切应变符号规定：沿两个坐标轴正向之间的直角变小为 正,变大为负。（与切应力正负号规定相对应）
应变分量共有六个:
、 、 、 、 、
x ｙ ｚ xy yz
zx
wu量纲的量
位移 位移:位置的移动
沿 x方向 : u 沿 y方向 : v 沿 z方向 : w
本章的学习中遇到哪几个量纲？ 基本物理量及其量纲分别是？
概念名词——张量
张量是矢量概念的一种推广,一个物理量如果必须用n阶方阵 描述，且满足某几种特定的运算规则,则这个方阵描述的物 理量称为张量。 矢量可以称为一级张量，在空间直角坐标系中，它有三个 分量，或称为三个元素 二级张量则具有九个分量(或称元素)。例如在研究弹性六面 体的应力时，其每对平行面上都有大小相等而方向相反的 应力，而每个应力在空间直角坐标系中都有三个分量，这 样共计九个分量就组成弹性体的应力张量。又例如反映刚 体转动时惯性的物理量-----惯量张量也是一个二级张量。
f lim F fx V 0 V fy f z ( N / m3 )
T
外力
其它物体 对 研究对象 （弹性体） 的 作用力
(量纲) ML2T 2 . (符号)坐标轴正向为正 (定义)作用于物体表面上的力 (表示)单位面积上所受的力，面力集度
f lim
T F f x f y f z (N / m2 ) S 0 S
Z
2
2
3 ) 5

QS I zb
x

y
q

0 y
q y 2y y 2 (1 h )(1 h )2
y
x
x

y
z
Chapter 1 of 9
弹性力学
徐芝纶:《弹性力学简明教程（第三版）》
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谢谢大家!
基本假定——变形形态
小变形假定 假定位移和形变是微小的
a.位移≤物体尺寸； 如：梁的挠度v≤梁高h. b.转角、应变≤1； 如：梁的 ≤10－3 ≤1,
因此：
≤1弧度（57.3°）.
在建立平衡条件时，仍采用变形前尺寸，忽略载荷位置 的改变； 在研 究应变位移时，可忽略高阶微量。
保证几何方程和平衡微分方程简化为线性方程