幂指函数的性质及应用

摘要

幂指函数是一类重要的函数，但在教材中涉及幂指函数的内容非常有限，系统的研究幂指函数的性质及应用是非常有必要的。本文先利用微积分的相关知识论述幂指函数的分析性质；再用这些性质研究两个特殊的幂指函数；最后探讨幂指函数的性质在求极限、导数、微分和积分等问题中的应用。

关键词:幂指函数；极限；导数；微分；积分

Abstract

Exponential function is a kind of important function, but the content of the exponential function involved in the teaching material is very limited, the exponential function of the nature of the research and application of system is very necessary. This paper, using relevant knowledge of calculus, first analysis the power properties; With these two special properties research of exponential function; Finally discusses the nature of the exponential function limit, derivative, differential and integral application problems.

Key words: Power exponent function; Limit; Derivative; Differential; Integral

目录

1 引言 (1)

2 预备知识 (1)

3 幂指函数的性质 (3)

3.1 极限性质 (3)

3.2 导数性质 (6)

3.3 微分性质 (8)

3.4 积分性质 (9)

4 幂指函数性质的应用 (9)

4.1 在研究特殊幂指函数中的应用 (9)

4.2 在解题中的应用 (11)

4.2.1求极限 (11)

4.2.2 求导数 (13)

4.2.3 求微分 (14)

4.2.4 求积分 (14)

5 结论 (15)

致谢 ........................................................................................错误!未定义书签。参考文献 (15)

幂指函数的性质及应用

1 引 言

在数学发展的历史进程中，数学概念的发展对数学的发展起至关重要的作用，而函数概念的发展更是数学概念发展不可缺少的一部分。回顾函数概念被世界各个研究者不断的精化、丰富，是一件令人十分惊喜的事，它不仅让人更深刻的了解数学的专业知识，也让世人感受到数学文化的博大精深，对数学有了更多的好奇和兴趣。数学函数分类精准，而幂指函数就是所有函数中的一种，它是函数概念不断被精化提炼的结晶。它既不是幂函数，也不是指数函数，但它却兼有两者的特点。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。它的产生更进一步说明了数学函数的发展和进步。

幂指函数是一类重要的函数，它的一些知识在其他教材、资料以及近年来研究生入学考试中经常出现，但是在我们所学过的数学分析教材中涉及的内容又非常有限，仅给出幂指函数的一些定义和求导公式。所以对它对进一步的了解和探讨是非常有必要的。由于幂指函数的独特性，在其求极限、导数、微分和积分等问题时显得比较复杂。本文将主要讨论幂指函数的几个分析性质，并利用幂指函数的性质来解决一些问题，使问题化繁为简。

2 预备知识

由于幂指函数问题在高等数学学习过程中比较容易出错，是学生学习的一个难点，为此我们有必要对幂指函数做进一步研究。为了更容易理解本文所涉及到的定义、定理及引理，下文将这些知识先做一个交代，并对于比较难以理解的定理、引理做进一步的证明。这些定义、定理和引理对研究幂指函数的极限性质、导数性质、微分性质、积分性质将起到一定的作用。

定义1 设两个函数()f x 和()g x 的定义域为D ，形如()()(()0)g x f x f x >的函数，称为定义在区域D 上的幂指函数。

引理1 若()0

lim x x f x a →=，()u g 在a 点连续，则

()()()

()0

lim ()lim x x x x g f x g f x g a →→==.

注 此引理对-∞→+∞→→→-+x x x x x x ,,,00

，以及∞→x 都成立. 引理2 设在0x x =的领域内()f x 和()g x 连续，且()0f x >，当0x x →时，

()()~g x x ∂,则有[]

[]

()

()

lim ()lim ()g x x x x x x f x f x ∂→→=

引理3[1]

设在0x x =的领域内()f x 和()g x 连续，且()0>x f ，当0x x →时，

()()~f x x β则有

[]

()

[]

()

lim ()lim ()g x g x x x x x f x x β→→=

证明 因为当0x x →时，()()~f x x β，即0()

lim 1()

x x f x x β→=.

又因为()()

()()

00

ln lim lim g x g x f x x x x x f x e

⎡⎤⎣⎦

→→=⎡⎤⎣

⎦

()()

lim ln g x x x

f x e

→⎡⎤⎣⎦= ()()

x f x g x x e

ln lim 0

→=

而()()()()()()00lim ln lim ln x x x x f x g x f x g x x x ββ→→⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦ ()()()()0lim ln ln x x f x g x x x ββ→⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦

()()

()()()0

lim ln

lim ln x x x x f x g x g x x x ββ→→=+ ()()0

lim ln x x g x x β→=

代入原式，得：

()()

()()

()()

()()

00

lim ln ln lim lim lim x x g x x g x g x g x x x x x x x x f x e

e x βββ→→→→⎡⎤===⎡⎤⎡⎤⎣

⎦⎣⎦

⎣⎦.

引理4 （等价无穷小代换定理）设()()x f x f 1~，()()()01~x x x g x g →，且

()

()()()0

1101lim

(,0x x f x B g x g x x g x →=在附近不为）

，则()()0lim x x f x g x →=()()011

lim x x f x B g x →=. 注 （1）此引理可以等价地描述为设()()x f x f 1~，()()()01~x x x g x g →，